Bó sóng gồm hai sóng phẳng hình sin có tần số gần bằng nhau, có phương dao động trùng nhau:
(x,t) = A sin (ωt − kx)
(x,t) = A sin [(ω + dω)t − (k + dk)x] Sự chồng chập của hai sóng thành phần cho sóng tổng hợp
(x,t) = A sin (ωt − kx) + A sin [(ω + dω)t − (k + dk)x] = 2A cos 1
Hình 1-13. Sự phụ thuộc của li độ s (x) vào tọa độ
Sự phụ thuộc của li độ s(x) vào tọa độ tại một thời điểm t đã cho được biểu diễn bởi đường cong như hình trên.
Có thể coi hàm s(x,t) cho bởi công thức s(x,t) = 2A cos 12 (tdω − xdk). sin (ωt − kx)
là một hàm theo thời gian với tần số góc ω và có biên độ B(x,t) = 2A cos 12(tdω − xdk) biến đổi rất chậm theo thời gian t và cả theo tọa độ x.
Bó sóng ở đây không phải là một xung, mà nhiều xung liên tiếp. Coi vận tốc chuyển động của bó sóng là vận tốc chuyển động của một điểm cực đại của biên độ, tại đó đối số của hàm cos bằng π2 chẳng hạn 12(tdω − xdk) = π2
Tức là x = dωdk t − π dk1 . Lấy đạo hàm hai vế theo t, ta có: u = dxdt = dω dk
u là vận tốc chuyển động của điểm cực đại của biên độ, gọi là vận tốc nhóm của sóng.
Bó sóng tổng quát: xét một bó sóng là chồng chập của một số vô cùng lớn sóng phẳng cùng phương lan truyền và có số sóng từ k0 − ∆k đến k0 + ∆k. Tần số góc của các sóng thành phần phụ thuộc vào số sóng của sóng ấy ω = ω(k).
Mỗi sóng phẳng với tần số góc ω và số sóng k xác định có thể biểu diễn bằng một số phức cei(ωt − kx)
với c là biên độ, ωt − kx là pha của sóng vào thời điểm t và tại điểm đó có tọa độ x. Phần thực ccos(ωt − kx) hoặc phần ảo csin(ωt − kx) chính là một dạng hàm sin.
s
Sự chồng chập của một số vô cùng lớn sóng phẳng có cùng phương dao động với biên độ c(k) khác nhau với tần số sóng từ k0 − ∆k đến k0 + ∆k có thể biểu diễn như sau:
ϕ (x,t) = ⌡⌠
k0 − ∆k k0 + ∆k
c(k)ei(ωt − kx) dk
Giả thuyết ∆k là nhỏ, khai triển hàm ω(k) theo các lũy thừa k − k0