t m b c g e e e e e e e e e
3.3.1. Thiết kế liên kết hàn hybrid nhô m– thép bằng kỹ thuật tính toán tối ưu
3.3.1.1. Bài toán tối ưu trong thiết kế kết cấu:
Giả sử có n biến thiết kế độc lập cần phải tính toán tối ưu (ở đây chính là kích thước hình học của các phần tử của kết cấu / liên kết hàn) được tập hợp dưới dạng một véc tơ x = {x1, x2,…, xn}, trong đó các biến xi nằm trong một phạm vi giữa các cận dưới và cận trên = f(x) min trong khi phải thỏa mãn đồng thời tất cả các điều kiện ràng buộc (hàm điều kiện). Các hàm điều kiện (Gi(x), Hj(x), Wk(x)) có thể ở một hoặc đồng thời trong các dạng sau đây [51]:
(3.38) hj ≤ Hj(x) với j = 1 ÷ m2 (loại hàm giới hạn dưới) (3.39)
(3.40) Một phương án thiết kế được gọi là “khả thi” nếu như tồn tại một véc tơ x*={x1*, x2*,…,xn*} mà thỏa mãn được đồng thời tất cả các hàm ràng buộc, nghĩa là:
(3.41) hj - j ≤ hj* = Hj(x*) (3.42)
(3.43) Trong đó αi, j và k là các sai số cho phép của các hàm điều kiện và m = m1 + m2 + m3 là tổng số các hàm ràng buộc.
Một phương án thiết kế được gọi là “tối ưu” nếu như nó là phương án “khả thi” và tại đó hàm mục tiêu đạt cực trị (trọng lượng hoặc thể tích của kết cấu đạt giá trị nhỏ nhất):
(3.44) • Tối ưu hóa cục bộ và tối ưu hóa toàn phần:
Gọi N là tổng số các biến độc lập của mô hình và n là số các biến cần tối ưu thì nếu n ≤ N ta có bài toán tối ưu hóa cục bộ, còn nếu n = N thì ta có bài toán tối ưu hóa toàn phần. • Ràng buộc cục bộ và ràng buộc tổng thể:
Nếu các hàm ràng buộc G(x), H(x) và W(x) lấy trên toàn bộ mô hình thì ta có ràng buộc tổng thể, còn nếu lấy trên một phần của mô hình thì ta có ràng buộc cục bộ.
• Thuật toán tối ưu thiết kế kết cấu:
a) Các xấp xỉ hàm số:
Giả sử ký hiệu xấp xỉ của hàm số bằng dấu ^ thì xấp xỉ của hàm mục tiêu và của các hàm ràng buộc được thể hiện như sau:
(3.45)
(3.46) (3.47) (3.48) Theo tài liệu [51], hình thức phức tạp nhất của xấp xỉ sẽ có dạng:
(3.49) Một kỹ thuật bình phương bé nhất của các trọng số sẽ được sử dụng để xác định các hệ số ai và bij trong phương trình (3.49), ví dụ sai số bình phương bé nhất của hàm mục tiêu có dạng:
(3.50)
Ở đây: (j) là trọng số liên quan đến phương án thiết kế thứ j nd là số lượng các phương án thiết kế hiện thời
Đối với các hàm ràng buộc cũng sẽ được suy diễn tương tự như dạng thức của E2 trong phương trình (3.50). Các hệ số trong phương trình (3.50) được xác định bằng việc tối thiểu hóa E2. Các trọng số được sử dụng ở trên được tính theo một trong các cách sau đây:
- - -
Dựa trên các giá trị của hàm mục tiêu, các phương án thiết kế cho giá trị hàm mục tiêu thấp sẽ có trọng số cao.
Căn cứ vào giá trị của biến thiết kế, các phương án thiết kế gần gũi hơn với thiết kế tốt nhất sẽ nhận được trọng số cao.
Dựa trên tính khả thi, phương án khả thi có trọng số cao và phương án không khả thi có trọng số thấp.
Một số lượng nhất định các phương án thiết kế phải tồn tại để hình thành các xấp xỉ, nếu không thì các phương án thiết kế ngẫu nhiên sẽ được tạo ra cho đến khi thu được số lượng yêu cầu. Điều này có thể được diễn tả như sau (với n là số lượng các biến thiết kế, nd là số lượng các phương án thiết kế):
nd < n + 2: sinh ra các phương án thiết kế ngẫu nhiên (3.51) nd ≥ n + 2: hình thành các xấp xỉ
Nếu như nhiều dữ liệu (các phương án thiết kế) được tạo ra thì các thành phần trong phương trình (3.49) tăng lên và thời gian tính toán sẽ nhiều hơn.
b) Tối thiểu hóa các xấp xỉ hàm số:
Với các xấp xỉ hàm số có sẵn, vấn đề tối thiểu hóa các ràng buộc được viết lại như sau: (3.52) (i=1,2,3,…n) (3.53)
(i=1,2,3,…m1) (3.54) (i=1,2,3,…m2) (3.55) (i=1,2,3,…m3) (3.56) Bước tiếp theo là chuyển đổi các phương trình (3.52) đến (3.56) từ vấn đề bị ràng buộc thành không bị ràng buộc. Điều này được thực hiện bằng các “hàm phạt”, dẫn đến phát biểu sau đây: Tối thiểu hóa hàm số
min (3.57)
Trong đó X là hàm phạt được sử dụng để thực thi các ràng buộc của biến thiết kế; G, H và W là các hàm phạt dành cho các ràng buộc của biến trạng thái (hàm điều kiện). Giá trị của hàm mục tiêu tham khảo f0 được giới thiệu để đạt được các đơn vị phù hợp. Lưu ý rằng hàm mục tiêu không có ràng buộc F(x,pk) được xem là hàm số của các biến thiết kế và số lượng của tham số pk. Một kỹ thuật tối thiểu hóa một dãy không ràng buộc sẽ được sử dụng để giải phương trình (3.57) đối với mỗi lần lặp thiết kế. Chỉ số dưới k phản ánh việc sử dụng các lặp con trong thời gian thực hiện giải bài toán, theo đó các tham số được tăng lên về giá trị (p1 < p2 < p3 v.v..) để đạt được kết quả chính xác và hội tụ.
Tất cả các hàm phạt sử dụng là loại mở rộng bên trong. Ví dụ, ở gần giới hạn trên thì hàm phạt của biến thiết kế được hình thành như sau:
(3.58)
Trong đó: c1, c2, c3 và c4 là các hằng số được tính toán nội bộ ε là một số dương rất nhỏ
Các hàm phạt của các biến ràng buộc cũng được xây dựng tương tự. Ví dụ, ở gần giới hạn trên thì:
(3.59)
Trong đó: d1, d2, d3, và d4 là các hằng số được tính toán nội bộ. Cũng tương tự như vậy cho các hàm G và H.
tương ứngdụng trongcủa phiênthựctínhhiện theolần(j+1). Vectơ là xácđược
vectơđịnhbiếntheothiếtphương trình sau đây:
(3.60)
Trong đó: x (b) là hằng số phương án thiết kế tốt nhất
C – được lựa chọn trong phạm vi giữa 0 và 1, dựa trên số lượng các phương án không khả thi đã tính.
c) Sự hội tụ của bài toán tối ưu thiết kế:
Thuật toán xấp xỉ được lặp đi lặp lại cho đến khi đạt được sự hội tụ hoặc là việc chấm dứt sẽ xảy ra. Hai sự kiện này được kiểm tra chỉ khi số lượng của các phương án thiết kế hiện tại nd bằng hoặc vượt quá số lượng cần thiết của các xấp xỉ (xem phương trình (3.51)). Hội tụ được giả định khi phương án thiết kế hiện tại x(j) hoặc phương án thiết kế trước đó, x(j-1), hoặc phương án thiết kế tốt nhất x(b) là khả thi, và một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(3.61) (3.62)
(3.63) (3.64)
Trong đó: τ và ρi là dung sai của hàm mục tiêu và biến thiết kế.
Nếu như không thỏa mãn được các phương trình từ (3.61) đến (3.64), thì việc chấm dứt tính toán có thể xảy ra nếu một trong hai điều kiện dưới đây được đạt tới:
ns=Ns nsi=Nsi
(3.65) (3.66)
Trong đó: ns là số lần tính lặp đi lặp lại.
nsi là số phương án thiết kế không khả thi liên tiếp. Ns là số lượng tối đa của lần lặp đi lặp lại.
Nsi là số lượng tối đa của phương án thiết kế không khả thi liên tiếp.
Dựa vào khả năng của máy điện toán và phần mềm mô phỏng, kết hợp với các lý thuyết đã nêu ở trên, tác giả đã tiến hành xây dựng một lưu đồ thuật toán riêng và trên cơ sở đó viết một chương trình máy tính để tính toán thiết kế tối ưu cho liên kết hàn hybrid nhôm – thép dạng chữ T. Đây là một bài toán mô phỏng phi truyền thống, đòi hỏi phải áp dụng thủ thuật để xây dựng được vòng lặp luân hồi như sau:
Thiết kế Tính toán Kiểm nghiệm Đánh giá Thiết kế
Lưu đồ thuật toán tính toán thiết kế tối ưu liên kết hàn hybrid nhôm – thép bằng phương pháp PTHH do tác giả tự xây dựng được mô tả như hình 3.1 dưới đây.
Hình 3.1 Lưu đồ thuật toán tính tối ưu liên kết hàn hybrid nhôm – thép
Khác biệt cơ bản của bài toán này so với các bài toán mô phỏng kết cấu thông thường là khả năng tính toán lại sau khi đã xuất ra và xử lý các kết quả tính toán của lần tính toán trước đó. Đây cũng là một nét mới và độc đáo trong kỹ thuật tính toán thiết kế tối ưu bằng phương pháp số.
3.3.1.2. Mô hình liên kết hàn hybrid nhôm – thép dạng chữ T:
trọng phân bố với cường độ q. Sơ đồ tính toán của mô hình nghiên cứu được thể hiện chi tiết như ở hình 3.2.
dv
q kmh cao
L rong db
Hình 3.2 Sơ đồ tính toán liên kết hàn nhôm – thép dạng chữ T
Mô hình nghiên cứu ở đây có 3 loại vật liệu khác nhau: tấm vách được làm từ vật liệu thép cacbon thấp CCT38 (theo TCVN 1765), tấm biên được làm từ nhôm AA1100 (theo [44]), các mối hàn được tạo ra bằng quá trình hàn TIG từ vật liệu ER4043 (theo AWS A5.10) phù hợp với vật liệu của tấm biên (nhôm AA1100). Chi tiết về việc lựa chọn vật liệu trong kết cấu này đã được trình bày kỹ trong chương 2. Các thông số về cơ tính của các vật liệu trong kết cấu được mô tả chi tiết trong bảng 3.1.
Bảng 3.1 Cơ tính của các vật liệu trong liên kết hàn hybrid giữa nhôm AA1100 với thép CCT38
Để dễ phân biệt, từ đây trở đi ta sẽ ký hiệu các ứng suất cho phép của thép CCT38 là [⌠]1, của nhôm AA1100 là [⌠]2 và của KLMH là [⌠]3.
Nhằm khẳng định rõ ý nghĩa và hiệu quả của phương pháp tính toán thiết kế tối ưu kích thước của liên kết hàn bằng phương pháp số, tác giả chọn ngẫu nhiên một phương án thiết kế sơ bộ với các kích thước ban đầu và giả định tải trọng như mô tả trong bảng 3.2.
Bảng 3.2 Các kích thước của liên kết hàn chữ T trong phương án thiết kế sơ bộ và tải trọng:
Từ sơ đồ tính toán trên hình 3.2 cùng với các kích thước đã chọn sơ bộ trong bảng 3.2, kết hợp với phần mềm ANSYS 14.0 (chuyên dụng để tính toán thiết kế kết cấu bằng phương pháp PTHH - Finite Element Method - FEM), tác giả tiến hành xây dựng mô hình tính toán kết cấu bằng phương pháp PTHH như thể hiện trên hình 3.3. Do phương pháp PTHH là một phương pháp tính xấp xỉ, nên để cho quá trình tính toán đạt độ chính xác cao, tác giả tiến hành chia lưới ở một mức độ đủ mau cần thiết [10], các phẩn tử được chọn là loại phẩn tử 4 mặt (tứ diện). Trong mô hình FEM trên hình 3.3, tại gốc tọa độ (phía bên
49
Thông số Nhôm AA1100
(nguồn: [44])
Kim loại mối hàn
(AA1100 + ER4043)(nguồn: [46]) (nguồn: [46]) Thép CCT38 (nguồn: [6]) Thông số Ký hiệu, đơn vị Giá trị Ghi chú
Tải trọng phân bố trên đơn vị chiều dài q [N/mm]
2.5 Giả định
phải) được giả định là kết cấu bị ngàm chặt, tải trọng phân bố được đặt trên suốt toàn bộ chiều dài của mô hình và thể hiện bằng các mũi tên hướng xuống (ngược chiều với trục Y).
Hình 3.3 Mô hình PTHH của liên kết hàn hybrid nhôm – thép dạng chữ T ở phương án sơ bộ
Theo kinh nghiệm và lý thuyết về sức bền vật liệu cũng như cơ học kết cấu, chúng ta thấy rằng phương án thiết kế sơ bộ này là không phù hợp về mặt kết cấu, bởi lẽ dầm ngàm chịu tải trọng phân bố đều như vậy sẽ dẫn đến mô men uốn chỉ tập trung ở phía ngàm và đạt giá trị lớn nhất tại vị trí ngàm, còn tại đầu tự do mô men uốn bằng 0, do đó mà việc thiết kế chiều cao vách dầm tại đầu tự do bằng với đầu ngàm là không hợp lý. Mặt khác, chiều rộng tấm biên lớn hơn nhiều so với chiều cao vách dầm cũng không phù hợp vì sẽ gây tốn vật liệu trong khi mô men chống uốn lại nhỏ.
Ngay cả trong trường hợp, bằng kinh nghiệm người thiết kế lựa chọn phương án thiết kế có chiều cao tại ngàm lớn hơn chiều cao tại đầu tự do và chiều cao vách lớn hơn chiều rộng của biên dầm, thì câu hỏi “giá trị chính xác của các kích thước đó là bao nhiêu để kết cấu vừa đủ độ bền làm việc, không thiếu hay thừa bền?” vẫn gây ra rất nhiều vất vả trong việc tính toán của các nhà thiết kế!
Chương trình máy tính tính toán tối ưu kết cấu hàn mà tác giả xây dựng có nhiều nét độc đáo, nó sẽ trả lời câu hỏi nêu trên một cách nhanh chóng và chính xác. Bất chấp việc lựa chọn phương án thiết kế sơ bộ như thế nào (thừa hay thiếu bền), chỉ sau khoảng 15 phút tính toán (với máy tính cá nhân tốc độ 2GHz, đối với bài toán mô tả trên hình 3.3), máy tính sẽ tự động đưa ra phương án thiết kế hợp lý nhất, theo nghĩa khối lượng hay thể tích vật liệu sử dụng ở mức ít nhất có thể trong khi vẫn đảm bảo được các điều kiện làm việc (ứng suất cực đại tồn tại trong kết cấu nhỏ hơn ứng suất cho phép đối với vật liệu sử dụng và độ võng lớn nhất trong kết cấu nhỏ hơn độ võng cho phép đối với khẩu độ cụ thể của kết cấu). Việc làm này đem lại lợi ích rất lớn, đặc biệt hữu hiệu đối với các bài toán mới, các bài toán phi tiêu chuẩn vì nó giảm thiểu được rất nhiều thời gian tính toán. Chi tiết tính toán và kết quả tối ưu thiết kế được mô tả trong mục 3.3.2 dưới đây.