toán có nội dung thực tế
Như đã phân tích ở mục 1.2, vận dụng toán học vào thực tiễn là một trong những yêu cầu quan trọng trong các mục tiêu giáo dục môn Toán bậc Trung học. Việc thường xuyên vận dụng toán học vào thực tế sẽ giúp HS nhìn thấy những khía cạnh toán học ở các tình huống thường gặp trong cuộc sống, tăng cường khả năng giải quyết các vấn đề trong cuộc sống bằng tư duy toán học, giúp tập luyện thói quen làm việc khoa học, nâng cao ý thức tối ưu hóa trong lao động… Đây là những phẩm chất quan trọng đối với người lao động trong xã hội ngày nay. Để làm được điều này HS phải có khả năng thu nhận được thông tin toán học từ tình huống thực tế ban đầu, chuyển đổi thông tin
tế. Đó là không phải là công việc dễ dàng nếu không thực hiện theo một trình tự nhất định. Trong khuôn khổ lý thuyết của PISA, để giải những bài toán có nội dung thực tế người ta sử dụng quy trình Toán học hóa. Quy trình này gồm có 5 bước (dịch từ [32], tr. 160):
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế
Bước 2: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm
toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan.
Bước 3: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho
hoàn cảnh thực tế thông qua quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa.
Bước 4: Giải quyết bài toán bằng phương pháp toán học
Bước 5: Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm
xác định những hạn chế của lời giải.
Có thể minh họa quy trình như hình 2.6 ( trích từ [32], tr. 161)
Hình 2.6. Sơ đồ về quy trình toán học hóa
Ta có thể hiểu rõ hơn về quy trình trên qua các ví dụ sau đây: Lời giải thực tế Lời giải toán học
Vấn đề thực tế 1,2,3 Vấn đề toán học 5
45 5
Ví dụ 2. 6 : Giá sách (dịch từ [32], tr. 163)
Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 cái kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít.
Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ, 20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít.
Câu hỏi: Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá sách?
Để giải quyết bài toán trên ta có thể tiến hành theo quy trình sau:
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế
Vấn đề đặt ra là tìm số giá sách người thợ mộc có thể làm được. Câu hỏi được đặt trong bối cảnh thế giới thực và sự thực tế này là xác thực tuy nhiên ít phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như không có thông tin không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra.
Bước 2: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan.
Một cái giá sách cần số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 4, 6, 12, 2 và 14. Chúng ta có theo đề bài số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 26, 33, 200, 20, 510.
Bước 3: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế thông qua quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa.
Cần chuyển câu hỏi: “Người thợ mộc có thể làm được bao nhiêu cái giá sách?” thành một vấn đề toán học. Đó có thể là tìm bội số lớn nhất của tập đầu tiên (4, 6, 12, 2 và 14) thỏa mãn tập còn lại (26, 33, 200, 20, 510).
Từ đó HS sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là đi tìm k là số tự nhiên lớn nhất (k ≠ 0) đồng thời thỏa mãn các điều kiện 4k ≤ 26, 6k ≤ 33, 12k ≤ 200, 2k ≤ 20, 14k ≤ 510 (hay nói cách khác là k là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn đồng thời các điều kiện: k ≤ 264 , k ≤ 336 , k ≤ 20012 , k ≤ 20 , k ≤ 510, k≠ 0).
Bước 4: Giải quyết bài toán
Cách 1: HS có thể giải bài toán bằng cách liệt kê theo bảng dưới đây:
(4 6 12 2 14) cho 1 cái giá (8 12 24 4 28) cho 2 cái giá (12 18 36 6 42 cho 3 cái giá (16 24 48 8 56) cho 4 cái giá (20 30 60 10 70) cho 5 cái giá (24 36 72 12 84) cho 6 cái giá (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tiếp tục liệt kê đến khi thấy một con số vượt ra ngoài giá trị của tập còn lại. Ở bài toán trên, HS sẽ thấy rằng nếu làm 6 giá sách thì cần có 36 tấm gỗ ngắn trong khi theo dữ kiện đề bài ta chỉ có 33 tấm gỗ ngắn. Vậy người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là 5 giá sách.
Tuy nhiên cách này khá dài dòng và nếu số liệu đưa ra là những con số rất lớn thì cách làm này không khả thi. Vậy còn cách làm nào khác không?
Cách 2: HS có thể giải quyết bài toán rất nhanh dựa theo sự ước tính:
64 4
26= + số còn lại, 5 6
33 = + số còn lại, các tỉ số 20012 ; 202 ; 51014 đều lớn hơn hoặc bằng 10. Vậy câu trả lời là 5.
Bước 5: Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định cả những hạn chế của lời giải
Ý nghĩa thực tế của bài toán là với các thành phần được liệt kê ở đầu bài người thợ có thể làm được 5 cái giá sách tuy nhiên dựa trên việc quan sát số liệu đã được liệt kê ở cách 1 ta nhận thấy rằng chỉ cần có thêm 3 tấm gỗ ngắn, ta có thể đóng thêm được một cái giá sách nữa. Bài tập trên giúp HS có vận kiến thức toán học vào thực tế một cách rất tự nhiên. Đó là những kiến thức về tìm bội số của một số với điều kiện cho trước. Hơn nữa bài toán cũng cho thấy một khía cạnh rất thực tế khi làm việc là xảy ra vấn đề thừa thiếu nguyên
vật liệu trong sản xuất, người lao động phải xem xét đánh giá lựa chọn phương án để có được hiệu quả kinh tế cao nhất.
Bài tập trên có thể đưa ra sau khi HS học xong bài Bội và ước (Số học lớp 6 – Học kì I). Tuy nhiên không phải bài toán thực tế nào cũng có một thuật giải cố định mà để giải một bài tập đôi khi ta phải tính đến (liệt kê) tất cả những khả năng có thể để tìm được một giải pháp tối ưu. Sau đây là một ví dụ về bài toán rời rạc một dạng toán chưa chiếm nhiều thời lượng ở bậc THCS nhưng lại khá phổ biến trong cuộc sống thực tế.
Ví dụ 2. 7 : Ván trượt (dịch từ [32], tr. 166)
Eric là một người rất thích môn trượt ván. Anh ấy đến một cửa hàng có tên là SKATER để xem giá cả của các loại ván trượt.
Ở cửa hàng này bạn có thể mua ván trượt hoàn chỉnh hoặc có thể mua các bộ phận rời của nó: thân ván, một bộ 4 bánh xe, 2 trục, 1 bộ các chi tiết đi kèm (vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông và các đai ốc) và tự lắp cho mình một cái ván trượt. Sau đây là bảng giá của cửa hàng (Hình 2.7)
Hình 2.7. Bảng giá của cửa hàng
Ván trượt hoàn chỉnh Thân ván Giá (zeds) Các mặt hàng Một bộ 4 bánh xe Một bộ gồm 2 trục Một bộ các chi tiết
(vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông , đai ốc) 82 hoặc 84 40, 60 hoặc 65 14 hoặc 36 16 10 hoặc 20
Câu hỏi: Eric có 120 zeds và muốn mua một ván trượt tốt nhất trong khả năng
có thể. Eric có thể trả bao nhiêu tiền cho mỗi bộ phận của ván trượt. Hãy viết câu trả lời vào bảng 2.4 dưới đây:
Bảng 2.4. Bảng liệt kê số tiền Eric trả khi mua các bộ phận của ván trượt
Bộ phận Số tiền (zeds)
Thân ván
Một bộ 4 bánh xe Một bộ gồm 2 trục
Một bộ các chi tiết (vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông, đai ốc)
Quy trình giải bài toán trên có thể tiến hành như sau:
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế
Vấn đề được đặt ra là chọn mua ván trượt có chất lượng tốt nhất. Đây là tình huống thực tế, thực sự phản ánh thực tế cuộc sống hàng ngày của nhiều HS vì hầu hết chỉ có một lượng tiền nhất định để chi tiêu và muốn mua ván trượt chất lượng tốt nhất với số tiền mình có. Đối với những HS không quen với ván trượt thì các hình ảnh được đưa ra để cung cấp thêm các thông tin cần thiết.
Bước 2: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan.
Có 4 thành phần cho một chiếc ván trượt và HS phải lựa chọn 3 trong số 4 thành phần đó (vì chỉ có một mức giá cho một bộ trục). HS có thể dễ dàng xác định các số tiền để mua khi thay đổi các thành phần và so sánh nó với số tiền ban đầu. Có thể xây dựng bảng tính ban đầu như sau:
Thân ván 40 60 65
Một bộ 4 bánh xe có 14 36 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Một bộ gồm 2 trục 16
Một bộ các chi tiết 10 20
Bước 3: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế thông qua quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa.
Cần tìm 4 số mà tổng tối đa của chúng nhỏ hơn hoặc bằng 120. Những hạn chế đối với những con số là : số đầu tiên là 40, 60 hoặc 65; số thứ hai là 14 hoặc 36; số thứ ba là 16; số thứ tư là 10 hoặc 20. Bài toán có thể được diễn đạt dưới dạng ngôn ngữ toán học như sau:
Tìm 3 số a, b, c là số tự nhiên khác 0 biết rằng a + b + 16 + c ≤ 120 (hay a+b+c ≤ 104) với điều kiện a≠0, b≠0, c≠0 và a ∈{40;60;65}, b ∈ {14; 36}; c ∈ {10; 20}
Bước 4: Giải quyết bài toán
Ví dụ này khác ví dụ 2.6 là không có thuật giải cố định cho bài toán và HS buộc phải liệt kê tìm cách liệt kê các khả năng có thể để tìm ra đáp án. * Cách 1: HS sử dụng phương pháp liệt kê được phương án có thể:
40 14 16 10 60 14 16 10 65 14 16 10 40 36 16 10 60 36 16 10 65 36 16 20 40 14 16 20 60 14 16 20 65 14 16 20 40 36 16 20 60 36 16 20 65 36 16 20 và tính tổng của chúng để tìm ra phương án phù hợp là (65, 14,16, 20).
Tuy nhiên cách này mất nhiều thời gian vậy có cách nào đỡ tốn thời gian hơn không ? Giáo viên có thể gợi ý học sinh tính số tiền nhiều nhất phải bỏ ra và tìm các phương án giảm giá thành.
* Cách 2:
Có thể thấy rằng chiếc ván trượt tốt nhất có giá : 65 + 36 + 16 + 20 = 137 là quá nhiều so với số tiền ta có nên cần lựa chọn phương án khác. Cần giảm giá thành xuống ít nhất 17 zeds. Có những khả năng sau để có thể giảm giá thành:
Thân ván : có thể giảm 5 hoặc 25 zeds Một bộ 4 bánh xe: có thể giảm 22 zeds Trục : không giảm được gì
Các chi tiết : giảm 10 zeds
Danh sách trên làm ta thấy được giải pháp rõ ràng đó là giảm lượng tiền mua bánh xe thì tổng số tiền mua sẽ là 115 zeds và là phương án tối ưu nhất.
So sánh hai cách làm ta thấy đều phải liệt kê khả năng xảy ra nhưng cách giải quyết sau ngắn gọn, giúp ta nhìn thấy được ngay lời giải tối ưu và đây cũng là một cách làm có thể áp dụng trong nhiều tình huống khác trong thực tế cuộc sống. Như vậy khi giải quyết một bài toán cần suy nghĩ đến tất cả những giải pháp có thể, đánh giá để tìm được giải pháp tối ưu nhất về một ý nghĩa nào đó (tiết kiệm thời gian, tiền bạc, công sức…)
Bước 5: Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định cả những hạn chế của lời giải
Qua các bước trên ta thấy rằng phương án tốt nhất tìm được là (65,14,16,20). Tuy nhiên bài toán trên cũng cho thấy một thực tế rằng giữa lý thuyết và thực tế có những khác biệt nhất định. Cụ thể là ở ví dụ này với lập luận thích hợp, một trong những giải pháp đưa ra ở trên (40,36,16,20) có thể
được coi là “tốt hơn” ví dụ HS có thể lập luận rằng đối với một chiếc ván trượt có bộ bánh xe chất lượng tốt là vấn đề quan trọng hơn cả.
Theo PISA, 5 bước của quy trình trên có thể chia làm 3 giai đoạn (trích từ [10]):
Giai đoạn thứ nhất: Chuyển từ vấn đề thực tế sang lĩnh vực toán học.
- Trước hết HS phải hiểu nội dung của đề bài, xác định lĩnh vực toán học phù hợp với một vấn đề được đặt ra trong thực tế.
- Hiểu những dữ kiện được ẩn dấu bên trong các nội dung tình huống được đưa ra, biểu diễn lại chúng theo các khái niệm, ngôn ngữ Toán học.
-Tìm những qui luật, mối quan hệ và những bất biến; nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết để chuyển vấn đề đặt ra thành bài toán toán học.
Giai đoạn thứ hai: Phần suy diễn của quy trình mô hình hóa.
Một khi HS đã chuyển thể được vấn đề thành một bài toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về hoàn cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo một lập luận toán học đúng đắn. Phần này của quá trình Toán học hóa bao gồm: Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau; Dùng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kĩ thuật và các phép toán; Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán; Kết hợp và tích hợp các mô hình; Lập luận; Tổng quát hóa.
Giai đoạn thứ ba: Phản ánh về toàn bộ quá trình Toán học hóa và các kết quả.
Ở đây, HS phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là: hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học; phê phán mô hình và các hạn chế của nó; phản ánh về các lập luận toán học, giải thích, lời giải và kiểm tra các kết quả.
Trong một số tài liệu, giáo trình của ta cũng đề cập đến quy trình để giải quyết bài toán thực tế cụ thể là theo ([9], tr. 111) có viết:
“Với những bài toán tổng hợp, có nội dung thực tiễn cần trang bị cho HS tri thức và tri thức phương pháp thông qua các bước tiến hành:
+ Đọc, hiểu nội dung bài toán thực tiễn đã cho + Toán học hóa bài toán thực tiễn đã cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Dùng kiến thức toán đã được học, giải bài toán đã được toán học hóa
+ Quay lại tình huống ban đầu trả lời”.
Tác giả Nguyễn Bá Kim cũng đề cập đến quy trình tiếp cận và giải quyết những bài tập có nội dụng thực tế trong ([13], tr. 168) như sau:
Bước 1: Toán học hóa tình huống thực tế
Bước 2: Dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình toán học
Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tế ”.
Trong SGK môn Toán ở bậc THCS của nước ta, quy trình giải các bài toán thực tế không được đưa vào một cách tường minh mà chỉ được đưa vào trong trường hợp cụ thể đó là quy trình giải toán bằng cách lập phương trình (SGK lớp 8 - Tập 2, tr. 25) gồm 3 bước đó là:
“Bước 1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết + Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng Bước 2: Giải phương trình