Approximation (LSDA)
Phương pháp LDA được giới thiệu ở phần trên đưa đến những kết quả chính xác cho khí electron đồng nhất đã bổ chính spin, nếu như một phiếm hàm trao đổi- tương quan chính xác được sử dụng. Đối với những mô tả cho những hệ thống được đặt trong một từ trường ngoài, các hệ thống bị phân cực hoặc những hệ thống có hiệu ứng tương tự là rất quan trọng. Khi này hệ thống Kohn-Sham đã bổ chính spin và LDA không thể áp dụng vào đây được.
Lý thuyết Kohn-Sham phân cực spin đã được phát triển vào đầu những năm 1970, và một thời gian ngắn sau đó, người ta thấy rằng những hiệu chỉnh tương đối chẳng hạn như cặp spin quỹ đạo có thể được bao hàm trong hình thức luận này. Trong lý thuyết phân cực spin của Kohn-Sham, cùng với phương pháp xấp xỉ mật độ spin địa phương (LocaSpin Density Approximation - LSDA), năng lượng trao đổi tương tác có dạng như sau:
, = ∫ ( ) ( ( ), ( )) (2.25)
Ở đây, , là mật độ spin up và spin down.
Năng lượng tương quan-trao đổi trong phương pháp LSDA có thể được viết tương ứng là:
[ ,V] = ∫ ( ) ( ( ),V( ) ) (2.26)
Ở đây:
( ) = ( ) + ( ) và V( ) = ( ) ( )
SVTH: Trần Ý Nguyện Trang 29 là mật độ tổng cộng và mật độ phân cực spin tương ứng. Trong những phương trình đó α và β là tương ứng đại diện cho spin-up (hướng lên) và spin-down (hướng xuống). Do khả năng phân tách của phiếm hàm năng lượng trao đổi:
, = [ , 0] + [0, ] (2.28)
Và spin độc lập:
[ , 0] = [0, ] (2.29)
Ta có thể viết lại dạng của năng lượng trao đổi:
, = [ , ] + [ , ] (2.30)
Khi thay thế phiếm hàm năng lượng trao đổi Dirac vào những phương trình đó, và sử dụng mối quan hệ:
= (1 +V) , = (1 −V) (2.31)
ta sẽ thu được năng lượng trao đổi phụ thuộc vào mật độ spin địa phương trên mỗi hạt là:
( ,V) = ( , 0) + (V)( ( , 1) − ( , 0) ) (2.32)
Ở đây:
(V) = ( V) / /( V) (2.33)
được gọi là hàm nội suy Von Barth-Hedin, và:
( , 0) = / , ( , 1) = 2 / / (2.34)
Năng lượng tương quan trên một hạt trong phương pháp LSDA rất khó thu được riêng rẽ từ năng lượng trao đổi. Điều này đặc biệt đúng trong trường hợp V ≠ 0 và
V≠ ∓1. Khi xây dựng LSDA, người ta thường giả sử rằng năng lượng tương quan trao đổi trên một hạt có thể được nội suy cho hệ thống phân cực spin cục bộ, giống như năng lượng trao đổi trên một hạt:
SVTH: Trần Ý Nguyện Trang 30 Ở đây, (V) vẫn là hàm nội suy như trên. Trong giới hạn mật độ cao, ( , 0), được xấp xỉ bởi lý thuyết hệ nhiều hạt cùng với việc lấy tổng trong toàn không gian và
( , 1) được cho bởi hệ thức tỉ lệ pha ngẫu nhiên :
= ( , 1) = (2 , 0) (2.36)
Đối với mật độ thấp và trung bình, người ta sử dụng những điều chỉnh số đối với các kết quả Monte-Carlo lượng tử chính xác.