ật độ năng lượng của sóng đàn hồi
1 2 i r o (S)
Khi sóng đàn hồi lan truyền trong môi trường thì các hạt vĩ mô của môi trường dao động và biến dạng. Năng lượng của dao động do sóng tạo nên bao gồm động năng chuyển động của các hạt và thế năng biến dạng của chúng.
Xét một hạt vĩ mô có thể tích ∆V vào thời điểm ban đầu. Khi sóng truyền qua, hạt có vận tốc v1, độ biến dạng tỉ đối ξ và áp suất phụ là ∆p = − kξ
Gọi ρ là mật độ (khối lượng riêng) của môi trường, giả thuyết rằng biến dạng tỉ đối
ξ là nhỏ, khiến cho mật độ ρ coi như không đổi khi sóng truyền qua, và môi trường là
đồng tính nên ρ có một giá trị chung đối với mọi điểm của môi trường. Mật độ thể tích của động năng:
ωđ = ∆ωđ ∆V =
1 2ρv12
∆ωđ là động năng của hạt, tức là của phần tử môi trường trong thể tích ∆V Mật độ thể tích của thế năng ωt của môi trường bị biến dạng đàn hồi sẽ là:
ωt = ∆ωt ∆V
Trong đó ∆ωt là thế năng của hạt khi chịu biến dạng tỉ đối ξ Mật độ thể tích ω của năng lượng của sóng: ω = ωđ + ωt
Mật độ thế năng ωt đối với sóng dọc trong chất khí. Thế năng ∆ωt chính là công của ngoại lực tác dụng lên hạt vĩ mô và tạo nên biến dạng tỉ đối ξ của hạt này đồng thời tạo nên áp suất phụ ∆p. Muốn tính ∆ωt , ta xét một quá trình biến dạng rất nhỏ của hạt vĩ mô, trong đó thể tích biến đổi d(∆V), áp suất phụ biến đổi dp và độ biến dạng tỉ đối là dξ = d(∆V)∆V . Công của ngoại lực trong quá trình biến đổi rất nhỏ này là σA’ = −p d(∆V)
Theo định luật Húc thì biến thiên áp suất phụ dp trong quá trình này là dp = −k d(∆V) ∆V với k là suất (mô-đun) đàn hồi của chất khí.
σA’ = ∆V k p dp
Quá trình biến dạng của hạt khi sóng truyền qua ứng với độ biến thiên của áp suất phụ từ 0 đến dp (tức độ biến dạng từ 0 đến ξ). Do đó: ∆ωt = A’ = ⌡ ⌠ 0 ∆p ∆p k p dp = ∆V k ∆p2 2 Thay ∆p = − kξ, ta có: ∆ωt = ∆V k k2ξ2 2 = 1 2 kξ2 ∆V Với k = ρv2
,v là vận tốc pha của sóng, thay biểu thức của k vào công thức cho ωt ta có: ωt = 1
2 ρ v2 ξ2(đúng cho mọi sóng đàn hồi) Như vậy mật độ năng lượng của sóng:
ω = 12 ρ(v2ξ2
+ v12)
Trường hợp sóng phẳng dọc
Biểu thức vận tốc dao động v1 và biến dạng tỉ đối ξ của hạt khi sóng dọc truyền qua. Biểu thức li độ của sóng dọc s = s(x, t) = f( t − xv ) biểu thức vận tốc v1 của hạt v1 = ds dt = ∂s ∂t Nếu đặt u = t − vx thì ta có1 = df du ∂u ∂t = df
du= f’ (t − xv ) (f’ là đạo hàm của f theo u) Để tìm biến dạng tỉ đối ξ, ta xét một hạt vĩ mô hình trụ. Khi chưa có sóng thì hình trụ vẽ bằng đường liền nét, hai đáy vuông góc với trục x có tọa độ lần lượt là x và x + dx, diện tích hai đáy bằng nhau và bằng S, thể tích hình trụ V = Sdx
Khi sóng truyền qua thì, tại cùng một thời điểm, đáy trái có tọa độ x + s, đáy phải có tọa độ x + dx + s + ds, hình trụ ở thời
s
điểm này vẽ bằng đường chấm chấm và có thể tích V + dV = S (dx + ds), do đó dV = Sds.
Hình 1-12 Độ biến dạng tỉ đối ξ của hình trụ là:
ξ = dVV = Sds Sdx= ds dx = ∂s ∂x
Nếu phương trình của sóng dọc là s = s(x, t) = f( t − xv ) thì ds dx = ∂s ∂x= df du ∂u ∂x = f’ (t − x v ) ( − 1v) Nghĩa là ξ = ∂x∂s = − v1 v
Thay các giá trị của ξ vào ωt = 1
2 ρ v2ξ2
, ta có mật độ thế năng và mật độ năng lượng cho sóng phẳng: ωt = 1
2ρ v12 = ωđ và ω = ρv12 = ρ (∂s∂t )2
Như vậy tại mỗi điểm trong môi trường đàn hồi có sóng phẳng truyền qua, mật độ động năng và mật độ thế năng bằng nhau và phụ thuộc vào thời gian, mật độ năng lượng cũng phụ thuộc vào thời gian.
Điều này đúng cho sóng chạy bất kì trong môi trường đàn hồi, không phụ thuộc vào dạng của mặt sóng cũng như vào loại biến dạng.
Đối với sóng phẳng hình sin:
ω = ρA2ω2cos2 (ωt − kx + ϕ0) = 1
2 ρA2ω2 [ 1 + cos2(ωt − kx + ϕ0)]
Đối với sóng cầu hình sin:
ω = ρA2ω2cos2(ωt − kr + ϕ0) = 1
2 ρA2ω2[ 1 + cos2(ωt − kr + ϕ0)] Sóng cầu khác sóng phẳng ở chỗ biên độ A của sóng cầu phụ thuộc vào r
Như vậy tại một thời điểm đã cho, mật độ năng lượng của sóng biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kì là ωπ trong giới hạn từ 0 đến ρA2ω2
ω = 1
2ρ A2ω2
Nhận xét:Năng lượng tỉ lệ với bình phương biên độ của sóng
1.7.2. Véc-tơ mật độ năng thông
Sóng đàn hồi lan truyền trong môi trường thì không có sự chuyển dời vật chất mà có sự chuyển dời năng lượng. Vận tốc truyền năng lượng của sóng bằng vận tốc dịch chuyển trong không gian của bề mặt có giá trị mật độ năng lượng khối ω cực đại.
Với sóng hình sin, vận tốc truyền năng lượng này chính bằng vận tốc pha ν.
Dòng năng lượng dφ chuyển qua diện tích nhỏ dS bằng tỉ số giữa năng lượng dW truyền qua diện tích dS và khoảng thời gian dt mà nó truyền qua.
dφ = dWdt
Với v→ là vận tốc truyền năng lượng của sóng thì dW bằng năng lượng được chứa bên trong hình trụ xiên đáy là dS đường cao là h = vdt.cosα
Lúc này ta có dW = ω.dV = ω.vdt cosα.dS = ω ( v→.ds→ ) dt Suy ra dφ = ω ( v→.ds→
) = U→ .→ds
Với ω là mật độ năng lượng khối của sóng, ds→ = n→
ds là véc-tơ diện tích ds, n→ là véc-tơ pháp tuyến của ds và α là góc giữa v→ và ds→
.
Năm 1874, Oumov lần đầu tiên đưa ra đại lượng véc-tơ mật độ năng lượng U→ = ω v
→
hay còn gọi là véc-tơ Oumov-Pointing. Véc-tơ này phụ thuộc vào tọa độ. Nếu tính năng thông φ qua một diện tích S hữu hạn thì phải lấy tích phân:
φ = ⌡⌠ (ds ) U→ .dS→ 1.7.3. Cường độ sóng
Đại lượng vô hướng I bằng mô-đun giá trị trung bình theo thời gian của véc-tơ mật độ năng thông tại mỗi điểm được gọi là cường độ sóng tại điểm đó.
Cường độ sóng có trị số bằng năng lượng truyền đi bởi sóng trong một đơn vị thời gian qua một tiết diện bề mặt vuông góc với phương lan truyền sóng.
Cường độ sóng tỉ lệ với bình phương biên độ của nó. I = < U→> = v <ω> = 12ρv ω2A2
1.7.4. Sự hấp thụ của sóng
Sự chuyển hóa năng lượng sóng thành dạng năng lượng khác xuất hiện trong khi sóng lan truyền trong môi trường gọi là sự hấp thụ sóng.
Trong môi trường đồng tính sự hấp thụ sóng đàn hồi gây ra chủ yếu bởi nội ma sát và sự dẫn nhiệt. Biên độ A và cường độ I của sóng phẳng lan truyền trong môi trường hấp thụ, dọc theo chiều dương của trục Ox thay đổi theo quy luật mũ.
A (x) = A0e-αx, I(x) = I0 e-αx với A0, I0 là biên độ và cường độ của sóng tại thời điểm x = 0, α là hệ số hấp thụ của sóng đàn hồi, nó phụ thuộc vào tính chất của môi trường và tần số sóng.
1.8. Tổng hợp sóng
1.8.1. Nguyên lí chồng chập sóng
1.8.1.1. Phát biểu
Xét môi trường tuyến tính trong đó có nhiều sóng truyền qua. Các sóng làm cho môi trường bị biến dạng. Tại một vị trí trong không gian, hạt của môi trường dao động khi có sóng truyền qua. Gọi s1
→ ( r→
,t) và s→2 ( r→
,t) là li độ của hạt của môi trường (ở vị trí khi cân bằng) nếu mỗi sóng tác dụng một mình. Môi trường của hạt khi cả hai sóng cùng tác dụng là: s → ( r→ ,t) = s→1 ( r→ ,t) + s→2 ( r→ ,t) Đây chính là nguyên lí chồng chập sóng
Như vậy trong một môi trường có hai hay nhiều sóng truyền qua, mỗi sóng xuất phát từ một tâm dao động khác nhau. Hai hay nhiều sóng có thể gặp nhau tại một điểm nào đó của môi trường. Tại miền đó, chúng tổng hợp với nhau, nhưng sau khi ra khỏi miền đó thì chúng lại tách khỏi nhau, và tiếp tục truyền đi mà vẫn giữ nguyên mọi đặc điểm như khi chúng chưa gặp nhau. Như vậy, các sóng truyền độc lập với nhau, không làm thay đổi lẫn nhau, mà chỉ cộng vào nhau ở miền chúng gặp nhau.
1.8.1.2. Kết quả chồng chập sóng: bó sóng
Trên cơ sở nguyên lý chồng chập, có thể thay một sóng bất kì không hình sin trong môi trường tuyến tính bằng hệ thống sóng hình sin tức biểu diễn dưới dạng nhóm sónghay còn gọi là bó sóng.
Hàm tuần hoàn với chu kì T có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các hàm sin có chu kì lần lượt T, T2 , … , T
n.
Hàm f(t) là hàm tuần hoàn với chu kì T: f(t) = a0 + a1sin 2π
T t +a2sin 22π
T t + … = ∑∞𝒏=𝟎𝒂𝒏𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕4T = ∑∞𝒏=𝟎𝒂𝒏𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒏𝒕
Môi trường tán sắc và không tán sắc
Nếu tất cả các sóng có tần số góc ω khác nhau lan truyền trong môi trường có cùng vận tốc v thì môi trường ấy gọi là môi trường không tán sắc. Nếu vận tốc lan truyền v phụ thuộc vào tần số góc ω của sóng thì môi trường là tán sắc.
Một bó sóng lan truyền trong môi trường không tán sắc thì giữ nguyên dạng là một xung trong khoảng có độ dài l. Trong môi trường tán sắc, bó sóng khi lan truyền bị tản ra, vì mỗi sóng sin thành phần lan truyền với vận tốc khác nhau.
1.8.1.3. Sự lan truyền của bó sóng: vận tốc nhóm.
Bó sóng gồm hai sóng phẳng hình sin có tần số gần bằng nhau, có phương dao động trùng nhau:
(x,t) = A sin (ωt − kx)
(x,t) = A sin [(ω + dω)t − (k + dk)x] Sự chồng chập của hai sóng thành phần cho sóng tổng hợp
(x,t) = A sin (ωt − kx) + A sin [(ω + dω)t − (k + dk)x] = 2A cos 1
Hình 1-13. Sự phụ thuộc của li độ s (x) vào tọa độ
Sự phụ thuộc của li độ s(x) vào tọa độ tại một thời điểm t đã cho được biểu diễn bởi đường cong như hình trên.
Có thể coi hàm s(x,t) cho bởi công thức s(x,t) = 2A cos 12 (tdω − xdk). sin (ωt − kx)
là một hàm theo thời gian với tần số góc ω và có biên độ B(x,t) = 2A cos 12(tdω − xdk) biến đổi rất chậm theo thời gian t và cả theo tọa độ x.
Bó sóng ở đây không phải là một xung, mà nhiều xung liên tiếp. Coi vận tốc chuyển động của bó sóng là vận tốc chuyển động của một điểm cực đại của biên độ, tại đó đối số của hàm cos bằng π2 chẳng hạn 12(tdω − xdk) = π2
Tức là x = dωdk t − π dk1 . Lấy đạo hàm hai vế theo t, ta có: u = dxdt = dω dk
u là vận tốc chuyển động của điểm cực đại của biên độ, gọi là vận tốc nhóm của sóng.
Bó sóng tổng quát: xét một bó sóng là chồng chập của một số vô cùng lớn sóng phẳng cùng phương lan truyền và có số sóng từ k0 − ∆k đến k0 + ∆k. Tần số góc của các sóng thành phần phụ thuộc vào số sóng của sóng ấy ω = ω(k).
Mỗi sóng phẳng với tần số góc ω và số sóng k xác định có thể biểu diễn bằng một số phức cei(ωt − kx)
với c là biên độ, ωt − kx là pha của sóng vào thời điểm t và tại điểm đó có tọa độ x. Phần thực ccos(ωt − kx) hoặc phần ảo csin(ωt − kx) chính là một dạng hàm sin.
s
Sự chồng chập của một số vô cùng lớn sóng phẳng có cùng phương dao động với biên độ c(k) khác nhau với tần số sóng từ k0 − ∆k đến k0 + ∆k có thể biểu diễn như sau:
ϕ (x,t) = ⌡⌠
k0 − ∆k k0 + ∆k
c(k)ei(ωt − kx) dk
Giả thuyết ∆k là nhỏ, khai triển hàm ω(k) theo các lũy thừa k − k0
1.8.1.4. Vận tốc pha và vận tốc nhóm:
Trong môi trường không tán sắc vận tốc truyền sóng v không phụ thuộc vào tần số góc ω của sóng. Số sóng k : k = 2πλ = 2π
vT= 2π
v
vận tốc pha chính là vận tốc truyền sóng v, còn gọi vận tốc nhóm u có giá trị: u = dω
dk = dk d(vk)
= v
trong môi trường không tán sắc, vận tốc pha u trùng với vận tốc nhóm v.
Trong môi trường tán sắc vận tốc truyền sóng v phụ thuộc vào tần số góc ω của sóng. Ta có ω = vk, nhưng khi tính vận tốc nhóm u u = dω dk = dk d(vk) = v + k dv dk (**) với k = 2πλ , do đó: dkk = − dλλ . Thay (**) vào ta có:
u = v − λdλdv
Trong môi trường không tán sắc vận tốc pha v khác với vận tốc nhóm u. Vận tốc nhóm có ý nghĩa vật lí, đó là vận tốc truyền tín hiệu.
1.8.2. Giao thoa sóng
Tại miền có hai hay nhiều sóng chồng lên nhau, dao động của mỗi điểm của môi trường là sự tổng hợp của các sóng đi qua môi trường đó.
Sự tổng hợp của hai sóng xuất phát từ hai nguồn gọi là hai nguồn kết hợp thỏa điều kiện
cùng tần số
cùng phương dao động độ lệch pha không đổi
Ta có thể tạo ra hai nguồn kết hợp bằng một nguồn duy nhất, rồi dùng phương pháp tách ra thành hai nguồn hợp. Ví dụ: ta dùng nguồn sóng cầu hình điểm S và trên đường truyền sóng, đặt vật chắn có 2 khe nhỏ S1 và S1 cách đều S. Theo nguyên lí Huyghens, sóng sau hai khe hẹp S1 và S1 là hai nguồn sóng điểm thứ cấp dao động cùng biên độ và tần số với nguồn S. Đồng thời chúng dao động cùng pha với nhau (do S1 và S2 cách đều S). Xét sự giao thoa ở khoảng cách khá xa S1 và S2 (so với khoảng cách S1S2).
Giả sử S1, S2 là hai nguồn kết hợp. Ta xét sự tổng hợp sóng tại một điểm P cách S1 và S2 những khoảng r1 và r2 rất lớn so với khoảng cách S1S2.
Nếu S1, S2 dao động cùng pha với nhau, phương trình dao động của chúng có dạng: φ1 = φ2 = A0cosωt Các sóng truyền tới P từ S1, S2 có dạng : φ1 = A0 r1 cos ω(t − r1 u ) φ2 = A0 r2 cos ω(t − r2 u ) Dao động tổng hợp tại P có dạng: φ = φ1 +φ2 = A0 r1 cos ω(t − r1 u ) + A0 r2 cos ω(t − r2 u ) Có thể xem r1 ≈ r2, | r1 − r2| ˂ ˂ r1 A0 r1 ≈ A0 r2 ≈ A Lúc này ta được φ = A.2cosω(r2 − r1
u )cos(ωt − ωr2 + r1 u ) Độ lệch pha của các dao động thành phần tại P là
∆α = ω r2− r1
u = 2π r2 − r1 λ
Nếu độ lệch pha bằng 0 hoặc bội số nguyên của 2π , hai dao động thành phần là cùng pha, dao động tổng hợp có biên độ cực đại bằng tổng các biên độ thành phần. Khi đó thì:
∆α = 2π r2 − r1
Và | r1 − r2| = kλ
Nếu độ lệch pha bằng π hoặc bội số lẻ của π, hai dao động thành phần là ngược pha, dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu bằng hiệu các biên độ thành phần.
∆α = 2π r2 − r1
λ = (2k+1)π (k = 0, 1,2, 3…) | r1 − r2| = (2k+1) λ
2
Tóm lại, dao động có biên độ cực đại tại những điểm mà hiệu khoảng cách tới nguồn bằng không hoặc bằng bội số nguyên của bước sóng A = A1 + A2
Dao động có biên độ cực tiểu tại những điểm mà khoảng cách tới hai nguồn bằng một bội số lẻ của nửa bước sóng A = A1 − A2
Tại những điểm khác có giá trị trung gian A có giá trị nằm trong khoảng A1 −