Chúng ta cần tìm hiểu một số thuộc tính CSPs vì nó khác so với bài toán tìm kiếm tổng quát để khi giải bài toán hiệu quả hơn.
(1) Cỡ của không tìm kiếm là hữu hạn
Số lá trong cây tìm kiếm là L=|Dx1||Dx2 |...|Dxn|, trong đó Dxi là miền của biến xi, và |Dxi |là cỡ của miền đó. Chú ý rằng L không bị ảnh hưởng bởi trật tự khi chúng ta quyết định gán nhãn cho biến. Tuy nhiên, trật tự lại ảnh hưởng đến số nút trung gian trong không gian tìm kiếm. Ví dụ, trong tổng số nút trung gian trong Hình 2.2 là 16, trong khi Hình 2.3 là 8. Tổng quát hơn, nếu chúng ta giả sử các biến được sắp theo thứ tự x1 , x2 , …, xn thí số nút trong cây tìm kiếm là:
| | ... | || | 1+∑in=1 Dx1 Dx2 Dxn
Với công thức trên, cùng với 2 ví dụ đã nêu, không khó khăn cho chúng ta nhận ra rằng nếu các biến được sắp theo trật tự khi các miền của nó giảm dần thì số nút trong không gian tìm kiếm sẽ đạt giá trị lớn nhất. Đó cũng chính là biên của cỡ trong không gian tìm kiếm. Ngược lại nếu các biến được sắp theo trật tự khi các miền của nó tăng dần thì số nút trong không gian tìm kiếm sẽ đạt giá trị nhỏ nhất.
Tuy nhiên, cỡ của bài toán lại bị chi phối bởi tích cuối cùng:
| | ... | || |Dx1 Dx2 Dxn
L= , chính là số nút lá, nó không thay đổi khi trật tự các biến thay đổi.
35
(2) Độ sâu của cây được cốđịnh
Khi các biến được cố định, độ sâu của cây tìm kiếm luôn luôn bằng số biến trong bài toán. Trong cả hai ví dụ Hình 2.2 và 2.3, độ sâu đều là 3. Khi trật tự của biến không cố định, độ sâu chính xác là 2n, với n là số biến.
(3) Các cây con tương tự nhau
Nếu chúng ta cố định biến, khi đó các cây con cùng mức sẽ tương tự nhau. Điều này rất có ý nghĩa trong khi tìm kiếm một cây con khi chúng ta đã tìm kiếm được anh em của nó (sẽ nói thêm trong phần loại bỏ đối xứng ).