Theo [13, tr. 164] “Trong môn Toán, củng cố diễn ra dưới các hình thức
luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn”.
Việc củng cố bằng các vấn đề liên quan đến thực tế đối với kiến thức toán học vừa xây dựng thường được thực hiện dưới 3 hình thức sau:
- HS tự đưa ra ví dụ thực tế.
- Yêu cầu HS giải bài toán thực tế có mô hình toán học là kiến thức vừa xây dựng.
- Yêu cầu giải thích một hiện tượng, hoạt động trong thực tế mà sẽ sử dụng kiến thức vừa học.
Do hạn chế về phạm vi của đề tài chúng tôi chỉ đi sâu vào khai thác loại thứ hai.
Sau khi học bài “Tìm giá trị phân số của một số cho trước” (Số học lớp 6 - Học kì II), với đối tượng HS khá có thể đưa ra bài tập sau để ứng dụng kiến thức đã học vào thực tế:
Ví dụ 2.1 3 : Tài khoản tiết kiệm (dựa theo [31], tr. 92)
Một người muốn gửi tiết kiệm 1 000 USD tại ngân hàng. Có hai lựa chọn: người gửi có thể nhận được lãi suất một năm là 4% hoặc có thể nhận được tiền thưởng ngay lập tức là 15 USD từ ngân hàng và lãi suất 3% cho mỗi năm. Lựa chọn nào là tốt hơn sau một năm? Sau hai năm?
Đây là một tình huống khá quen thuộc khi ta gửi tiết kiệm ngân hàng tuy đã được đơn giản hóa. Cụ thể là:
Năm thứ nhất :
- Phương án 1: (lãi suất 4%/năm) người đó nhận được cả gốc lẫn lãi là 1040 USD.
- Phương án 2: (thưởng 15 USD và lãi suất 3% cho mỗi năm) người đó nhận được 1045 USD.
Vậy lựa chọn phương án 2 thì tốt hơn.
Năm thứ 2 :
- Phương án 1:
Số tiền người đó nhận được sẽ là 1040 + 1040 x 4% = 1081,6 USD. - Phương án 2:
Số tiền người đó nhận được sẽ là 1045 + 1045 x 3% = 1076,35 USD. Vậy lựa chọn phương án1 sẽ tốt hơn.
Với bài tập này HS không chỉ có điều kiện áp dụng kiến thức đã học mà còn được biết cách tính lãi suất tiết kiệm của ngân hàng qua mỗi năm. GV có thể đặt câu hỏi là nếu sau 10 năm thì số tiền người đó nhận được sẽ là bao nhiêu nếu không rút tiền ra? GV sẽ nói với HS rằng với kiến thức hiện có các em sẽ rất khó khăn để làm được bài toán này nhưng khi học về cấp số nhân ở các lớp trên các em sẽ được cung cấp thêm những công cụ để giải quyết được bài toán ngày hôm nay. Như vậy GV đã không chỉ tạo điều kiện cho HS ứng dụng kiến thức đã học vào thực tế mà còn tiến hành gợi động cơ học tập trong tương lai cho HS.
Bằng kiến thức lớp 11 có thể giải quyết bài tập trên trong trường hợp tổng quát như sau:
Giả sử bạn có một khoản tiền A nghìn đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất cố định là r mỗi kì. Vậy sau n kì thì bạn sẽ nhận được số tiền là bao nhiêu (với điều kiện A, r, n là các số dương)?
Giải: Sau một kì bạn sẽ có một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là :
B1 = A + tiền lãi = A + r.A = (1 + r).A
Cứ như thế, sau mỗi kì số tiền sẽ được nhân thêm bội số là (1 + r). Như vậy số tiền sau mỗi kì sẽ lập thành cấp số nhân với công bội là (1 + r). Gọi Bn
là số tiền bạn có sau n kì thì : Bn = A(1 + r)n và nếu kết hợp với công cụ tính toán chẳng hạn như máy tính bỏ túi thì ta có thể giải quyết được nhanh chóng bài toán trên.
Sau khi học bài Bất phương trình bậc nhất một ẩn ( Đại số lớp 8 – HK II), trong giờ luyện tập GV có thể đưa ra bài tập sau:
Ví dụ 2.1 4 : Cuộc đi thăm quan (dựa theo [31], tr. 98 )
Một lớp học muốn thuê một hướng dẫn viên cho chuyến tham quan, có 2 công ty đã được liên hệ để lấy các thông tin về giá.
- Công ty A có phí dịch vụ ban đầu là 375 zeds cộng với 0,5 zeds cho mỗi km hướng dẫn.
- Công ty B có phí dịch vụ ban đầu là 250 zeds cộng với 0,75 zeds cho mỗi km hướng dẫn.
Câu hỏi 1: Lớp học nên chọn công ty nào để thuê hướng dẫn viên nếu biết
rằng chuyến đi sẽ đến một địa điểm nào đó với tổng khoảng cách đi lại là 400 km, 600 km?
Câu hỏi 2: Vậy nếu đi với khoảng cách là bao nhiêu thì chọn công ty A có lợi hơn?
Lời giải tóm tắt:
Gọi x là số km lớp đó đi trong ngày (x > 0), khi đó : - Số tiền phải trả cho công ty A là 375 + 0,5x. - Số tiền phải trả cho công ty B là 250 + 0,75x.
Câu hỏi 1:
Nếu x = 400 thì số tiền phải trả cho công ty A là 575 zeds, số tiền phải trả cho công ty B là 550 zeds. Vậy chọn công ty B sẽ có lợi hơn.
Nếu x = 600 thì số tiền phải trả cho công ty A là 675 zeds, số tiền phải trả cho công ty B là 700 zeds. Vậy chọn công ty A sẽ có lợi hơn.
Câu hỏi 2:
Việc chọn công ty A sẽ có lợi hơn nếu số tiền phải trả cho công ty A nhỏ hơn số tiền phải trả cho công ty B tức là : 375 + 0,5x < 250 + 0,75x
Giải bất phương trình trên ta có x < 500. Vậy thuê hãng A sẽ có lợi hơn nếu mỗi ngày đi dưới 500 km.
Bài toán sẽ khó hơn nếu GV đặt câu hỏi là lớp học nên chọn công ty nào nếu tổng quãng đường sẽ từ 400 đến 600 km.
Gác lại một số yếu tố hư cấu thì một tình huống như trên hoàn toàn có thể xảy ra. Bài toán có thể giải bằng phương pháp đại số hoặc bằng đồ thị hoặc sự kết hợp của cả hai. Tùy theo nội dung cần củng cố mà GV thể lựa chọn giải quyết bài toán theo cách nào ví dụ khi HS học về hàm số bậc nhất thì có thể giải toán toán trên bằng cách vẽ đồ thị hàm số để rèn luyện khả năng dựng cũng như đọc hiểu thông tin từ đồ thị.
Ở lớp 8, khi dạy chủ đề hình khối trong không gian, vào những thời điểm thích hợp GV có thể đưa ra bài tập sau vừa để củng cố kiến thức vừa giúp HS thấy được mối liên hệ gần gũi giữa toán học và thực tế:
Ví dụ 2.1 5 : Số chấm của súc sắc (Dựa theo [33], tr. 95) Hình 2.10. Súc sắc
Hình 2.10 cho thấy hình ảnh của hai con súc sắc. Súc sắc là khối hình lập phương có số chấm trên các mặt luôn tuân theo một quy luật: “Tổng các số chấm trên hai mặt đối diện luôn bằng 7”. Hình nào sau đây (hình 2.11) có thể xếp lại để tạo thành một hình lập phương tuân theo quy luật trên?
Ví dụ 2.16: (dựa theo [31], tr. 96)
Cho khối lập phương mà nửa dưới đã được sơn đen (hình 2.12) (gồm 4 mặt xung quanh và mặt đáy)
Hình 2.12. Khối lập phương
Hãy tô nốt những phần có màu đen vào 4 hình khai triển dưới đây của khối lập phương trên (hình 2.13).
Hình 2.13. Hình khai triển khối lập phương ở hình 2.12
Ví dụ 2.17: (dựa theo [31, tr.96])
Dưới đây là hình biểu diễn hai chiều của một nhà kho và hình khai triển không đầy đủ của nó. Hãy vẽ tiếp vào hình 2.14 để có được hình khai triển đầy đủ.
Hình 2.14. Mô hình nhà kho
Theo chương trình hiện hành, HS cần nhận biết một số vật thể trong không gian qua đó dần dần hình thành một số khái niệm cơ bản về không gian, giáo dục trí tưởng tượng không gian và sử dụng được công thức tính thể tích, diện tích vào hình khối không gian trong thực tế ([9], tr.71). Các ví dụ
2.9 và 2.10, 2.11 tuy trực quan, đơn giản nhưng không dễ có ngay lời giải mà đòi hỏi HS phải có một trí tưởng tượng về không gian tốt. Sau đây là một ví dụ khai thác kết hợp giữa củng cố và luyện tập, đào sâu kiến thức, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tế.
Ví dụ 2.18: Xây dựng những hình khối (dựa theo [33], tr. 46)
Susan thích xếp những hình khối từ những khối lập phương nhỏ như hình 2.15 dưới đây:
Hình 2.15
Susan có rất nhiều những hình khối lập phương nhỏ như thế. Bạn ấy sử dụng keo để gắn các hình khối với nhau để được những hình khối khác. Bạn ấy đã gắn 8 khối lập phương để được một khối như hình 2.16.
Hình 2.16
Câu hỏi 1: Susan cần bao nhiêu khối lập phương nhỏ để làm được một khối
như trong hình 2.17 ?
Hình 2.17
Câu hỏi 2: Susan cần bao nhiêu khối lập phương nhỏ để làm được một khối như trong hình 2.18 ?
Câu hỏi 3: Susan nhận ra rằng bạn ấy đã sử dụng nhiều các khối lập phương
nhỏ hơn mức cần thiết để làm được hình khối như trong hình 2.16. Bạn ấy thấy có thể dán các khối nhỏ để được một hình khối trông giống như hình 2.16 nhưng rỗng bên trong. Em có biết số lượng tối thiểu các khối lập phương nhỏ mà bạn ấy cần để làm được hình khối như hình 2.16 nhưng rỗng bên trong là bao nhiêu không ?
Câu hỏi 4: Bây giờ Susan muốn làm một hình khối trông giống như một hình
khối đặc có độ dài là 6 khối lập phương nhỏ, chiều rộng là 5 khối lập phương nhỏ và chiều cao là 4 khối lập phương nhỏ. Bạn ấy muốn dùng ít nhất các khối lập phương nhỏ bằng cách để lỗ rỗng lớn nhất có thể ở bên trong hình khối này. Số tối thiểu các khối lập phương nhỏ mà Susan cần dùng để làm hình khối như trên là bao nhiêu ?
Bài toán trên gồm một loại câu hỏi khai thác những kiến thức về thể tích của hình hộp chữ nhật tuy nhiên các kiến thức toán học không được đưa ra một cách tường minh mà ẩn giấu dưới một loạt tình huống xảy ra trong thực tế mà HS có thể quan sát được. Để giải quyết được bài tập HS buộc phải hiểu được những kiến thức toán học ẩn dấu bên trong tình huống đưa ra là gì. Nếu chưa thể hiểu ngay được thực chất yêu cầu thì với câu 1 một cách tự nhiên là HS sẽ tìm cách để đếm các khối lập phương nhỏ. Ở hình 2.15 có 2 lớp khối lập phương mỗi lớp có 2 x 3= 6 khối lập phương nhỏ. Vậy tổng số khối lập phương sẽ là 6 x 2 =12 khối. Ở hình 2.16 với cách tính tương tự ta cũng tính được số khối lập phương cần thiết sẽ là 27 khối. GV có thể đưa ra câu hỏi: Vậy để để tính được số khối lập phương cần thiết cho một khối hình hộp chữ nhật bất kì ta có thể làm thế nào? Dựa trên việc so sánh các làm ở mỗi ví dụ HS sẽ có thể nhận xét là về mặt thực chất ta có thể tính số lượng khối lập phương cần có thông qua tính thể tích hình hộp chữ nhật với mỗi khối lập phương nhỏ có thể hiểu là chính là hình lập phương đơn vị. Đây cũng có thể
là một cách xây dựng cách tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương rất tự nhiên bằng con đường quy nạp.
Câu 3, 4 là câu hỏi đòi hỏi vận dụng sâu hơn. Với hình vẽ trực quan HS có thể tính được ngay số khối lập phương tối thiểu ở câu 3 là 26 khối. Tuy nhiên mức độ khó tăng lên ở câu 4, HS không thể dựa trên hình vẽ trực quan nữa vì vậy GV có thể có những gợi ý để giúp HS tìm được cách làm. Cụ thể có thể coi hình cần xây dựng gồm 4 lớp mà mỗi lớp gồm có 5 x 6 = 30 khối lập phương nhỏ. Vậy ta có thể bỏ bớt các khối lập phương nhỏ ở lớp nào mà không làm ảnh hưởng đến hình dạng bên ngoài của khối ? Câu trả lời là chỉ có thể bỏ các khối lập phương nhỏ nằm ở các lớp giữa trừ các khối bao quanh. Vậy số khối lập phương có thể bỏ bớt ở lớp thứ 2 là bao nhiêu? (12 khối). Từ đó tính được số lượng khối lập phương cần thiết là: 6 x 5 x 4 – 12 x 2 = 96 khối.
GV có thể tiếp tục tổng quát hóa bài toán là vẫn yêu cầu như câu 4 nhưng cần xây dựng một hình khối có chiều dài là m khối lập phương, chiều rộng là n khối lập phương, chiều cao là k khối lập phương thì số khối lập phương tối thiểu cần thiết là bao nhiêu? Đáp án bài toán là cần tối thiểu m.n.k - (m -2).( n-2).( k-2) khối lập phương với điều kiện là m > 2, n > 2, k > 2.