Xây dựng câu hỏi và bài tập phân hóa khi dạy học một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

- Qua nhiều bƣớc trung gian Tổng quát hóa.

x  c (sinx 1)(2 os2 c x 2) 

2.4.3. Xây dựng câu hỏi và bài tập phân hóa khi dạy học một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

trình lượng giác đơn giản

Phân tích nội dung dạy học:

 Phƣơng trình bậc nhất đối với một hàm số lƣợng giác

+ Dạng phƣơng trình at bvới t là một hàm số lƣợng giác a0 và ,a b . + Cách giải là ta đi tìm t sau đó đi giải phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.

 Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác + Dạng phƣơng trình 2

0

at   bt c với t là một hàm số lƣợng giác a0 và ,

a b (Đặt điều kiện cho t).

+ Cách giải là ta đi tìm t sau đó đi giải phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.

 Phƣơng trình bậc nhất đối với s inx và cosx

+ Dạng phƣơng trình sinx bcosx ca   trong đó a b c, ,  và a2b2 0 + Cách giải là đƣa về phƣơng trình lƣợng giác cơ bản

2 2 sin(x ) c a b     với 2 2 2 2 os ,sin a +b a +b a b c     .

 Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với s inx và cosx

+ Dạng phƣơng trình a sin2x b sin x cosx c cos2x0 (*) Trong đó a b c, ,  và a2  b2 c2 0.

+ Phƣơng pháp giải là đƣa về phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx hoặc đƣa về phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác (tanx hoặc cotx).

 Một số ví dụ khác

+ Đó là những phƣơng trình lƣợng giác mà khi giải cần phải thực hiện các phép biến đổi lƣợng giác thích hợp để đƣa về phƣơng trình lƣợng giác quen thuộc.

Mục tiêu:

 Kiến thức và kĩ năng cơ bản:

+ Dạng phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác, phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx., phƣơng trình đối xứng với sinx và cosx, một số phƣơng trình có thể dễ dàng quy về dạng trên (có thể thêm một vài điều kiện đơn giản).

Giải đƣợc các dạng phƣơng trình nói trên. Biến đổi đƣợc một số dạng phƣơng trình đơn giản về đã học.

 Kiến thức và kĩ năng nâng cao:

+ Sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác, thể hiện đƣợc một số dạng phƣơng trình biến đổi về phƣơng trình nói trên.

Sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác, thể hiện đƣợc một số dạng phƣơng trình biến đổi về phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.

 Tƣ duy: Khả năng tƣ duy đặc biệt hóa, khái quát hóa. Phát huy đƣợc tƣ duy một cách lôgíc, có hệ thống. Phát triển tƣ duy sáng tạo, tƣơng tự, phân tích, tổng hợp.

 Thái độ: Tích cực tham gia vào các hoạt động học tập, có thái độ nghiêm túc và tinh thần hợp tác trong các hoạt động học tập. Có ý thức xây dựng bài học.

Nội dung kiến thức có thể mã hóa thành câu hỏi và bài tập: + Phƣơng trình bậc nhất đối với một hàm số lƣợng giác

+ Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác + Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

+ Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

+ Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx. + Phƣơng trình đã cho ở dạng tích.

+ Phƣơng trình đã cho ở dạng tổng các bình phƣơng bằng không, ...

+ Dạng dạng tổng quát và cách giải của phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác.

+ Dạng dạng tổng quát và cách giải của phƣơng trình: bậc nhất đối với s inx và cosx, thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx, đối xứng đối với sinx và cosx. + Biến đổi (đơn giản) phƣơng trình về dạng tích, tổng các bình phƣơng của các biểu thức (lƣợng giác) bằng không, …

Hệ thống câu hỏi và bài tập phân hóa

Bài 74. Giải các phƣơng trình sau

a. 3 tan 2x 3 0 b. cos(x30 ) 2 os 150  c 2 01 c. 2cosx 30 d. 3 t an3x 3 0 e. 1 sin 3 0 2 x  f. (sinx 1)(2 os2 c x 2)0

Bài 75. Phƣơng trình .cosa x b 0 luôn có nghiệm khi a) a b,  b) a b,  và ab

c) a b,  và ab d) a b,  và a  b

Bài76. Phƣơng trình a.cotx b 0

a) luôn có nghiệm với mọi a,b b) Vô nghiệm khi a0và b0

c) Có nghiệm khia0 và mọi b d) Có nghiệm khi a b 0 hoặc c)

Bài 77. Giải các phƣơng trình sau trên khoảng đã cho, sau đó sử dụng máy tính bỏ túi (bảng tính) để tính gần đúng nghiệm (chính xác đến hàng phần trăm):

a. 4 os2c x 3 0 trên (0; 2  ). b. 5 3tan 3 x0 trên ( ; 6 6    ).

Bài 78. Giải các phƣơng trình sau

a. 2sin2x5sinx 3 0 b. tan3x cot3x 0

c. 2

os2 sin x+cos 1 0

c x x  d. 2

2cos xsinx 1 0 e. 3 t an x2  (1 3)tanx 1 0 f. os2c xcosx 1 0

g. 2 2

2cos xsin x4cosx 2 0 h. 2

2cos x3cosx 1 0

i. 2 2

9sin x5cos x5sinx+40 k. 2

m. 3 os2c x2(1 2 sinx)sinx 3 20

HS yếu kém làm ý a,b,c; HS bình làm ý b,d,f; HS khá giỏi làm ý e,g,h,i,k,m.

Bài 79. Phƣơng trình 4 osc 2x2(1 2) cosx 20 có đúng a) 4 họ nghiệm b) 1 họ nghiệm c) 2 họ nghiệm d) 3 họ nghiệm

Bài80. Phƣơng trình 5tanx-3cotx-2 0 có đúng

a) 1 họ nghiệm b) 2 họ nghiệm c) 3 họ nghiệm d) 4 họ nghiệm

Bài 81. Cho phƣơng trình cos2x(2m1) cosx  m 1 0 (1) a. Giải phƣơng trình (1) khi m0.

b. Tìm m để (1) có nghiệm 3 ( ; ) 2 2 x   . c. Xác định m để (1) có nghiệm xk với k .

HS yếu kém làm ý a; trung bình c; khá giỏi b,c.

Bài 82. Giải các phƣơng trình sau trên khoảng đã cho, sau đó sử dụng máy tính bỏ túi (bảng tính) để tính gần đúng nghiệm (chính xác đến hàng phần trăm):

a. t anx2cotx3 với 0 0

180  x 360 . b. 2sin2x3cosx2 với 00  x 3600.

c. 3 os2c x10sinx 1 0 trên ( ; 2 2  

 ). d. cot x2 3cotx 10 0trên (0; ).

Bài 83. Chứng minh: sinx cos 2sin

4

x x  

 

 

   .

Từ đó Tìm x thỏa mãn sinxcosx1?

Bài84. Giải các phƣơng trình sau

a. 3sinx cos x1 b.2sin3x 5 os3c x 3 c.3cosx4sinx 5

HS trung bình c. HS khá giỏi b. HS yếu kém a.

Bài85. Các khẳng định sau đúng hay sai? Tại sao?

a.Phƣơng trình sinx+b cosa xc có nghiệm khi và chỉ khi 2c a2b2

Bài86. Hãy chọn phƣơng án đúng trong các phƣơng án sau 1.Phƣơng trình sin2xcos2x0có nghiệm là:

a. , 4 x   k k b. , 4 2 k x    k . 2. Hàm số ya sinx b cosx với 2 2

0

a b  có

a. Giá trị lớn nhất là: a2b2 b. Giá trị nhỏ nhất là:  a2b2 . 3. Phƣơng trình 2sin 3x 5 os3c xm có nghiệm khi m [ 3;3]. 4. Phƣơng trình sinx+b cosa xcvới 2 2

0

a b  có nghiệm ẩn x khi và chỉ khi: a. 2 2 2

c a b b. 2 2 2

c a b c. 2 2 2

c a b d. 2 2 2

c a b . 5. Phƣơng trình 2sinx cos x3 có:

a.1 họ nghiệm b. 2 họ nghiệm c. 4 họ nghiệm d. Vô nghiệm.

Bài87. Chứng tỏ rằng a. Hàm số y sinx cos 1 sinx cos 3 x x      có tập xác định và tập giá trị [ 1 1; 7  ].

b. Hàm số ya sinxbcosxc(với a2b2 0) có giá trị lớn nhất là

2 2

a b c và giá trị nhỏ nhất là  a2b2 c.

Bài88. Giải các phƣơng trình sau:

a. 3cosx4sinx 5 b. 2sin 2x2 os2c x 2

c. 5sin 2x6cos2x13 d. sinx2cosx3

e. sin sin2 0,5 2

x

x  f. cos2xsin x2 0

g. sinxcosx  2 sin 3x h. 2sin 2x3 os2c x 13 sin14x

i. 3sin2xsin 2xcos2x0 k. 2 1

sin 2 sin x 2

x 

HS yếu kém làm ý a,b,d. HS trung bình làm ý c,d,e. HS khá giỏi làm ý d, f,g,i,k.

Bài 89. Cho hàm số y (2 3)sin 2xcos2x

a. Tìm tập giá trị của hàm số, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

b. Giải phƣơng trình (2 3)sin 2xcos2x2

Bài 90. Đƣa các biểu thức sau về dạng Csin(x): a. sinx tan cos

7 x



 b. tan sinx cos

7 x





Bài91. Hạ bậc của biểu thức f x( )sin2x 3 sin x cosx2 osc 2x1. Từ đó tìm x để f x( )0.

Bài92. Giải các phƣơng trình sau

a.  3 sin x cosx c os2x0 b. sin2x 3 sin x cosx2 osc 2x1 c. 3sin2xsin 2xcos2x0 d. 4sin2x5sin x cosx6cos2x0

Bài93. Giải các phƣơng trình sau (bằng 2 cách)