Bài toỏn 5 Giải phương trỡnh 2

. (21) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua tõm O Khi đú

Bài toỏn 5 Giải phương trỡnh 2

tan x cot x 6. Lời giải. Áp dụng cụng thức (2.49), ta cú 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6. 1 1 z z z z

Biến đổi ta được phương trỡnh:

4 4 2 2 2 4 1 1 6 1 . z z z Từ đú suy ra: 8 8 1 0 1. z z Nhưng ta lại cú 8 cos8 sin8 z x i x, do đú ta cú cos8 1 ( ). 8 4 k x x k Z

Vậy cỏc họ nghiệm của phương trỡnh đó cho là:

( )

8 4

k

x k Z

2.3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho M N P Q R, , , , , và S là trung điểm của cỏc đoạn thẳng

, , , , và

A B BC CD DE FA của một lục giỏc A BCDEF .

Chứng minh rằng 2 2 2

R N MQ PS khi và chỉ khi MQ PS .

Bài 2. Cho hỡnh vuụng ABCD, cạnh a ngoại tiếp đường trũn tõm O. Cho P là điểm bất kỳ trờn đường trũn đú.

Tỡm giỏ trị của biểu thức 2 2 2 2

PA PB PC PD .

Bài 3. Cho tam giỏc ABC cú G là trọng tõm; điểm S thỏa món

IS IA IB IC

và điểm A' đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng: 3) Hai tam giỏc ABC và A SA' cú cựng trọng tõm.

4) IS 3IG. .

Bài 4. Cho hỡnh vuụng ABCD. Chứng minh rằng:

2 2 2 2

A B CD A D BC khi và chỉ khi A C BD .

Bài 5. Cho cỏc điểm A B C D, , , và ba số thực , ,a b c khụng đổi. Lấy cỏc điểm M N P, , , và Q sao cho B M a t B A B N , b t B C,

và

,

DQ b t DA DP  c t DC

, với t là số thực. Chứng minh khi số thực t thay đổi nhưng tổng MP NQ

khụng đổi.

Bài 6. Chứng minh rằng nếu z cosx isinx và z 1, thỡ

1 1

Re

1 z 2^.

Bài 7. Tớnh giỏ trị của tớch 0 0 0

cos 20 cos 40 cos80

P , bằng ớt nhất hai cỏch khỏc nhau. Bài 8. Tớnh cỏc tổng sau 1 1 cos sin S và T n n k k k k q kx q kx

Bài 9. Giải phương trỡnh 5sin 3 x 3sin 5 x 0.

Bài 10. Tớnh giới hạn 1 ¹cos ¹cos ... ¹ cos

2 4 4 2 2 4

lim

Trong đề tài đó nờu những định hướng cơ bản về vấn đề dạy học nội dung ứng dụng số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc và vấn đề xõy dựng hệ thống cỏc bài tập, chuyờn đề. Qua chương này chỳng tụi đó xõy dựng được một số chuyờn đề với một số dạng bài tập điển hỡnh từ đơn giản đến phức tạp, cựng với một hệ thống bài tập tự luyện thường gõy khú khăn cho HS phổ thụng. Thụng qua cỏc chuyờn đề này gúp phần bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho HS, đặc biệt năng lực ứng dụng số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc cho HS khỏ giỏi ở trường Trung học phổ thụng.

CHƢƠNG 3

THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đớch thử nghiệm sƣ phạm. 3.1. Mục đớch thử nghiệm sƣ phạm.

Thử nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đớch kiểm tra tớnh khả thi và hiệu quả của cỏc chuyờn đề đưa ra để dạy HS nội dung ứng dụng số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc.

3.2. Tổ chức thử nghiệm. 3.2.1. Nội dung thử nghiệm. 3.2.1. Nội dung thử nghiệm.

Thử nghiệm dạy học một số nội dung về ứng dụng của số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc cho HS khỏ giỏi ở trường THPT.

Tiến hành dạy thử nghiệm nội dung: Ứng dụng số phức vào giải một số dạng toỏn của hỡnh học phẳng và lượng giỏc:

+ Bài toỏn chứng minh, tớnh toỏn. + Bài toỏn quỹ tớch, dựng hỡnh.

+ Một số bài toỏn chứng minh, tớnh tổng cỏc biểu thức chứa cỏc hàm số lượng giỏc.

+ Ứng dụng số phức để giải một số phương trỡnh lượng giỏc thường gặp.

3.2.2. Đối tƣợng thử nghiệm.

Đối tượng thử nghiệm là HS lớp 12A1 chuyờn Toỏn, trường THPT chuyờn tỉnh Lào Cai, gồm 25 học sinh. Đõy là lớp chuyờn toỏn của trường nờn đối tượng HS đều là cỏc em HS cú kiến thức, kỹ năng tương đối tốt về mụn toỏn, cú khả năng vận dụng và tớnh sỏng tạo trong giải toỏn. Đạo đức tốt, tỏc phong nhanh nhẹn.

Giỏo viờn dạy thử nghiệm là cụ giỏo Nguyễn Thị Minh – là giỏo viờn giảng dạy lõu năm, cú nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, đặc biệt là trong cụng tỏc bồi dưỡng cho HS khỏ giỏi.

3.2.3. Triển khai thử nghiệm.

Sau khi trao đổi nội dung với Tổ chuyờn mụn, kết hợp với nắm bắt tỡnh hỡnh thực tế học tập của HS, chỳng tụi tiến hành tổ chức thử nghiệm trong thời gian bốn tuần.

+ Tuần thứ nhất tiến hành dạy cho HS những kiến thức về số phức trong chương trỡnh.

+ Tuần thứ hai hoàn thiện cỏc kiến thức về số phức trong chương trỡnh và tiến hành dạy bổ sung cho HS một số kiến thức về số phức phục vụ cho việc làm cỏc chuyờn đề.

+ Tuần thứ ba dạy cho HS chuyờn đề về ứng dụng số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng.

+ Tuần thứ tư dạy cho HS chuyờn đề về ứng dụng số phức vào giải toỏn lượng giỏc, cỏc chuyờn đề được tiến hành dạy vào cỏc buổi bồi dưỡng, mỗi tuần 2 buổi.

Tiến hành kiểm tra, đỏnh giỏ vào cuối tuần thứ tư.

Mỗi tiết dạy, mỗi chuyờn đề đều được trao đổi, thảo luận kỹ về mục tiờu, nội dung, phương phỏp giảng dạy. Sau mỗi tiết dạy, mỗi chuyờn đề đều cú nhận xột, rỳt kinh nghiệm cho cỏc tiết dạy tiếp theo được tốt hơn.

Về dạy chuyờn đề, chỳng tụi đó hướng dẫn HS giải một số bài tập (cú lựa chọn kỹ lưỡng) như trong luận văn đó trỡnh bày. Ngoài ra cũn cung cấp cho HS tài liệu tham khảo giỳp cỏc em thấy được những ứng dụng khỏc phong phỳ của số phức trong cỏc lĩnh vực toỏn học, chỳng tụi cũng cung cấp thờm cỏc bài tập để HS tự giải và nghiờn cứu.

Chỳng tụi đó chuẩn bị bài kiểm tra, sau khi đó bàn bạc, trao đổi với giỏo viờn bộ mụn về mục đớch, nội dung của bài kiểm tra và cho HS thực hiện vào thời điểm đó định trước.

Để đỏnh giỏ kết quả, sau khi dạy thử nghiệm chỳng tụi đó phỏt cho cỏc em trả lời vào phiếu thăm dũ ý kiến (được trỡnh bày trong phụ lục của luận văn) với nội dung thiết thực, cụ thể nhằm thu được những thụng tin phản hồi từ phớa HS.

Tổng hợp cỏc ý kiến tự đỏnh giỏ của HS và trao đổi cựng một số thầy cụ giỏo trong Tổ bộ mụn chỳng tụi thấy.

 Về giỏo viờn.

Số phức lõu nay vẫn được đưa vào giảng dạy cho cỏc lớp chuyờn toỏn, tuy nhiờn chỉ dừng lại ở mức độ giới thiệu và làm cỏc bài tập cơ bản về số phức. Nội dung ứng dụng số phức vào giải toỏn đó được đề cập song chưa nhiều. Việc dạy cho HS ứng dụng số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc làm cho HS thấy được ý nghĩa, vai trũ của số phức trong Toỏn học.

Số phức là một nội dung khú song việc ỏp dụng nú vào giải toỏn cho ta nhiều kết quả lý thỳ và đẹp, gõy hứng thỳ cho sự tỡm tũi, làm tiền đề cho sự sỏng tạo,... mà những điều đú rất cần cho người học toỏn, làm toỏn.

Việc đưa nội dung ứng dụng số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc (đặc biệt là cỏc bài toỏn quỹ tớch, giải phương trỡnh) tạo điều kiện cho cỏc thầy cụ giỏo cú một hướng suy nghĩ mới, mặc dự một số bài toỏn nếu giải bằng số phức cú thể dài hơn song ta cú thể dựng số phức để nghiờn cứu cỏc vấn đề khỏc của toỏn, gõy hứng thỳ hơn cho việc nghiờn cứu cỏc vấn đề về số phức. Qua đú cũng phỏt huy tớch cực năng lực giải bài tập toỏn khụng chỉ của HS mà cả cỏc thầy cụ giỏo.

Tuy nhiờn nếu cú nhiều thời gian hơn để cú thể rốn luyện, bồi dưỡng kiến thức cho HS thỡ hiệu quả sẽ cao hơn.

Sau khi cho cỏc em trả lời cỏc phiếu thăm dũ, chỳng tụi nhận được kết quả từ cõu hỏi thứ nhất như sau.

Stt Nội dung ^{Mức độ hiểu bài}

Khụng cú ý kiến Khụng hiểu Hiểu

1 Bài toỏn chứng minh, tớnh toỏn 4 8 13

2 Bài toỏn quỹ tớch. 1 9 15

3 Tớnh tổng cỏc biểu thức lượng

giỏc. ^{2 11 12}

4 Phương phỏp sử dụng số phức

để giải phương trỡnh lượng giỏc. ^{3 13 9} (Số trong cỏc ụ là số ý kiến của học sinh)

Stt Nội dung

Mức độ thớch thỳ

Khụng BT Thớch Rất thớch 1 Bài toỏn chứng minh, tớnh toỏn 4 14 7

2 Bài toỏn quỹ tớch. 10 15

3 Tớnh tổng cỏc biểu thức lượng

giỏc. ^{1 10 14}

4 Phương phỏp sử dụng số phức

để giải phương trỡnh lượng giỏc. ^{3 12 10} (Số trong cỏc ụ là số ý kiến của học sinh)

Như vậy, qua việc tổng hợp cỏc ý kiến của học sinh ở phiếu tự đỏnh giỏ, kết hợp với trao đổi cựng cỏc em, cú thể đưa ra một số nhận định sau.

Đa số cỏc em (chiếm khoảng trờn 60%) đều cú khả năng lĩnh hội được những nội dung cơ bản của số phức, biết ứng dụng cỏc kiến thức đú giải một

số dạng toỏn cơ bản của hỡnh học phẳng như: Quỹ tớch, chứng minh,... và một số bài toỏn về lượng giỏc cú chứa cung bội nx . Trong số cỏc vấn đề được hỏi, cho thấy cỏc em đó nhận thức rừ được hiệu quả của việc ứng dụng số phức vào giải cỏc bài toỏn quỹ tớch, cỏc bài toỏn tớnh tổng mà lõu nay vẫn là bài toỏn khú với cỏc em. Đối với việc giải phương trỡnh lượng giỏc, do cỏc em đó quỏ quen với việc biến đổi, phõn tớch nờn khi giải bằng số phức cỏc em chưa thực sự thớch thỳ. Tuy nhiờn, nhiều em đó thấy được sự khỏc biệt giữa giải phương trỡnh lượng giỏc bằng số phức với phương phỏp biến đổi, phõn tớch quen thuộc.

Sau đợt thử nghiệm, cỏc em thấy thớch thỳ hơn với những vấn đề về số phức; thấy rằng số phức khụng phải là cỏi gỡ đú quỏ xa lạ, quỏ phức tạp. Đặc biệt, năng lực giải cỏc bài toỏn hỡnh học phẳng về quỹ tớch, dựng hỡnh; năng lực giải cỏc bài toỏn về lượng giỏc được nõng lờn rừ rệt.

Tổng hợp ý kiến trong cõu hỏi 2 trong phiếu thăm dũ cho kết quả: 24/25 chọn phương ỏn trả lời là: Lựa chọn phương phỏp giải (dựng kiến thức lượng giỏc lớp 11 hoặc số phức) tựy theo đặc điểm của từng bài (chiếm gần 98%). Như vậy đứng trước một bài toỏn học sinh đó cú sự linh hoạt, tự tin để lựa chọn một phương phỏp giải phự hợp; nhờ đú mà năng lực giải toỏn của cỏc em cũng được phỏt triển.

Về kết quả thử nghiệm.

 Sau đợt thử nghiệm, chỳng tụi đó tiến hành kiểm tra đỏnh giỏ học sinh qua một bài kiển tra viết với thời gian 60 phỳt. Đề kiểm tra gồm 3 bài, với nội dung như sau.

BÀI KIỂM T RA (45 PHÚT ) Cõu 1. Giải cỏc phương trỡnh sau. Cõu 1. Giải cỏc phương trỡnh sau.

sin 3 sin 5 1) cos cos3 cos5 0. 2) .

3 5

x x

Cõu 2. Tớnh giới hạn sau.

2 4 4

sin sin ... sin

2 1 2 1 2 1

lim

n

n

n n n ^.

Cõu 3. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 và 2 cú phương trỡnh là

2 2

1: mx y m 0, 2 : (1 m x) 2my (1 m ) 0. 1) Tỡm toạ độ giao điểm I của ₁ và ₂ ứng với mỗi m.

2) Cho m thay đổi tỡm tập hợp cỏc giao điểm đú.

 Kết quả: 84% bài đạt điểm từ trung bỡnh trở lờn, cụ thể như sau.

Điểm 10 9 7; 8 5; 6 dưới 5

Số học sinh 1 1 10 9 4

Tỉ lệ (%) 4 4 40 36 16

 Những kết luận rỳt ra qua bài kiểm tra của HS.

+ Nhỡn chung cỏc em đều tớch cực, cố gắng làm bài kiểm tra.

+ Đa số cỏc em đều cú khả năng phiờn dịch bài toỏn sang ngụn ngữ số phức để giải quyết bài toỏn.

+ Qua bài làm của HS thấy cỏc em nắm vững kiến thức cơ bản về số phức, biết trỡnh bày lời giải rừ ràng, mạch lạc, biết suy luận và vận dụng linh hoạt cỏc kiến thức về số phức vào giải toỏn. Một số em biết kết hợp giữa số phức và phương phỏp tổng hợp thụng thường để giải quyết bài toỏn do đú cú lời giải gọn gàng, ngắn gọn. Như vậy năng lực ứng dụng số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc ở cỏc em đó được phỏt triển.

+ Số cỏc em đạt điểm giỏi chưa nhiều, qua đú cũng cho thấy, mặc dự cỏc em cú khả năng tiếp thu, vận dụng song kỹ năng giải toỏn cũn chưa thật linh hoạt, chưa biết suy nghĩ tỡm tũi để cú một lời giải nhanh, đơn giản.

+ Một số bài kiểm tra chưa đạt điểm trung bỡnh cho thấy mức độ nhận thức của HS trong lớp khụng đồng đều. Một số cũn phõn võn trong việc lựa chọn phương phỏp giải, khả năng ỏp dụng chưa linh hoạt.

+ Từ kết quả của những bài kiểm tra dưới trung bỡnh cũng cho thấy kỹ năng ứng dụng số phức vào giải toỏn núi riờng, kỹ năng giải toỏn núi chung của một số em cũn chậm, chưa thực sự tớch cực trong việc vận dụng cỏc kiến thức đó biết, vỡ vậy chưa hoàn thành được toàn bộ bài kiểm tra.

3.4. Kết luận chƣơng 3.

Qua đợt thử nghiệm, dựa trờn cỏc kết quả thu được cú thể kết luận rằng. Vấn đề sử dụng số phức như một cụng cụ giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc nờu lờn trong luận văn là cú thể thực hiện được. Việc phối hợp và sử dụng cỏc biện phỏp sư phạm trong việc dạy HS giải một số bài tập hỡnh học phẳng và lượng giỏc bằng số phức đó gúp phần làm cho việc học mụn hỡnh học, lượng giỏc và đặc biệt là số phức núi riờng và mụn toỏn núi chung trở nờn hấp dẫn, thực sự lụi cuốn và gõy hứng thỳ cho HS, gúp phần làm giảm đỏng kể những khú khăn và sai lầm cua cỏc em, đồng thời phỏt triển năng lực giải toỏn cho HS, gúp phần nõng cao chất lượng dạy và học. Thử nghiệm bước đầu minh họa được tớnh khả thi của việc xõy dựng cỏc chuyờn đề nhằm bồi dưỡng năng lực giải toỏn ứng dụng số phức vào giải toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc cho HS khỏ giỏi ở trường THPT.

KẾT LUẬN

Từ những vấn đề đó trỡnh bày, cú thể rỳt ra một số kết luận sau. 1. Luận văn đó làm sỏng tỏ một số khỏi niệm về năng lực giải toỏn của HS. 2. Luận văn nghiờn cứu việc ứng dụng số phức vào giải cỏc bài toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc ở một số tỡnh huống điển hỡnh như: Một số bài toỏn chứng minh, bài toỏn tớnh toỏn, giải bài toỏn quỹ tớch, dựng hỡnh trong hỡnh học phẳng; một số bài toỏn tớnh tổng, giải phương trỡnh lượng giỏc cú chứa cỏc cung bội của cỏc hàm số lượng giỏc.

3. Luận văn đó đề xuất một số chuyờn đề nhằm phỏt triển năng lực giải toỏn cho HS khỏ giỏi trường THPT.

4. Kết quả thử nghiệm bước đầu minh họa cho tớnh khả thi và hiệu quả của cỏc chuyờn đề đó đề xuất, giả thuyết khoa học là chấp nhận được và những nhiệm vụ nghiờn cứu đó hoàn thành.

5. Bồi dưỡng năng lực giải toỏn ứng dụng số phức vào cỏc lĩnh vực toỏn học cho HS khỏ giỏi ở trường THPT là một đề tài mới mẻ, nếu được sự quan tõm đỳng mức từ phớa cỏc thầy cụ giỏo thỡ gúp phần đỏng kể trong việc bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho cỏc em khỏ giỏi.

TÀI LIỆU THAM KHẢO A. TIẾNG VIỆT A. TIẾNG VIỆT

33.Lờ Võn Anh (2001), “Vấn đề phỏt hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi THPT”, Tạp chớ giỏo dục số 10.

34.Phan Trọng Ngọ (2002), “Tỡm hiểu mức độ phỏt triển trớ tuệ của học sinh THPT cỏc tỉnh phớa Bắc”, Tạp chớ giỏo dục số 21.

35.Hoàng Chỳng (1997), Phương phỏp dạy học mụn toỏn ở trường THP,

NXB Giỏo dục.

36.Nguyễn Văn Khuờ – Lờ Mậu Hải (2005), Hàm biến phức, NXB Đại học

quốc gia Hà Nội.

37.Nguyễn Phụ Hy – Nguyễn Quốc Bảo (1996), Ứng dụng số phức để giải