II I CÁC THUẬT TỐN TEST QUAN HỆ HÌNH HỌC
11- Tính diện tích đa giác
Việc tính một đa giác đơn phẳng bất kỳ xuất phát từ việc tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác được tính dựa vào tích hai vector như sau:
S =(1/2) |a x b| trong đĩ các vector a, b là các vector cạnh của tam giác.
Với một đa giác n đỉnh, ta cĩ thể phân thành n – 2 tam giác bằng cách từ một đỉnh nào đĩ của tam giác ta vẽ các cạnh nối đến tất cả các cạnh cịn lại của đa giác. Khi đĩ diện tích đa giác bằng tổng diện tích của các tam giác con này. Lấy đỉnh P1 làm chốt, lập (n-1) vector chốt vector a1=P2 - P1, a2 = P3 - P1, an-1=Pn - P1. Các vector này dùng để tính diện tích mỗi tam giác. Hai cạnh của tam giác i được xác định bởi hai vector ai và ai+1.
P3 P2 P4 P1 P5 P6
Nhưng nếu đa giác là lõm, thì khơng phải mọi đa giác đều cĩ diện tích dương. Do đĩ để hình thành cơng thức tổng quát tính diện tích một đa giác bất kỳ ta phải biến đổi cơng thức tính diện tích tam giác một chút.
Trong cơng thức tính diện tích tam giác trên, thay vì dùng trị tuyệt đối của tích hai vector, ta nhân nĩ với un, chuẩn hướng (độ dài đơn vị) ra của mặt chứa đa giác (nếu đa giác nằm trong mặt xy, un là k). Vector chuẩn hướng ra của mặt chứa đa giác được xác định bằng cách tính tích hữu hướng hai vector cạnh của tam giác. Nhân với chuẩn hướng ra un là để lọc ra diện tích âm và diện tích dương, nĩ khơng ảnh hưởng đến bản thân từng diện tích tam giác. Lúc này diện tích tam giác được tính theo cơng thức:
S = (ax.by-ay.bx)/ 2
Trong đĩ a, b là hai vector cạnh của tam giác. Khi đĩ diện tích của đa giác là:
N-2
S=|Σ Si | i=1
trong đĩ Si là diện tích (cĩ dấu) của tam giác thứ i
Giải thuật:
- i bắt đầu = 2
-Diện tích đa giác = 0 -Lặp lại
{
Tính diện tích tam giác cĩ 3 đỉnh là : đỉnh 1,đỉnh i, đỉnh i+1 Diện tích đa giác = Diện tích đa giác + Diện tích tam giác Inc (i,1)
}
Cho đến khi i=N-1
B . CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN (3D)
1-Các phép biến hình 3 chiều
Cơ sở tốn học:
Một trong những ưu điểm quan trọng của đồ họa là cho phép dễ dàng tác động lên các đối tượng đồ họa. Tất cả các biến đổi trên đồ họa máy tính đều cĩ thể thỏa mãn một cách tương đối dễ dàng vì các hình ảnh khi đưa vào xử lý đã được số hố, do đĩ nĩ cĩ thể thay đổi dễ dàng bằng các phép biến đổi tốn học. Phép biến đổi hình học thường được dùng là phép biến đổi Affine.
Cĩ hai quan điểm về phép biến đổi. Đĩ là: Biến đổi đối tượng.
Biến đổi hệ toạ độ.
Biến đổi đối tượng là thay đổi toạ độ các điểm mơ tả nĩ theo một quy luật nào đĩ. Cịn biến đổi hệ tọa độ sẽ tạo ra một hệ tọa độ mới và tất cả các điểm mơ tả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới này. Phần này ta sẽ mơ tả một số phép biến đổi đối tượng.
Phép biến đổi affine 3D biến điểm P(Px,Py,Pz) thành điểm Q: Q = PM
Với P =(Px,Py,Pz), Q=(Qx,Qy,Qz) và M là ma trận biến hình 4x4 m11 m12 m13 m14
M = m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44
Một số phép biến đổi affine cơ sở: phép tịnh tiến, phép co dãn, phép quay. a/Phép tịnh tiến: dịch chuyển đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác. Tịnh tiến với các độ dời tx, ty, tz.
1 0 0 0
0 0 1 0tx ty tz 1 tx ty tz 1 b/Phép co dãn: với hệ số co Sx , Sy, Sz. Ma trận M là Sx 0 0 0 M = 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 0 1
c/Phép quay quanh trục x gĩcA: Tọa độ x của vật thể khơng đổi. Ma trận M là
1 0 0 0
M = 0 cos(A) sin(A) 0