Thực ra cũng không phải tự nhiên mà có sự liên hệ giữa MOLS và SGP. Sự liên hệ này thực chất là cả hai đều liên quan đến các bài toán mang tính tổ hợp.
Tại [II.2.3] trong [9], có giới thiệu một thuật toán xây dựng tập MOLS như sau:
Nếu n=pe, khi p là số nguyên tố, thì ta có thể xây được dựng tập MOLS như sau:
Đặt GF(n) là một trường hữu hạn cấp n (gồm các số 0,1,…, n-1) Với mỗi α ∈ GF(n)\{0}, đặt Lα(i,j)=αi+j, với i, j ∈ GF(n), các
phép toán thực hiện trong GF(n).
Khi đó ta có tập { Lα| α ∈ GF(n)\{0}} chính là tập (n-1) MOLS cấp n.
Và từ chính tập MOLS này chúng ta có thể xây dựng được nghiệm cho bài toán SGP (trong trường hợp n là lũy thừa của số nguyên tố, từ đây trở đi ta chỉ xét trường hợp n là lũy thừa của số nguyên tố, nếu xét trường hợp khác chúng tôi sẽ nêu cụ thể).
Khi ta đặt cạnh nhau các (n-1) MOLS cấp n ta nhận thấy rằng chính chúng thỏa mãn tính của SGP cho dạng g- g- (g+1):
Có g nhóm và mỗi nhóm có g tay gôn chính được thể hiện bằng (g-1) hình vuông cỡ g (sẽ giải thích sau vì sao chỉ cần g-1 hình vuông)
Trong trường hợp này mọi tay gôn đều gặp nhau đúng một lần. Các tay gôn không gặp lại nhau chính là tính chất của MOLS
được thể hiện thông qua tính chất 7.5 Ta sẽ lấy một ví dụ để làm rõ kết luận trên.
Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic
Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic
105 Chúng ta hãy xem bảng sau:
week group1 group 2 group 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 4 7 2 5 8 3 6 9 3 1 5 9 2 6 7 3 4 8 4 1 6 8 2 4 9 3 5 7
Bảng 7.7: Một nghiệm cho trường hợp 3-3-4
Khi chúng ta chuyển mô hình sang dạng khác (chính là V1 trong phần 6.1) chúng ta được bảng sau: Golfer week 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 4 1 2 3 2 3 1 3 1 2
Bảng 7.8: Nghiệm cho trường hợp 3-3-4 ở mô hình lấy nhóm làm giá trị
Từ này trở đi ta ký hiệu r hình vuông Latin trong tập MOLS(n) bằng r
MOLS(n).
Như vậy, với tập 2MOLS(3) được tô đậm ở trên chúng ta xây dựng được nghiệm SGP cho trường hợp 3-3-4.
Tóm lại với n là lũy thừa của số nguyên tố n=pe, chúng ta sẽ có được (n-1)
Formatted: Font: Italic
Formatted: Font: Bold Formatted: Font: Bold Formatted: Font: Bold Formatted: Font: Bold Formatted: Font: Bold Formatted: Font: Bold
Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic
Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic
106
(n+1). Như vậy đây là sự tổng quát so với thuật toán được đề xuất và thuật toán của [13]. Từ đó suy ra trong trường hợp muốn tìm nghiệm SGP cho trường hợp g-g-n chính là tương đương với việc tìm ta (n-2) MOLS(g). Đây quả thực là một sự liên hệ rất thú vị.
Hơn nữa, ta cũng có thể khẳng định rằng thuật toán được đề xuất có thể dễ dàng cải tiến (phần 7.1) để có thể tạo ra tập (n-1) MOLS(n) khi n là nguyên tố (tức là e=1, trong [9]).