V z j= j
p º f Ở đây, f k( )c được định nghĩa là f1 () c, f2 cº (f( ) c),
3.7.4 Phân tích MIN_DIST.
Cho hai bit liền kề, π_init(m), π(m+1), 1≤m≤n2-1 được biểu thị: π_init(m)= π_init((j-1)×n+i).
π_init(m+1)= π_init((j-1)×n+i+1).
Chứng minh 1:
Nếu m≠kn (k=1,…,n-1), cho 1≤j≤n và 1≤j≤n-1. Thì | π_init(m+1)- π_init(m)|
=| π_init((j-1) × n+i+1)- π_init((j-1) × n+i)| =|(( Γ(i+1)-1)×n+ Γ(j))- (( Γ(i)-1)×n + Γ(j))| =|( Γ(i+1)- Γ(i))×n|
=|( Γ(i+1)- Γ(i))|×n ≥ n.
Nếu và chỉ nếu |( Γ(i+1)- Γ(i))| =1, dấu đẳng thức xảy ra. Vì vậy khoảng cách nhỏ
nhất của π_init(m) và π_init(m+1)không nhỏ hơn n.
Chứng minh 2:
Nếu m=kn (k=1,…,n-1), ta có 1≤j≤n-1 và i=n. Nên |π_init(m+1) - π_init(m)|
=| π_init((j-1)×n+i+1) - π_init((j-1)×n+i)| =| π_init((j-1)×n+n+1) - π_init((j-1)×n+n)| =| π_init((j+1-1)×n+1) - π_init((j-1)×n+n)| =| (( Γ(1)-1)×n + Γ(j+1)) – (( Γ(n)-1)×n+Γ(j))| =| (( Γ(1) – Γ(n))×n + Γ(j+1)) – Γ(j))| =| (( Γ(1) – Γ(n))×n + Γ(j+1)) – Γ(j))| ≥ | (( Γ(1) – Γ(n))|×n - |Γ(j+1)) – Γ(j))| ≥ n-(n-1)=1 Nếu { Γ(1) – Γ(n) = -1, Γ(j+1) = n và Γ(j) = 1} hoặc { Γ(1) – Γ(n) = 1, Γ(j+1) =1 và Γ(j) =n}, dấu đẳng thức xảy ra.
Nghĩa là, cho m=kn (k=1,…,n-1), |π_init(m+1) - π_init(m)|
=| π_init((j+1-1)×n+1) - π_init((j-1)×n+n)| =|M2(1, j+1)- M2(n,j)| ≥ 1.
Hai chỉ số này xuất hiện ở hai cột kề nhau của M2, một ở dưới một cột và một ở đỉnh cột kế tiếp. Nếu { Γ(1) – Γ(n) = -1, Γ(j+1) = n và Γ(j) = 1} hoặc { Γ(1) – Γ(n) = 1, Γ(j+1) =1 và Γ(j) =n}, khoảng cách hai chỉ số là 1. Khi n lớn khả năng xảy ra sẽ nhỏ hơn nhưng khi n rất nhỏ thì điều kiện này có thể xảy ra. Ví dụ, Γ = [2 1 4 3], và π_init(8) = 9, π_init(9) = 8, chúng là cặp kề còn lại.
Các chỉ số lớn hơn N không xuất hiện liên tiếp trong π_init. Nên việc xóa các chỉ
số đó đương nhiên không ảnh hưởng tới DISTANCE.
Đặc biệt đan xen hai chiều có thể cung cấp MIN_DIST lớn hơn đan xen ngẫu nhiên,
đan xen lũy thừa, đan xen giả ngẫu nhiên và đan xen dịch. Ta đưa ra một ví dụ để phân tích:
Giả sử N=15:
Nếu sử dụng một hàm tạo PN: pk= {1, 0, 1}, ta chọn n=5 và có Γ{2,4,1,3,5}, ta
được:
π_init:{7,17,2,12,22,9,19,4,14,24,6,16,1,11,21,8,18,3,13,23,10,20,5,15,25}, sau khi xóa các giá trị lớn hơn 15 ta được:
πmaster: {7,2,12,9,4,14,6,1,11,8,3,13,10,5,15}. Nếu K=3 ta có π1: {4,14,6,1,11,8,3,13,10,5,15,7,2,12,9}; π2: {3,13,10,5,15,7,2,12,9,4,14,6,1,11,8}; π3: {7,2,12,9,4,14,6,1,11,8,3,13,10,5,15} DISTANCE của π1, π2 và π3 là 3.