và liên tục của hàm số
Khái niêm vô hạn đã từng gây nhiều khó khăn cho nhận thức của con ngời cho đến thế kỉ 17. Điều này đã đợc thể hiện qua hai nghịch lí nổi tiếng của Zéno là nghịch lí mũi tên, nghịch lí phân đôi. Khái niệm này đợc J. Kepler (1571 - 1630) và B. Cavalieri (1598 - 1647) quan tâm trở lại và đã mở đờng cho Isaac Newton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) phát triển và hoàn thiện hai phép tính vi phân, tích phân nh đã đề cập ở mục 2.1.2. Lúc bấy giờ các nhà toán học đã tính toán trên các giới hạn. Tuy nhiên, họ cha đa ra đợc một định nghĩa chặt chẽ, mà chỉ quan niệm một cách trực giác các khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số.
Về sau nhiều nhà toán học mới thực sự lu ý đến sự cần thiết phải chính xác hoá các khái niệm cơ bản này nhằm làm cho các phép tính tích phân và vi phân có cơ sở chặt chẽ. Nhng các khái niệm này muốn đợc chính xác hóa cũng gặp nhiều khó khăn.
Chẳng hạn, sự "dần tới" một giá trị nào đó lại liên quan đến vấn đề chuyển động, mà hai phép tính vi phân và tích phân lại xem chuyển động là một quá trình liên tục - theo nghĩa biến phải nhận mọi giá trị trong khoảng mà chuyển động xảy ra. Nhng làm thế nào để mô tả bằng toán học biến di chuyển qua tất cả các điểm kế tiếp nhau trong một khoảng? Rõ ràng không thể nói rằng "đi từ điểm này đến điểm kế tiếp sau" vì không có điểm kế tiếp (giữa hai điểm bất kì có một điểm khác). Dù vậy, vào năm 1817, B. Bolzano (1781 - 1848) đã đa ra một định nghĩa chính xác về liên tục: hàm số f(x) liên tục trong một khoảng nếu tại bất kì x nào trong khoảng đó thì hiệu f(x + ω) - f(x) có thể làm nhỏ tùy ý khi cho ω đủ lớn (Dẫn theo [27, tr. 31]).
Còn khái niệm giới hạn: hằng số c đợc gọi là giới hạn của x nếu ta có thể làm cho x có thể tiến gần đến c một cách tùy ý thông qua sự thay đổi liên tục.
Để chính xác hóa khái niệm này cần phải mô tả bằng toán học khái niệm "gần một cách tùy ý".
A. L. Cauchy (1789 - 1857) đã có công lớn trong việc chính xác hóa khái niệm giới hạn và liên tục. Ông đa ra định nghĩa: cho x là biến số thực. x đợc gọi là có giới hạn là c nếu với bất kì số dơng cho trớc thì giá trị tuyệt đối của hiệu x và c có thể làm nhỏ hơn một số dơng cho trớc đó (Dẫn theo [27, tr. 31 - 32]). Nhà toán học Đức K. Weierstrass (1815 - 1897) đã làm rõ hơn khái niệm mà A. L. Cauchy đã đa ra theo ngôn ngữ " ,ε δ".
Nh vậy, B. Bolzano, A. L. Cauchy và K. Weierstrass đã định nghĩa một cách chính xác khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số góp phần giải thích các nghịch lí của Zéno và làm cho hai phép toán vi phân và tích phân có cơ sở chặt chẽ.