Phân tích phổ giá trị riêng là một công cụ rất mạnh trong xử lý tín hiệu. Thực chất việc phân tích phổ giá trị riêng là sự phân hoạch ma trận hiệp biến thành các thành phần theo giá trị riêng và vector riêng của nó.
Trong trường hợp chung nhất, một ma trận Hermitian bất kỳ Q có kích thước K K× , có thể tìm được vector e, kích thước K 1× , thoả mãn điều kiện:
Qe= λe (2.61)
trong đó λ là một hằng số. Điều kiện này còn có ý nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính do ma trận Q không làm thay đổi hướng của vector e, hay nói cách
khác Qe là một ánh xạ không đổi hướng. Để xác định vector e, viết lại (2.61) thành:
(Q− λI)e 0= (2.62)
trong đó I là ma trận đơn vị kích thước K K× và 0 là vector 0 kích thước
K 1× . Vì e là bất kỳ, nên để thoả mãn (2.61) thì định thức của (Q− λI) bằng 0, nghĩa là:
det(Q− λ =I) 0 (2.63)
Phương trình này là một đa thức bậc K của λ và được gọi là phương trình đặc trưng của Q. Trong trường hợp tổng quát nó có K nghiệm khác nhau, gọi là các giá trị riêng. Còn nếu các nghiệm của nó là nghiệm bội, thì ma trận Q có các giá trị riêng không sinh. Đối với mỗi giá trị riêng
i (i 1,2,...,K)
λ = tương ứng có một vector ei thoả mãn (2.61) gọi là vector
riêng. Và ma trận Q kích thước K K× , có K vector riêng. Để vector ei xác định đơn trị, thì biểu thức (2.61) có điều kiện chuẩn là ei =1.
Ma trận hiệp biến nhiễu không gian- thời gian Q như đã trình bày là Hermitian và xác định không âm, nên theo lý thuyết về phân tích phổ giá trị riêng có các tính chất rất đặc biệt cần quan tâm. Xét một vài tính chất điển hình và được áp dụng trong các phần sau. Giả sử ma trận hiệp biến không gian- thời gian Q là Hermitian, xác định không âm và có các giá trị riêng
{ }NM i i 1=
λ và tương ứng là các vector riêng { }NM i i 1
e = .
Tính chất 1: Ma trận Qk (k=1,2,…) có các giá trị riêng { }NM i i 1=
λ
Tính chất 2: Nếu các giá trị riêng { }NM i i 1= λ là khác nhau, thì các vector riêng tương ứng { }NM i i 1 e = là độc lập tuyến tính. Tính chất 3: Các giá trị riêng { }NM i i 1= λ là thực và không âm.
Tính chất 4: Nếu các giá trị riêng { }NM i i 1=
λ là khác nhau, thì các vector riêng tương ứng { }NM
i i 1
e = là trực giao với nhau từng đôi một, nghĩa là
*
i j e ei j 0
λ ≠ λ → = , với mọi i j≠ . Tính chất 5: Giả sử { }NM
i i 1
e = là một tập trực giao của các vector riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau { }NM
i i 1=
λ của ma trận hiệp biến nhiễu không gian- thời gian Q kích thước NM NM× . Khi đó ma trận Q có thể được chéo hoá thành: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
*
E QE
Λ = (2.64)
trong đó, Λ là ma trận mà đường chéo của nó là các giá trị riêng của Q, có kích thước NM NM× .
1 2 NM
diag( , ,..., )
Λ = λ λ λ (2.65)
E là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng của Q, gọi là ma trận riêng
của Q, có kích thước NM NM× :
[ 1 2 NM]
E= e e ... e (2.66)
Tính chất này có ý nghĩa rất quan trọng trong các lý thuyết phân tích mạch lọc và ước lượng phổ, nó thường được viết lại dưới dạng:
*
Q E E= Λ (2.67)
Tính chất 6: Vết của Q bằng tổng của tất cả các giá trị riêng của nó, nghĩa là: NM i i 1 tr(Q) = =∑λ
Tính chất 7: Định thức của Q bằng tích của tất cả các giá trị riêng của nó
NM i i 1 Q det(Q) = = =∏λ = Λ
Tính chất 8: Modul của ma trận riêng E là unitar, nghĩa là E E I* = . Từ đó suy ra E−1=E*, hay nói cách khác là nghịch đảo của ma trận riêng bằng với chuyển vị và liên hợp phức của nó. Tính chất này thường hay áp dụng trong các thuật toán cần tính nghịch đảo của ma trận.
Để tổng kết các tính chất trên, ta xét một dạng khai triển đặc biệt của (2.67) rất hay được sử dụng là : NM * i i i i 1 Q e e = =∑λ (2.68)
Và nếu Q là xác định dương (nghĩa là khả đảo), thì nghịch đảo của nó theo (2.67) được tính là: ( ) 1 NM 1 * 1 * * i i i 1 i 1 Q− E E − E − E e e = = Λ = Λ = λ ∑ (2.69)
Biểu thức (2.68) thường được gọi là cách biểu diễn của ma trận hiệp biến nhiễu và tạp âm không gian- thời gian Q trong không gian đầy đủ của vector riêng .