Là dãy số (un) xác định bởi: 1 2
n n 2 n 1 u u 1 u u − u (n 3)− = = = + ≥ , đã đợc trình bày trong [38, tr. 107] và [14, tr. 87].
a) Trong vấn đề sinh trởng ta sẽ xét 2 bài toán sau:
∗ Bài Toán thỏ đẻ con dẫn đến dãy số Fibônacci: Một nông dân mua một đôi thỏ để nuôi. Tháng đầu tiên đôi thỏ ấy sinh một đôi thỏ con, tháng thứ 2 sinh một đôi nữa rồi dừng lại. Các đôi thỏ con, đến lợt mình lại sinh ra 2 đôi khác (mỗi tháng sinh một đôi) rồi cũng dừng lại. Hỏi cứ mỗi tháng ngời nông dân có bao nhiêu đôi thỏ?
Để trả lời câu hỏi này, hãy vẽ sơ đồ các đôi thỏ và viết lên một hàng số đôi thỏ của mỗi thế hệ kể từ đôi thỏ mua về đầu tiên (Hình 2.11).
Trớc hết viết số 1 cho đôi thỏ mua về và một số 1 nữa cho đôi thỏ con sinh ra ở tháng thứ nhất (thế hệ F1). Tháng thứ 2 cả 2 đôi thỏ này đều sinh đẻ nên phải viết số 2 (thế hệ F2). Đến đây đôi thỏ ngời nông dân mua ban đầu ngừng sinh. Tháng tiếp theo thế hệ F1 sinh 1 đôi, thế hệ F2 sinh 2 đôi nên thế hệ F3 có 3 đôi. Đến đây thế hệ F1 ngừng sinh. Thế hệ F2 sinh 2 đôi và thế hệ F3 sinh 3 đôi nên có 5 đôi (thế hệ F4). Nh vậy mỗi tháng chỉ có 2 thế hệ sau cùng sinh đẻ, nên số thỏ tiếp theo là tổng của số thỏ 2 thế hệ sau cùng cộng lại. Những số đợc thành lập nh vậy gọi là dãy số Fibonacci (Fibonacci là biệt danh của Léonardo Pisano - nhà toán học ngời ý).
∗ Bài toán dòng họ của loài ong: Ong đực chỉ có mẹ, còn ong cái có cả bố và mẹ. Hỏi một con ong đực có bao nhiêu tổ tiên ở đời thứ n?
Cũng giống nh bài toán trên, để trả lời câu hỏi trớc hết hãy vẽ sơ đồ cây các đời của loài ong và viết số tổ tiên lên dòng ứng với đời thứ n.
Đôi thỏ bố mẹ Thế hệ thứ nhất Thế hệ thứ 2 Thế hệ thứ 3 Thế hệ thứ 4 Thế hệ thứ 5 Thế hệ thứ 6 Thế hệ thứ 7 1đôi 1 đôi 2 đôi 3 đôi 5 đôi 8 đôi 13 đôi 21 đôi Hình 2.11
đ đ Số tổ tiên 6 5 4 3 2 Đời thứ 13 8 1 5 3 2 1 1 đ c c đ c c đ c đ c c đ c c đ c c c đ c c c đ c c đ c đ c C Đ
Đời thứ nhất có 1 (mẹ), đời thứ hai có 2 (1 đực và một cái), đời thứ ba có 3 (vì ở đời thứ 2 có một ong đực, một ong cái. Ong đực thì có mẹ, còn ong cái có cả bố và mẹ), đời thứ bốn có 5 (vì ở đời thứ ba có 1 ong đực và 2 ong cái) Nh…
vậy ta thấy rằng số ong ở đời thứ n nào đó bằng tổng số ong của 2 đời liền trớc đó nên ta có dãy số:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…
Tổng quát, nếu gọi u(n) là số tổ tiên của ong đực ở đời thứ n, n∈Ơ∗(coi u(0) = 1- con ong đực). Ta có: u(n), n∈Ơ , nhận các giá trị là dãy số trên - dãy số Fibonacci. Và nh nhận xét đã nêu thì dãy số này đợc xác định:
( )u(0) 1,u(1) 1 u(0) 1,u(1) 1
u(n) u(n 1) u(n 2), n 2
= =
= − + − ≥
b) Với thực vật học.
Từ dãy số Fibonacci, chia mỗi số cho số liền sau nó ta đợc dãy tỉ số : 1 1 2 3 5 8
, , , , , ,...1 2 3 5 8 13 1 2 3 5 8 13
Các phân số của dãy tỉ số này biểu thị cho một loại chỉ số phát triển của một số loại thực vật nhất định, thể hiện bằng sự phân bố của các lá xung quanh thân cây. Khi quan sát sự phân bố này, ngời ta thấy chúng đợc phân phối đều và cuộn theo một đờng xoắn ốc theo hớng từ dới lên (Hình
2.13). Trong trờng hợp này đờng xoắn ốc
quấn 5 vòng xung quanh thân cây từ lá số 1 đến lá số 9 và 8 khoảng giữa các lá 1 đến lá 9. Tỉ số Fibonacci của cây này là 5
8. Đối với mỗi cây nhất định , tỉ số này là một
hằng số sinh học. Chẳng hạn, với cây thông
tỉ số này là 5
8 hoặc 8
13, còn với cây hoa cúc tây là 21
34 . Các tỉ số này giúp cho các nhà thực vật học có thêm những số liệu để phân loại và tìm ra quy luật phát triển của các loài cây. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});