2. Các kết quả
2.3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba
Nêu lên kết quả nghiên cứu về cơ sở khoa học của hàm ngẫu nhiên trong máy tính; giới thiệu một số mô hình động đã xây dựng được trong xác suất và thống kê có sử
dụng hàm ngẫu nhiên, thông qua phần mềm GSP và Fathom, mục đích tạo ra các tương tác tích cực giúp học sinh kiến tạo tri thức.
2.3.1. Ý tưởng tạo số ngẫu nhiên
Theo Measut Gunes [29], hai tính chất thống kê quan trọng của số ngẫu nhiên là
đồng khả năng và độc lập. Ông nói rằng, có thể tạo ra các số ngẫu nhiên giả
(pseudo random numbers), bởi vì tạo ra các số bằng cách sử dụng một phương pháp
đã biết sẽ làm mất đi khả năng cho sự ngẫu nhiên thực sự. Mục tiêu là tạo ra một dãy các số trong [0; 1] sao cho giả lập và mô phỏng được những tính chất cốt lõi của số ngẫu nhiên thật sự.
Khi tạo số ngẫu nhiên giả, chúng ta cần phải chú ýđến các đặc tính sau của máy tạo số ngẫu nhiên:
• Nhanh, tạo được một loạt các số ngẫu nhiên trong thời gian ngắn;
• Tiện lợi cho các máy tính khác nhau;
• Có chu trình đủ dài một cách hiệu quả (have sufficiently long cycle);
34
• Xấp xỉ tốt nhất đến tính chất thống kê lý tưởng của đồng khả năng và độc lập.
Một số vấn đề xảy ra khi tạo ra số ngẫu nhiên giả:
• Sốđược tạo ra có thể không có phân bố chuẩn. Điều này không bảo đảm tính
đồng khả năng của các số ngẫu nhiên;
• Sốđược tạo ra có thể bị mang giá trị rời rạc thay vì giá trị liên tục. Điều này làm cho nhiều số không xuất hiện bao giờ;
• Trung bình của các sốđược tạo ra có thể quá cao hoặc quá thấp.
2.3.2. Kỹ thuật tạo số ngẫu nhiên
Measut Gunes (2005) đưa ra một phương pháp tạo số ngẫu nhiên, đó là phương pháp Đồng dư tuyến tính (Linear Congruential Method).
Ý tưởng của phương pháp đồng dư tuyến tính là tạo một dãy các số nguyên X1,
X2,… giữa 0 và m – 1 bởi mối liên hệđệ quy sau:
Xi+1 = (aXi + c) mod m, i = 1, 2, …
Trong đó a là hệ số nhân (multiplier), c là số gia (increment) và m là môđun. Từ
công thức trên, chúng ta có nhận xét
• Việc chọn lựa các giá trị cho a, c, m và X0 ảnh hưởng mạnh đến tính chất thống kê và độ dài của chu kỳ.
• Số nguyên ngẫu nhiên được tạo trên [0; m – 1] theo cách trên, và để biến những số nguyên đó thành những số ngẫu nhiên trong [0; 1] thì
Ri = , i = 1, 2, … Ví dụ: Sử dụng X0 = 27, a = 17, c = 43 và m = 100: X1 = (17*27 + 43)mod 100 = 502 mod 100 = 2, R1 = 0.02; X2 = (17*2 + 43)mod 100 = 77, R2 = 0.77; X1 = (17*77 + 43)mod 100 = 52, R3 = 0.52; X1 = (17*52 + 43)mod 100 = 27, R4 = 0.27; …
35
Chẳng hạn, với a = 13; c = 0 và m = 64, sử dụng The Geometer’s Sketchpad với tính năng lặp, ta có bảng sau: i Xi (X0 = 1) Xi (X0 = 2) Xi (X0 = 3) Xi (X0 = 4) 1 13 26 39 52 2 41 18 59 36 3 21 42 63 20 4 17 34 51 4 5 29 58 23 6 57 50 43 7 37 10 47 8 33 2 35 9 45 7 10 9 27 11 53 31 12 49 19 13 61 55 14 25 11 15 5 15 16 1
Các trường hợp này có chu kỳ đều rất thấp. Chúng ta cần có máy tạo số ngẫu nhiên tốt hơn với các đặc điểm:
• Độ trù mật cực đại
+ Sao cho giá trịRi tạo ít khoảng trống rộng trên [0; 1] + Vấn đề: Thay vì liên tục, mỗi Ri là rời rạc.
+ Giải quyết: Một số nguyên rất lớn cho m.
• Chu kỳ cực đại
+ Đểđạt được độ trù mật cực đại và tránh lặp lại.
+ Đạt được bằng cách chọn thích hợp các sốa, c, m và X0.
• Hầu hết máy tính sử dụng biểu diễn nhị phân cho các số
36
Đối với máy tính, theo thời gian, khả năng tính toán của nó ngày càng lớn với phạm vi các số ngày càng mở rộng. Ta có thể sử dụng hệ số nhân a = 25214903917, số
gia c = 11 và môđun m = 291474976710655.
Tuy nhiên, Measut Gunes nói rằng cần phải tổ hợp các máy đồng dư tuyến tính trên
để có được chu kỳ dài hơn, tận dụng sức mạnh của máy tính với cách tiếp cận là kết hợp hai hay nhiều máy tạo đồng dư.
2.3.3. Tạo số ngẫu nhiên trên máy tính
Ion Saliu [21] nói rằng tính năng tạo số ngẫu nhiên đã có sẵn ở những máy tính cá nhân đời đầu. Nó được tích hợp với ngôn ngữ lập trình BASIC theo máy tính. Ngôn ngữ này không nằm trên đĩa (software-based) mà được tích hợp trên chip nhớ ROM (hardware-based). Hàm ngẫu nhiên khi đó thông tin trực tiếp với chip thạch anh, nó
đọc trực tiếp tần số của chip và sử dụng nó như là số khởi tạo cho số ngẫu nhiên. Lợi ích của kỹ thuật này là có được một số lượng lớn các giá trị khởi tạo khác nhau. Microsoft vào những năm 80 đã tạo nên ngôn ngữ Microsoft BASIC trong các máy IBM PC. Chương trình không còn ở ROM nữa mà ở ổ đĩa (disk), đây là một nền tảng lập trình chắc chắn cho đến ngày nay. Tại thời điểm đó, số ngẫu nhiên được tạo ra đôi khi được gọi là số ngẫu nhiên giả (pseudo-random numbers) bởi vì phần mềm tạo các số ngẫu nhiên dựa trên một số khởi tạo (seed) nhờ bộđếm thời gian.
David W. Deley [16], trong nghiên cứu về việc tạo số ngẫu nhiên trên máy tính của mình, ông đã phân tích nhiều giải thuật tạo số ngẫu nhiên trên máy tính thông qua các ngôn ngữ lập trình như Fortran, C, ANSI C, Microsoft C và Turbo Pascal. Nền tảng lý luận cho nghiên cứu của ông là lý thuyết xác suất và phương pháp kiểm tra các giải thuật là kiểm tra dựa trên phân bố chi bình phương (Chi-square) và phân bố
Kolmogorov-Smirnov. David nhận thấy rằng, các cách tạo số ngẫu nhiên ở trên đều sử dụng phương pháp đồng dư tuyến tính đã trình bày ở trên và với mỗi ngôn ngữ
có một thế mạnh riêng trong việc tạo các số ngẫu nhiên.
David cũng nhận xét rằng, việc xác định chính xác ngôn ngữ nào để tạo số ngẫu nhiên phụ thuộc vào ứng dụng mà chúng ta thiết kế. Có một sự cân bằng giữa độ
phân giải (resolution) và số lượng (quantity) các số ngẫu nhiên được tạo ra. Với độ
phân giải cao, không quá nhiều các số ngẫu nhiên được tạo ra trước khi tìm ra một vài số không ngẫu nhiên. Với độ phân giải thấp, sẽ có đủ nhiều các số ngẫu nhiên
37
được tạo ra trước khi tìm ra một vài số không ngẫu nhiên. Theo ông, các ngôn ngữ
lập trình như Fortran, C, Microsoft C là đủđể tạo các số ngẫu nhiên.
2.3.4. Số ngẫu nhiên giả và số ngẫu nhiên thật
Theo Mads Haahr [41], một nhà nghiên cứu về ngẫu nhiên và các trò chơi cờ bạc (gambling), có hai cách tiếp cận chính trong việc sử dụng máy tính để tạo các số
ngẫu nhiên, đó là máy tạo số ngẫu nhiên giả (Pseudo-Random Number Generators) và máy tạo số ngẫu nhiên thật (True Random Number Generators). Các tiếp cận này có những đặc điểm hoàn toàn khác nhau. Có nhiều ý kiến tán thành cũng như phản
đối cho mỗi tiếp cận.
Một trang web tạo số ngẫu nhiên trực tuyến
Máy tạo số ngẫu nhiên giả(PRNGs)
Số ngẫu nhiên giả không phải ngẫu nhiên, chí ít là nếu chúng ta đã biết phép rơi ngẫu nhiên súc sắc hay là cách xổ số của các công ty xổ số. Về cơ bản, máy tạo số
ngẫu nhiên giả sử dụng một công thức toán học đệ quy để tạo một dãy các số xuất hiện ngẫu nhiên. Một thuật toán tốt là phương pháp đồng dư tuyến tính (đã nêu ở
trên). Những thuật toán hiện đại để tạo số ngẫu nhiên giả trở nên quá tốt đến nỗi mà những sốđược tạo ra trông như là thật sự ngẫu nhiên.
PRNGs là hiệu quả, theo nghĩa chúng có thể tạo ra nhiều số trong một thời gian ngắn, và xác định được, theo nghĩa một dãy các số cho sẵn có thể tái tạo (tại một thời điểm khác) nếu biết được điểm đầu trong dãy đó. Hiệu quả là tính chất tốt nếu
ứng dụng cần nhiều số, và tính xác định được thuận tiện để lặp lại cùng một dãy số ở những thời điểm khác. PRNGs cũng có tính tuần hoàn (periodic). Cho dù tính tuần hoàn hầu như không phải là một đặc tính đáng mong muốn nhưng những máy tạo số ngẫu nhiên giả hiện đại có những chu kỳ dài đến độ có thể bỏ qua cho những
38
mục đích mang tính thực hành. Theo Mads Haahr, PRNGs là đủ cho những ứng dụng cần nhiều số và những ứng dụng tạo mô hình. PRNGs không phù hợp cho những ứng dụng đòi hỏi số phải không được xác định trước như là bảo mật dữ liệu hay các trò cờ bạc.
Máy tạo số ngẫu nhiên thật (TRNGs)
Nếu so sánh với PRNGs, TRNGs trích xuất sự ngẫu nhiên từ các hiện tượng vật lý
và đưa vào máy tính. Chúng ta có thể hình dung giống như một con súc sắc kết nối với máy tính vậy. Tuy nhiên, sử dụng hiện tượng vật lý dễ kết nối với máy tính hơn nhiều so với súc sắc. Hiện tượng vật lý có thể là sự nhấp môi của ai đó hay khoảng thời gian giữa hai lần nhấn phím, hoặc có thể là tiếng động…
Có một số cách để tạo ra sự ngẫu nhiên thực sự trên máy tính. Một hiện tượng vật lý
thật sự tốt cho sự ngẫu nhiên là nguồn phóng xạ. Điểm quan trọng ở đây là sự phân rã của một chất phóng xạ là không đoán trước được và chúng có thể dễ dàng đưa vào máy tính. Một hiện tượng vật lý khác cũng thích hợp là tiếng ồn của khí quyển (atmospheric noise), dễ dàng tìm thấy trong một cái radio bình thường.
Một thiết bị tạo số ngẫu nhiên thật
Máy tạo số ngẫu nhiên thật
Đặc tính của TRNGs hoàn toàn khác với PRNGs. Trước hết, TRNGs không hiệu quả bằng PRNGs khi xem xét đến thời gian tạo các số. Chúng có đặc tính không xác
định trước được, theo nghĩa các dãy số không bị lặp lại và TRNGs không có chu kỳ. Máy tạo số ngẫu nhiên thật đặc biệt cần cho việc bảo mật dữ liệu, các trò cờ bạc và xổ số.
2.3.5. Tạo số ngẫu nhiên trên GSP và Fathom
The Geometer’s Sketchpad và Fathom đều là những phần mềm có nền đôi (dual – platforms). Chúng được viết chính cho nền Macintosh và có một phiên bản dành cho nền Windows. Theo Nick Jackiw, người viết phần mềm GSP và tham gia viết
39
phần mềm Fathom, cả hai phần mềm trên đều sử dụng ngôn ngữ ISO C để lập trình trên Macintosh và C++ trên Windows. Như thế, hàm ngẫu nhiên được dùng cho hai phần mềm đều sử dụng kỹ thuật đồng dư tuyến tính và tạo ra các số ngẫu nhiên giả
(pseudo-random numbers), hoàn toàn phù hợp với phần mềm tạo mô hình như GSP và Fathom.
Một cách tạo số nguyên ngẫu nhiên trên GSP
Trên phần mềm GSP, việc tạo số ngẫu nhiên phải thông qua hoạt động (Animation). Một đối tượng này có thể di chuyển ngẫu nhiên trên một đối tượng khác. Chẳng hạn, một điểm tùy ý trên đoạn thẳng có thể di chuyển ngẫu nhiên trên đoạn thẳng
đó. Bằng cách đo khoảng cách của điểm đó đến một điểm cốđịnh cho trước, giá trị
khoảng cách sẽ là giá trị ngẫu nhiên.
1. Dựng một đoạn thẳng AB tùy ý, lấy một
điểm M tùy ý trên AB.
2. Chọn điểm M, áp dụng Edit | Action Buttons | Animation, trong hộp thoại hiện ra chọn thẻ Animate, phần
Direction chọn random, chọn thẻ
Label và nhập tên Random.
3. Đo độ dài đoạn thẳng AM, nhấn nút
Random để độ dài thay đổi ngẫu nhiên
từ 0 đến độ dài đoạn AB. Tạo số ngẫu nhiên trên GSP Nếu thay đoạn thẳng AB bởi một đường tròn và điểm M trở thành một điểm tự do trên đường tròn đó thì M có thể ở những vị trí ngẫu nhiên. Với một điểm N cốđịnh trên đường tròn, việc vị trí M là ngẫu nhiên sẽ làm cho độ dài đoạn thẳng MN là một giá trị ngẫu nhiên. Lấy phần nguyên của giá trị đó sau khi chia nó cho chu vi của
đường tròn rồi nhân thêm một hệ số nguyên, ta có thể tạo ra một dãy các số nguyên ngẫu nhiên trong một đoạn nào đó.
Một cách tạo số nguyên ngẫu nhiên trên Fathom
Fathom là phần mềm chuyên về thống kê và xác suất nên có sẵn các hàm ngẫu nhiên để sử dụng. Với tính năng tạo thanh trượt (Sliders), Fathom cho phép người dùng tạo thanh trượt ngẫu nhiên.
40
1. Ở trang hình Fathom, nhấp chuột vào biểu tượng thanh trượt (Sliders) rồi kéo vào trang hình để tạo một thanh trượt. 2. Áp dụng Edit | Edit Fomula để tạo
công thức cho thanh trượt random. 3. Trong ô công thức, chọn randomPick,
nhập 1, 2, 3, 4, 5, 6 rồi nhấn nút OK để
kết thúc.
4. Nhấn nút hình tam giác ở thanh trượt để
có các số ngẫu nhiên từ 1 đến 6.
Tạo số ngẫu nhiên trên Fathom
Thực nghiệm sư phạm
Trong quá trình thực nghiệm với 3 nhóm học sinh lớp 11, chúng tôi đã lập biểu mẫu thống kê 100 lần gieo súc sắc để cho các em ghi kết quả. Thống kê các kết quảđược cho ở bảng sau: Kết quả tổng số chấm của hai súc sắc Tên nhóm 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tổng Trinh + Nga 1 4 11 13 12 19 12 9 10 5 4 100 Minh + Bảo 3 4 13 13 9 13 18 11 8 5 3 100 Hải + Trâm 4 4 6 5 17 12 13 18 8 6 7 100 Linh + Ngân 4 6 11 10 15 15 17 9 8 5 0 100 Quang + Nam 3 3 9 12 13 7 11 17 7 13 5 100 Bưởi + Diệm 2 1 7 17 18 15 13 10 9 4 4 100 Tổng 17 22 57 70 84 81 84 74 50 38 23 600 Ta có biểu đồ thống kê giữa các kết quả tổng số chấm và tần số của chúng sau 600 lần gieo súc sắc ở bên. Việc thể hiện đúng hình tháp của biểu đồ chưa hoàn toàn được như mong đợi. Điều này cũng dễ hiểu do số lần gieo súc sắc chưa đủ lớn.
41