2. Các kết quả
2.4.Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư
Nêu ra và phân tích các mô hình xác suất thống kê, mỗi mô hình đặt trong một mục. Trong từng mô hình, nêu cách tạo (sơ lược), ứng dụng của mô hình và các số liệu thống kê (nếu có) thông qua việc sử dụng mô hình của học sinh và giáo viên.
Giáo dục toán dựa trên nền tảng máy tính điện tử
(Computer-Based Mathematics Education – CBME) là một phương pháp giáo dục toán với sự
hỗ trợ của máy tính, cụ thể hơn là thông qua các phần mềm giáo dục. Phạm vi của CBME là phần giao của 3 miền: toán học, giáo dục và máy tính. Tuy là phần giao nhưng CBME lại có những đặc trưng riêng, giống như nước hoàn toàn khác với cả
Oxi và Hidro.
Máy tính và giáo dục toán
Theo Uri Wilensky [36], việc hiểu các khái niệm cốt lõi của xác suất và thống kê của học sinh có thể hiệu quả bằng cách tạo các mô hình (hoặc giúp học sinh tạo các mô hình) để khảo sát, kiến tạo tri thức. Ông nói rằng, thông qua việc xây dựng các mô hình, học sinh sẽ tiếp cận được các khái niệm cốt lõi của xác suất và thống kê. Hơn nữa, qua việc nghiên cứu quá trình xây dựng mô hình của học sinh và những thao tác mà học sinh thực hiện trên mô hình, giáo viên có thể hiểu tốt hơn những tiến triển trong việc kiến tạo tri thức của học sinh.
Qua phân tích sách giáo khoa phần thống kê ở lớp 10, phần xác suất ở lớp 11, chúng tôi đưa ra một số mô hình nhằm hỗ trợ cho học sinh kiến tạo tri thức thông qua khảo sát trên các mô hình đó. Đối với phần thống kê lớp 10, chúng tôi giúp học sinh tiếp cận với các khái niệm: số liệu thống kê, tần số, tần suất; các giá trị đặc trưng của mẫu số liệu, phương sai và độ lệch chuẩn. Đối với phần xác suất lớp 11, chúng tôi xây dựng các mô hình giúp học sinh tiếp cận với các khái niệm: ngẫu nhiên, biến cố, xác suất của biến cố. Một số mô hình ở phần xác suất được thiết kế dưới dạng các trò chơi nhỏ, có thể sử dụng như là một hoạt động trong tiết học.
2.4.1. Mô hình số liệu thống kê, tần số, tần suất
42
Tình huống: Có 20 bạn tham dự một kỳ thi học sinh giỏi. Kết quảđiểm (theo thang
điểm 10 của các bạn được cho bởi một bảng điểm. Hãy thống kê số các bạn có cùng một điểm số.
Cách tạo mô hình:
+ Lập một danh sách kết quảđiểm trên GSP với các giá trị điểm là các tham số với giá trị thay đổi được.
+ Dùng công cụ sắp thứ tự các số, sắp thứ tự các kết quả điểm trên rồi lấy giá trị
nhỏ nhất (min) và lớn nhất (max). Công cụ sắp thứ tự các số được chúng tôi xây dựng dựa trên giải thuật nổi bọt cổđiển.
+ Lập hàm để xác định tần số cho từng giá trị điểm khác nhau. Chẳng hạn tạo họ
hàm sốfi(x) = . Với i = 2, f2(x) chỉ bằng 1 khi x = 2, các giá trị x khác
đều cho giá trị 0. Như thế với x là các điểm số ta có thể thống kê được số các thí sinh có điểm 2 bằng cách lấy , với x chạy khắp các giá trịđiểm của thí sinh. + Tạo một đồ thị thể hiện mối tương quan giữa điểm các thí sinh và tần số của nó. Ý
tưởng mà chúng tôi thực hiện trong mô hình này như sau: Lập một dãy các đoạn thẳng nằm ngang cách nhau một đơn vị. Với một giá trị tần số, chẳng hạn giá trị 7 thể hiện cho số điểm 5 của các thí sinh, ta vẽ điểm có tọa độ (5; 7). Tiếp theo ta dựng đoạn thẳng nối điểm (5; 0) đến điểm (5; 7) rồi dựng giao điểm của đường thẳng này với các đường thẳng nằm ngang ở trên. Tại mỗi giao điểm ta dựng một
đường tròn có bán kính nhỏ (chẳng hạn 0.2cm) rồi tô màu cho đường tròn. Để dựng nhanh các đường tròn, chúng ta có thể tạo thành một công cụ.
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu tình huống.
2. Yêu cầu học sinh phân nhóm và đếm các giá trị đểđiền vào bảng.
3. Kiểm tra kết quả của nhóm và hiển thị
kết quả.
4. Đánh giá kết quả thu được thông qua
bảng và thông qua đồ thị. Đồ thị tương quan giữa Điểm và Tần Số
43
* Mô hình về số liệu thống kê, tần số, tần suất
Tình huống: Một bảng số liệu các điểm kiểm tra môn toán của một nhóm học sinh. Học sinh biết cách thu thập các thông tin qua bảng số liệu. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cách tạo mô hình:
+ Sử dụng bảng điểm đã nhập sẵn trong file bangdiem.ftm. Những giá trị trong bảng điểm này cũng như số lượng các thí sinh hoàn toàn có thể thay đổi được
+ Sử dụng bảng biểu (Table), đồ thị (Graph) để phân tích mẫu số liệu. 1. Mở file bangdiem.ftm có trên CD kèm theo luận văn
này.
2. Nhấp vào biểu tượng Danh sách HS để chọn danh sách này, kéo các góc của biểu tượng để mở rộng danh sách.
Biểu tượng tạo bảng biểu và tạo đồ thị trong Fathom
3. Vẫn chọn danh sách, nhấp đè vào biểu tượng tạo bảng biểu rồi kéo vào phần trống của trang hình. Lập tức một bảng biểu xuất hiện thể hiện các kết quả điểm của học sinh.
4. Nhấp và kéo biểu tượng đồ thị vào phần trống của trang hình.
5. Đặt con trỏ ở tiêu đề của cột để con trỏ
trở thành bàn tay. Kéo các cột của bảng
điểm vào hàng hoặc cột của đồ thị rồi thả chuột.
6. Dựa vào đồ thịđể phân tích. Kéo thông tin ở cột Vong_1 vào đồ thị
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu tình huống, cung cấp cho học sinh số liệu, nêu lên các yêu cầu cần
đạt và chia nhóm học sinh để làm việc.
2. Phân tích các kết luận có được của học sinh thông qua xử lý số liệu. 3. Sử dụng phần mềm Fathom để kiểm tra các kết luận có được.
File tham khảo:bangdiem.ftm.
2.4.2. Mô hình các giá trịđặc trưng của mẫu số liệu
Mô hình này giúp học sinh tiếp cận với các giá trịđặc trưng cho mẫu số liệu, các giá trị này xuất hiện một cách tự nhiên khi học sinh làm việc với số liệu.
44
Tình huống: Với mô hình ở trên, tính điểm trung bình của cả nhóm và số trung vị.
Cách tạo mô hình:
Tạo công thức tính điểm trung bình dạng thô (cộng tất cả các giá trị rồi chia trung bình) và dạng dựa vào bảng phân bố tần số. Đối với số trung vị, sắp xếp dãy số
(điểm) theo thứ tự tăng dần sử dụng công cụ sắp xếp các số rồi xác định giá trị trung vị.
Sử dụng mô hình:
1. Nêu tình huống, phân nhóm học sinh để
tính giá trị trung bình.
2. Thảo luận để đưa ra công thức tính giá trị trung bình thông qua bảng phân bố
tần số. Minh họa số trung vị
3. Học sinh thảo luận để sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. 4. Nêu khái niệm trung vị và giúp học sinh tìm giá trị trung vị, tìm được công (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thức tính số trung vị với các mẫu số liệu khác nhau.
File tham khảo: tktsts.gsp
2.4.3. Mô hình khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn
Mô hình này giúp học sinh tiếp cận với hai khái niệm: phương sai và độ lệch chuẩn. Chúng xuất phát từ nhu cầu phân biệt độ lệch khi mà số trung bình chưa nói lên
được nhiều thông tin.
Tình huống: Điểm trung bình của từng môn học của hai học sinh An và Bình cuối năm được cho bởi một bảng. Nhiệm vụ của học sinh là tính điểm trung bình (không kể hệ số) của tất cả các môn học của An và Bình, kiểm tra xem bạn nào học khá hơn và nhận xét về sự chênh lệch, biến động giữa các điểm số của hai bạn.
Cách tạo mô hình:
1. Sử dụng The Geometer’s Sketchpad với các công cụ dựng đoạn thẳng, tạo sẵn một bảng điểm trung bình các môn của hai bạn An và Bình.
2. Sử dụng tính năng vẽđồ thị, vẽđồ thị tương ứng giữa môn và điểm môn đó. 3. Tính điểm trung bình của hai bạn và tính các độ lệch của từng môn so với
45
4. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu bài toán.
2. Học sinh tiến hành tính điểm trung bình rồi rút ra nhận xét.
3. Giới thiệu đồ thị biểu điểm của hai học sinh, học sinh nhận xét.
4. Giới thiệu vấn đề: Mặc dù hai bạn điểm trung bình giống nhau nhưng bạn này học lệch, bạn kia học đều. Cần phải đo
độ lệch để có thêm thông tin.
Đồ thị tương quan giữa các môn và điểm trung bình các môn
5. Cùng học sinh tính độ lệch, giới thiệu khái niệm độ lệch chuẩn và phương sai, cách tính chúng dựa vào máy tính bỏ túi.
6. Thay đổi bảng điểm của An và Bình bởi điểm của hai bạn khác. Tính điểm trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
File tham khảo: Phuongsai-Dolechchuan.gsp.
2.4.4. Mô hình khái niệm ngẫu nhiên
Mô hình này giới thiệu phép thử gieo súc sắc với một số lượng lớn các lần gieo. Học sinh sẽ được thực nghiệm trên máy tính với sự hỗ trợ của phần mềm The Geometer’s Sketchpad.
Tình huống: Học sinh gặp các hiện tượng ngẫu nhiên và nắm bắt khái niệm ngẫu nhiên thông qua khảo sát trên mô hình.
Cách tạo mô hình:
1. Sử dụng công cụ tạo số nguyên ngẫu nhiên có trong file
ngaunhien.gsp để tạo một biến nguyên ngẫu nhiên lấy giá trị trong đoạn [1; 6].
2. Tạo một hình lập phương 3 chiều với mỗi mặt ứng với số
chấm của con súc sắc.
Mô hình súc sắc (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3. Ứng với mỗi lần gieo ngẫu nhiên một số, hình lập phương sẽ quay đến mặt có số chấm đúng với số ngẫu nhiên vừa gieo.
46
Vì ý tưởng tạo súc sắc khá phức tạp nên chúng tôi đã tạo nó trở thành một công cụ, khi cần chúng ta có thể có ngay một con súc sắc 6 mặt với một nút gieo súc sắc, một nút ẩn hiện, một điểm thay đổi kích thước súc sắc và một giá trị bằng số thể hiện số
chấm xuất hiện trên mặt súc sắc.
Trong quá trình xây dựng công cụ súc sắc, chúng tôi cần các điều kiện để xác định mặt nào của súc sắc sẽ xuất hiện. Do đó, để súc sắc thể hiện đúng, chúng ta cần thiết lập môi trường cho giá trị góc là định hướng ở trang hình hiện thời: Áp dụng Edit | Preferences, trong hộp thoại Preferences hiện ra, chọn đơn vị (Unit) cho góc (Angle) là giá trị độ có định hướng (directed degrees).
Tùy chọn directed degrees
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu các tình huống ngẫu nhiên trong thực tế, dẫn dắt đến khảo sát tình huống gieo súc sắc.
2. Nêu vấn đề: Liệu có đoán được kết quả của phép gieo súc sắc hay không, học sinh trực tiếp khảo sát bằng cách gieo súc sắc và khảo sát trên mô hình. 3. Học sinh khảo sát mô hình để có được những đặc tính của sự ngẫu nhiên, đặc
biệt cho trường hợp gieo súc sắc (tính đồng khả năng).
File tham khảo:ngaunhien.gsp
2.4.5. Mô hình tính xác suất của biến cố thông qua thống kê
Mô hình này giúp học sinh tiếp cận khái niệm xác suất của biến cố thông qua việc gieo súc sắc 6 mặt. Là sự mở rộng của mô hình trên, chúng ta sẽ xây dựng thêm đồ
thị để thống kê số tổng số lần gieo súc sắc, tổng số lần xuất hiện mỗi mặt của súc sắc.
Tình huống: Gieo một con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố
Ai: “Súc sắc xuất hiện mặt i chấm”.
Cách tạo mô hình:
1. Tạo mô hình gieo súc sắc ngẫu nhiên như mô hình ở trên. Có thể dùng công cụ tạo súc sắc để có nhanh mô hình con súc sắc.
47
2. Tạo một nút hoạt động để đếm số lần gieo súc sắc, nút này di chuyển (move) một điểm đầu theo hướng ngang 1đơn vị (1cm chẳng hạn). Với mỗi lần nhấn, khoảng cách từđiểm ngọn đến điểm đầu tăng thêm 1cm (tức tăng 1 lần gieo). 3. Tạo 6 hàm số, f1 đến f6, trong đó fi = 1 nếu mặt thứi xuất hiện, ngược lại thì bằng 0. Chẳng hạn, xét họ hàm gi = sgn(x – i). Lúc đó, fi = ,
với socham là số chấm của mặt súc sắc hiện ra. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt số 4 (socham = 4) thì chỉ có g4 = 0 và do đó, f4 = 1.
4. Tạo 6 nút di chuyển (move) tương ứng với 6 hàm sốở trên, mục đích tính số
lần xuất hiện cho mỗi mặt. Nút này sẽ di chuyển điểm đầu đi một đơn vị nếu hàm số tương ứng với nó nhận giá trị 1, ngược lại thì nó di chuyển 0 đơn vị. 5. Tạo một nút trình diễn, kết hợp các nút: gieo súc sắc, nút tính số lần gieo, 6
nút tính tổng số lần xuất hiện của 6 mặt.
6. Tạo một nút để thiết lập lại trạng thái ban đầu khi súc sắc chưa gieo lần nào. 7. Sử dụng giá trị đầu vào là 6 giá trị kết quả của 6 nút di chuyển ở trên để tạo
đồ thị thống kê tổng số lần gieo và tổng số lần xuất hiện các mặt của súc sắc.
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu bài toán: Gieo một con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố Ai: “Súc sắc xuất hiện mặt i chấm”.
2. Học sinh tiến hành thiết lập không gian mẫu, tính các kết quả thuận lợi cho từng biến cốđể từđó tính được xác suất cho các biến cố Ai.
3. Nêu vấn đề: Các kết quả trên lý thuyết có đúng với thực tế hay không? Có thể thực nghiệm để khẳng định kết quả không? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4. Giới thiệu mô hình gieo súc sắc 6 mặt, học sinh cùng giáo viên tiến hành gieo súc sắc và thống kê các kết quả. 5. Thực nghiệm với số lượng lớn các phép thử để kiểm chứng. 6. Tiến hành thực nghiệm nhiều lần để khẳng định kết quả. Biểu đồ quạt trong phép gieo súc sắc 6 mặt
48
File tham khảo: ngaunhien.gsp.
2.4.6. Mô hình trò chơi đoán tổng số chấm của hai súc sắc
Với mô hình này, học sinh được tham gia vào trò chơi đoán tổng số chấm khi gieo hai con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Học sinh sẽ học được cách lập luận để có khả
năng chiến thắng cao trong trò chơi, lập không gian mẫu cho phép thử và tính xác suất thắng cuộc.
Tình huống: Gieo hai con súc sắc ngẫu nhiên, giá trị nào của tổng số chấm có xác suất xảy ra cao nhất?
Cách tạo mô hình:
1. Mở phần mềm Fathom, tạo một tập hợp (Collection) mới bằng cách nhấp chuột vào biểu tượng Collection rồi kéo vào trang hình, đặt tên cho nó là
Gieo2sucsac.
2. Áp dụng Collection | New Casesđể tạo hai đối tượng mới, mỗi đối tượng là kết quả gieo của một súc sắc.
3. Áp dụng Object | Inspect Collection để tạo thuộc tính cho hai súc sắc. Trong hộp thoại hiện ra, phần Attribute nhập suc_sac, nhấp đôi vào phần
Fomula, nhập hàm randomInter(1, 6), nhấn OK để tạo hàm. Hàm này sẽ
tạo các số nguyên ngẫu nhiên từ 1 đến 6.
Tạo giá trị ngẫu nhiên cho súc sắc ảo Tạo công thức tính tổng số chấm
4. Làm tương tự, vào phần Measure nhập Tong, nhấp đôi vào phần Fomula và nhập hàm sum (suc_sac). Hàm này sẽ tính tổng giá trị số chấm xuất hiện trên mặt của hai súc sắc.
5. Để tạo biểu tượng cho hai súc sắc, nhấp chọn Display ở hộp thoại trên, ở
phần Image, nhấp đôi vào phần Fomula rồi nhập hàm switch (hàm rẽ
49
Hàm switch tạo biểu tượng cho súc sắc Nhập công thức cho width, height, caption
Với mỗi lần nhấn nút Rerandomize, số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc sẽ
thay đổi một cách ngẫu nhiên. Với hàm Tong tạo ở trên, chúng ta sẽ đưa các giá trị
Tong sau mỗi lần gieo vào một tập hợp (Collection) mới. Trong file tham khảo cho mô hình này, chúng tôi đã xây dựng sẵn các bước được trình bày ở trên. Tuy nhiên việc trình bày cũng cần thiết vì nó giúp ta hiểu rõ cách tạo mô hình. Hơn nữa các thao tác trên cũng có thể sử dụng khi xây dựng các mô hình khác trên Fathom.