M =1 sin(A) 0 cos(A)
7 -Kiểm tra quan hệ Đườngthẳng Mặt phẳng
Cơ sở tốn học và giải thuật:
Begin
- Nhập toạ độ 3 điểm A(xa , ya , za), B(xb , yb , zb ), C(xc , yc , zc) xác định mặt phẳng mp(ABC) (3 điểm A, B, C khơng thẳng hàng với nhau).
- Nhập toạ độ 2 điểm E(xe , ye , ze) và F(xf , yf , zf) mà đường thẳng d đi qua. - Tính toạ độ các véc tơ
AB = ( xb – xa , yb – ya , zb – za ) AC = ( xc – xa , yc – ya , zc – za )
- Tính tích hữu hướng của 2 véctơ AB, AC cĩ dạng định thức cấp 2 như sau (n = AB x AC chính là pháp véctơ mp(ABC) )
ABxAC = yb –ya zb –za zb –za xb –xa xb –xa yb –ya
yc –ya zc –za , zc –za xc –xa , xc –xa yc –ya
Hay theo dạng như sau:
n = AB x AC = (( yb – ya )*( zc –za ) – (yc – ya )*( zb –za ), ( zb –za )* (xc – xa ) - ( zc –za ) *(xb – xa ), (xb – xa )*( yc – ya ) – (xc – xa )*( yb – ya )) Nếu chúng ta đặt: A = (yb – ya )*( zc –za ) – (yc – ya )*( zb –za ) B = ( zb –za )* (xc – xa ) - ( zc –za ) *(xb – xa )
C = (xb – xa )*(ya – yb ) – (xc – xa )*( xb – xa) D = -xaA – yaB – zaC
Phương trình tổng quát của mặt phẳng mp(ABC) cĩ dạng: Ax + By + Cz + D = 0
- Tính véctơ chỉ phương EF của đường thẳng d qua E, F: véctơ EF = ( xf – xe , yf – ye , zf – ze ) ( viết gọn lại EF = ( a1 , a2 , a3 ))
-Viết phương trình tham số của đường thẳng d: X = a1t + xe
Y = a2t + ye
Z = a3t + ze
- Xét sự tương quan giữa đường thẳng d qua 2 điểm E, F và mp(ABC) qua 3 điểm A, B, C
• Tính tích vơ hướng của 2 véctơ (AB x AC) và véc tơ EF bằng dùng định thức cấp 3 với ba véctơ AB, AC , EF như sau:
véctơ AB = ( xb – xa , yb – ya , zb – za ) véctơ AC = ( xc – xa , yc – ya , zc – za ) véctơ EF = ( xf – xe , yf – ye , zf – ze ) Định thức cấp 3: xb – xa yb – ya zb – za Dt = xc – xa yc – ya zc – za xf – xe yf – ye zf – ze Dt = (AB x AC).EF = = ( xf – xe )(( yb – ya )*( zc –za ) – (yc – ya )*( zb –za ) ) + (yf – ye )(( zb –za )* (xc – xa ) - ( zc –za ) *(xb – xa ) ) + (zf – ze )((xb – xa )*( yc – ya ) – (xc – xa )*( yb – ya )) • Xét định thức cấp 3 này: + Nếu Dt = 0 xuất
+ Nếu Dt<>0 xuất “Đường thẳng d cắt mp(ABC)“ - Nếu Dt<>0 tìm toạ độ giao điểm của đường d và mp(ABC)
+ Phương trình tổng quát của mặt phẳng mp(ABC) cĩ dạng: Ax + By + Cz + D = 0
+ Phương trình tham số cuả đường thẳng d: X = a1t + xe
Y = a2t + ye
Z = a3t + ze
+Thay X , Y , Z vào phương trình mặt phẳng mp(ABC) A( a1t + xe)+B( a2t + ye) + C(a3t + ze) + D = 0
t = -(Axe + Bye + Cze + D ) / ( Aa1 + Ba2 + Ca3 )
+ Thay t vào phương trình tham số cuả đường d ta cĩ toạ độ giao điểm của d và mp(ABC)
Xgd= a1(-(Axe + Bye + Cze + D ) / ( Aa1 + Ba2 + Ca3 ) )+ xe
Ygd = a2(-(Axe + Bye + Cze + D ) / ( Aa1 + Ba2 + Ca3 ) )+ ye
Zgd = a3(-(Axe + Bye + Cze + D ) / ( Aa1 + Ba2 + Ca3 ) )+ ze
+ Xuất toạ độ giao điểm H(xgd , ygd , zgd).
- Tính gĩc giữa đường thẳng d qua E, F và mp(ABC) qua A, B, C Cos ( AB^n) = abs (Aa1 + Ba2 + Ca3 ) /
sqrt(A2 + B2 + C2) * sqrt( a12 + a22 + a32 )
- Đường thẳng d song song với mp(ABC). Tính khoảng cách từ đường thẳng d đến mp(ABC):
+Viết phương trình đường thẳng d’ qua điểm E và vuơng gĩc với mặt phẳng mp(ABC) cĩ pháp véctơ n=(A , B, C )
X = At + xe
Y = Bt + ye
Z = Ct + ze
+ Thay X , Y , Z vào phương trình mặt phẳng mp(ABC) A( At + xe)+B( Bt + ye) + C(Ct + ze) + D = 0
t = -(Axe + Bye + Cze + D ) / ( A2 + B2 + C2 )
+ Thay t vào phương trình tham số của đường d’ ta cĩ toạ độ giao điểm của d’ và mp(ABC):
Xh = A(-(Axe + Bye + Cze + D ) / ( A2 + B2 + C2)) + xe
Yh = B(-(Axe + Bye + Cze + D ) / ( A2 + B2 + C2 ))+ ye
Zh = C(-(Axe + Bye + Cze + D ) /( A2 + B2 + C2) )+ ze
+ Xuất toạ độ giao điểm H( xh , yh , zh ) .
+ Tính khoảng cách từ d đến mp(ABC) chính là đoạn AH:
dah = sqrt ( ( xh - xa )2 + ( yh - ya )2 + ( zh - za )2 ) + Xuất khoảng cách dah
End.