M =1 sin(A) 0 cos(A)
8 .Kiểm tra quan hệ Mặt phẳng Mặt phẳng
Cơ sở tốn học và thuật giải:
Begin
- Nhập toạ độ 3 điểm A(xa , ya , za), B(xb , yb , zb ), C(xc , yc , zc) xác định mp(ABC)
- Nhập toạ độ 3 điểm M(xm , ym , zm), P(xp , yp , zp ), Q( xq , yq , zq) xác định mặt phẳng mp(MPQ).
- Tính toạ độ các véc tơ của mp( ABC)
véctơ AB = ( xb – xa , yb – ya , zb – za ) véctơ AC = ( xc – xa , yc – ya , zc – za )
( 3 điểm A,B,C tạo thành mp(ABC) nên véctơ AB khơng cùng phương với vectơ AC)
-Tính tích hữu hướng của 2 véctơ AB, AC là n = (AB x AC). n chính là pháp véctơ của mp(ABC) cĩ tọa độ
n = AB x AC = (( yb – ya )*( zc –za ) – (yc – ya )*( zb –za ), ( zb –za )* (xc – xa ) - ( zc –za ) *(xb – xa ), (xb – xa )*( yc – ya ) – (xc – xa )*( yb – ya ))
A = (yb – ya )*( zc –za ) – (yc – ya )*( zb –za ) B = ( zb –za )* (xc – xa ) - ( zc –za ) *(xb – xa ) C = (xb – xa )*(ya – yb ) – (xc – xa )*( xb – xa) D = -xaA – yaB – zaC .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng mp(ABC) cĩ dạng: Ax + By + Cz + D = 0
- Tính toạ độ các véctơ của mặt phẳng mp(MPQ) véctơ MP = ( xp – xm , yp – ym , zp – zm ) véctơ MQ = ( xq – xm , yq – ym , zq – zm )
( 3 điểm M, P, Q tạo thành mp(MPQ) nên véctơ MP khơng cùng phương với véc tơ MQ)
- Tính tích hữu hướng của 2 véctơ MP, MQ là m = MP x MQ. m chính là pháp véc tơ của mp(MPQ) cĩ tọa độ
m = MP x MQ
m = yp –ym zp –zm zp –zm xp –xm xp – xm yp – ym
yq –ym zq –zm , zq –zm xq – m , xq – xm yq – ym
hay cĩ thể viết như sau:
m = MP x MQ = (( yp – ym )*( zq –zm ) – (yq – ym )*( zp –zm ), ( zp –zm )* (xq – xm ) - ( zq –zm ) *(xp – xm ), (xp – xm )*( yq – ym ) – (xq – xm )*( yp – ym )) Nếu chúng ta đặt: A1 = (yp – ym )*( zq –zm ) – (yq – ym )*( zp –zm ) B1 = ( zp –zm )* (xq – xm ) - ( zq –zm ) *(xp – xm ) C1 = (xp – xm )*(yp – ym ) – (xq – xm )*( xp – xm) D1 = -xmA1 – ymB1 – zmC1 .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng mp(MPQ): mp(MPQ) = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 - Xét sự tương quan của 2 mặt phẳng trên:
•Nếu A/A1 = B/B1 = C/C1 <> D/D1 xuất“Hai mặt phẳng song song nhau“.
• Nếu A/A1 <> B/B1 hoặc B/B1 <> C/C1 hoặcA/A1 <> C/C1 xuất “Hai mặt phẳng cắt nhau“.
- Hai mặt phẳng mp(ABC) và mp(MPQ) cắt nhau theo một giao tuyến là đường thẳng cĩ phương trình là hệ phương trình của hai mặt phẳng mp(ABC) và mp(MPQ):
Ax + By + Cz + D = 0 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 - Tính toạ độ giao điểm thuộc giao tuyến:
• Nếu A/A1 <> B/B1 thì tọa độ z cĩ thể chọn tuỳ ý cho đơn giản, dùng định thức cấp 2 tìm tọa độ giao tuyến
Ax + By + Cz + D = 0 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 Dx1 = AB2 - A1B Dx1 = B1(-D – Ck1 ) + B( D1 + C1k1 ) Dy1 = A(-D1 – C1k1 ) + A1( D + C1k1 ) X1 = Dx1/ D Y1 = Dy1/ D Z1= k1 Toạ độ I(X1 , Y1 , Z1) • Tìm toạ độ điểm thứ 2 Dx2 = AB2 - A1B Dx2 = B1(-D – Ck2 ) + B( D1 + C1k2 ) Dy2 = A(-D1 – C1k2 ) + A1( D + C1k2 ) X2 = Dx2 / D Y2 = Dy2 / D Z2 = k2 Toạ độ J(X2 , Y2 , Z2)
- Nếu hai mặt phẳng song song , tính khoảng cách của 2 mặt phẳng:
• Tìm giao điểm của đường thẳng d qua M( xm, ym, zm) và vuơng gĩc với mp(ABC), cĩ véctơ chỉ phương là pháp véctơ của mp(ABC) là véctơ n=(A,B,C).
• Viết phương trình tham số của đường thẳng d: X = At + xm
Y = Bt + ym
Z = Ct + zm
• Thay X , Y , Z vào phương trình mặt phẳng mp(ABC) A( At + xm)+B( Bt + ym) + C(Ct + zm) + D = 0
t = -(Axm + Bym + Czm + D ) / ( A2 + B2 + C2 )
• Thay t vào phương trình tham số của đườngthẳng d - Ta cĩ tọa độ điểm cắt H(Xh , Yh, Zh): Xh = A(-(Axd + Byd + Czd + D ) / ( A2 + B2 + C2 ))+ xd Yh = B(-(Axd + Byd + Czd + D ) / ( A2 + B2 + C2 )) + yd Zh = C(-(Axd + Byd + Czd + D ) / ( A2 + B2 + C2 )) + za
• Khoảng cách hai mp(ABC) và mp(MPQ) là đoạn MH:
dmh =|MH | = sqrt ( ( xh - xm)2 + ( yh - ym )2 + ( zh - zm )2 )
• Xuất khoảng cách dmh
- End.
9-Kiểm tính đồng phẳng của đa giác
Cơ sở tốn học:
Đa giác gọi là phẳng nếu mọi đỉnh của nĩ nằm trong một mặt phẳng. Trong trường hợp này ba đỉnh bất kỳ (khơng thẳng hàng) cĩ thể dùng để xác định mặt phẳng chứa nĩ. Khi cĩ hơn ba đỉnh, cĩ thể các điểm khơng cùng nằm trên 1 mặt phẳng. Vì vậy các ứng dụng phải kiểm tra dữ liệu để bảo đảm tính đồng phẳng.
Chọn một trong m điểm, gọi là P1, làm điểm chốt (pivot) và hình thành (m-1) vector chốt Vi=Pi-P1, với i = 2,…, m .Các vector này nằm trong cùng 1 mặt phẳng
nếu và chỉ nếu các đỉnh Pi nằm trong cùng một mặt phẳng. Ta biết ba vector đồng phẳng nếu và chỉ nếu tích bộ ba vơ hướng của chúng triệt tiêu .Vậy tạo (m-3) tích bộ ba vơ hướng Vi.(V3.V2) với i=4,…., m. Nếu một trong các tích này khác zero đa giác sẽ khơng đồng phẳng.
Giải thuật:
- Tạo danh sách (n-1) vector từ đa giác P cĩ n cạnh - Vịng lặp từ i =3 đến i =n-1
+Tính tích bộ ba vơ hướng S= Vi .(V1 x V2)
+ Nếu (S khác 0) Return đa giác khơng đồng phẳng. - Return đa giác đồng phẳng
10 -Tính thể tích hình lăng trụ:
Giải thuật:
- Tính S là diện tích đa giác đáy. - Nhập h, chiều cao hình lăng trụ. - Tính thể tích V = S*h.
11- Tính thể tích hình chĩp:
Giải thuật:
- Tính S là diện tích đa giác đáy. - Nhập h, chiều cao hình chĩp. - Tính thể tích V= S*h /3. 12- Tính thể tích hình nĩn: Giải thuật: - Nhập R, bán kính đáy hình nĩn. - Nhập h, chiều cao hình nĩn. - Tính thể tích V = S*h / 3 = Pi*R2*h / 3.