Sóng đàn hồi lan truyền trong môi trường thì không có sự chuyển dời vật chất mà có sự chuyển dời năng lượng. Vận tốc truyền năng lượng của sóng bằng vận tốc dịch chuyển trong không gian của bề mặt có giá trị mật độ năng lượng khối ω cực đại.
Với sóng hình sin, vận tốc truyền năng lượng này chính bằng vận tốc pha ν.
Dòng năng lượng dφ chuyển qua diện tích nhỏ dS bằng tỉ số giữa năng lượng dW truyền qua diện tích dS và khoảng thời gian dt mà nó truyền qua.
dφ = dWdt
Với v→ là vận tốc truyền năng lượng của sóng thì dW bằng năng lượng được chứa bên trong hình trụ xiên đáy là dS đường cao là h = vdt.cosα
Lúc này ta có dW = ω.dV = ω.vdt cosα.dS = ω ( v→.ds→ ) dt Suy ra dφ = ω ( v→.ds→
) = U→ .→ds
Với ω là mật độ năng lượng khối của sóng, ds→ = n→
ds là véc-tơ diện tích ds, n→ là véc-tơ pháp tuyến của ds và α là góc giữa v→ và ds→
.
Năm 1874, Oumov lần đầu tiên đưa ra đại lượng véc-tơ mật độ năng lượng U→ = ω v
→
hay còn gọi là véc-tơ Oumov-Pointing. Véc-tơ này phụ thuộc vào tọa độ. Nếu tính năng thông φ qua một diện tích S hữu hạn thì phải lấy tích phân:
φ = ⌡⌠ (ds ) U→ .dS→ 1.7.3. Cường độ sóng
Đại lượng vô hướng I bằng mô-đun giá trị trung bình theo thời gian của véc-tơ mật độ năng thông tại mỗi điểm được gọi là cường độ sóng tại điểm đó.
Cường độ sóng có trị số bằng năng lượng truyền đi bởi sóng trong một đơn vị thời gian qua một tiết diện bề mặt vuông góc với phương lan truyền sóng.
Cường độ sóng tỉ lệ với bình phương biên độ của nó. I = < U→> = v <ω> = 12ρv ω2A2
1.7.4. Sự hấp thụ của sóng
Sự chuyển hóa năng lượng sóng thành dạng năng lượng khác xuất hiện trong khi sóng lan truyền trong môi trường gọi là sự hấp thụ sóng.
Trong môi trường đồng tính sự hấp thụ sóng đàn hồi gây ra chủ yếu bởi nội ma sát và sự dẫn nhiệt. Biên độ A và cường độ I của sóng phẳng lan truyền trong môi trường hấp thụ, dọc theo chiều dương của trục Ox thay đổi theo quy luật mũ.
A (x) = A0e-αx, I(x) = I0 e-αx với A0, I0 là biên độ và cường độ của sóng tại thời điểm x = 0, α là hệ số hấp thụ của sóng đàn hồi, nó phụ thuộc vào tính chất của môi trường và tần số sóng.
1.8. Tổng hợp sóng
1.8.1. Nguyên lí chồng chập sóng
1.8.1.1. Phát biểu
Xét môi trường tuyến tính trong đó có nhiều sóng truyền qua. Các sóng làm cho môi trường bị biến dạng. Tại một vị trí trong không gian, hạt của môi trường dao động khi có sóng truyền qua. Gọi s1
→ ( r→
,t) và s→2 ( r→
,t) là li độ của hạt của môi trường (ở vị trí khi cân bằng) nếu mỗi sóng tác dụng một mình. Môi trường của hạt khi cả hai sóng cùng tác dụng là: s → ( r→ ,t) = s→1 ( r→ ,t) + s→2 ( r→ ,t) Đây chính là nguyên lí chồng chập sóng
Như vậy trong một môi trường có hai hay nhiều sóng truyền qua, mỗi sóng xuất phát từ một tâm dao động khác nhau. Hai hay nhiều sóng có thể gặp nhau tại một điểm nào đó của môi trường. Tại miền đó, chúng tổng hợp với nhau, nhưng sau khi ra khỏi miền đó thì chúng lại tách khỏi nhau, và tiếp tục truyền đi mà vẫn giữ nguyên mọi đặc điểm như khi chúng chưa gặp nhau. Như vậy, các sóng truyền độc lập với nhau, không làm thay đổi lẫn nhau, mà chỉ cộng vào nhau ở miền chúng gặp nhau.
1.8.1.2. Kết quả chồng chập sóng: bó sóng
Trên cơ sở nguyên lý chồng chập, có thể thay một sóng bất kì không hình sin trong môi trường tuyến tính bằng hệ thống sóng hình sin tức biểu diễn dưới dạng nhóm sónghay còn gọi là bó sóng.
Hàm tuần hoàn với chu kì T có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các hàm sin có chu kì lần lượt T, T2 , … , T
n.
Hàm f(t) là hàm tuần hoàn với chu kì T: f(t) = a0 + a1sin 2π
T t +a2sin 22π
T t + … = ∑∞𝒏=𝟎𝒂𝒏𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕4T = ∑∞𝒏=𝟎𝒂𝒏𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒏𝒕
Môi trường tán sắc và không tán sắc
Nếu tất cả các sóng có tần số góc ω khác nhau lan truyền trong môi trường có cùng vận tốc v thì môi trường ấy gọi là môi trường không tán sắc. Nếu vận tốc lan truyền v phụ thuộc vào tần số góc ω của sóng thì môi trường là tán sắc.
Một bó sóng lan truyền trong môi trường không tán sắc thì giữ nguyên dạng là một xung trong khoảng có độ dài l. Trong môi trường tán sắc, bó sóng khi lan truyền bị tản ra, vì mỗi sóng sin thành phần lan truyền với vận tốc khác nhau.
1.8.1.3. Sự lan truyền của bó sóng: vận tốc nhóm.
Bó sóng gồm hai sóng phẳng hình sin có tần số gần bằng nhau, có phương dao động trùng nhau:
(x,t) = A sin (ωt − kx)
(x,t) = A sin [(ω + dω)t − (k + dk)x] Sự chồng chập của hai sóng thành phần cho sóng tổng hợp
(x,t) = A sin (ωt − kx) + A sin [(ω + dω)t − (k + dk)x] = 2A cos 1
Hình 1-13. Sự phụ thuộc của li độ s (x) vào tọa độ
Sự phụ thuộc của li độ s(x) vào tọa độ tại một thời điểm t đã cho được biểu diễn bởi đường cong như hình trên.
Có thể coi hàm s(x,t) cho bởi công thức s(x,t) = 2A cos 12 (tdω − xdk). sin (ωt − kx)
là một hàm theo thời gian với tần số góc ω và có biên độ B(x,t) = 2A cos 12(tdω − xdk) biến đổi rất chậm theo thời gian t và cả theo tọa độ x.
Bó sóng ở đây không phải là một xung, mà nhiều xung liên tiếp. Coi vận tốc chuyển động của bó sóng là vận tốc chuyển động của một điểm cực đại của biên độ, tại đó đối số của hàm cos bằng π2 chẳng hạn 12(tdω − xdk) = π2
Tức là x = dωdk t − π dk1 . Lấy đạo hàm hai vế theo t, ta có: u = dxdt = dω dk
u là vận tốc chuyển động của điểm cực đại của biên độ, gọi là vận tốc nhóm của sóng.
Bó sóng tổng quát: xét một bó sóng là chồng chập của một số vô cùng lớn sóng phẳng cùng phương lan truyền và có số sóng từ k0 − ∆k đến k0 + ∆k. Tần số góc của các sóng thành phần phụ thuộc vào số sóng của sóng ấy ω = ω(k).
Mỗi sóng phẳng với tần số góc ω và số sóng k xác định có thể biểu diễn bằng một số phức cei(ωt − kx)
với c là biên độ, ωt − kx là pha của sóng vào thời điểm t và tại điểm đó có tọa độ x. Phần thực ccos(ωt − kx) hoặc phần ảo csin(ωt − kx) chính là một dạng hàm sin.
s
Sự chồng chập của một số vô cùng lớn sóng phẳng có cùng phương dao động với biên độ c(k) khác nhau với tần số sóng từ k0 − ∆k đến k0 + ∆k có thể biểu diễn như sau:
ϕ (x,t) = ⌡⌠
k0 − ∆k k0 + ∆k
c(k)ei(ωt − kx) dk
Giả thuyết ∆k là nhỏ, khai triển hàm ω(k) theo các lũy thừa k − k0
1.8.1.4. Vận tốc pha và vận tốc nhóm:
Trong môi trường không tán sắc vận tốc truyền sóng v không phụ thuộc vào tần số góc ω của sóng. Số sóng k : k = 2πλ = 2π
vT= 2π
v
vận tốc pha chính là vận tốc truyền sóng v, còn gọi vận tốc nhóm u có giá trị: u = dω
dk = dk d(vk)
= v
trong môi trường không tán sắc, vận tốc pha u trùng với vận tốc nhóm v.
Trong môi trường tán sắc vận tốc truyền sóng v phụ thuộc vào tần số góc ω của sóng. Ta có ω = vk, nhưng khi tính vận tốc nhóm u u = dω dk = dk d(vk) = v + k dv dk (**) với k = 2πλ , do đó: dkk = − dλλ . Thay (**) vào ta có:
u = v − λdλdv
Trong môi trường không tán sắc vận tốc pha v khác với vận tốc nhóm u. Vận tốc nhóm có ý nghĩa vật lí, đó là vận tốc truyền tín hiệu.
1.8.2. Giao thoa sóng
Tại miền có hai hay nhiều sóng chồng lên nhau, dao động của mỗi điểm của môi trường là sự tổng hợp của các sóng đi qua môi trường đó.
Sự tổng hợp của hai sóng xuất phát từ hai nguồn gọi là hai nguồn kết hợp thỏa điều kiện
cùng tần số
cùng phương dao động độ lệch pha không đổi
Ta có thể tạo ra hai nguồn kết hợp bằng một nguồn duy nhất, rồi dùng phương pháp tách ra thành hai nguồn hợp. Ví dụ: ta dùng nguồn sóng cầu hình điểm S và trên đường truyền sóng, đặt vật chắn có 2 khe nhỏ S1 và S1 cách đều S. Theo nguyên lí Huyghens, sóng sau hai khe hẹp S1 và S1 là hai nguồn sóng điểm thứ cấp dao động cùng biên độ và tần số với nguồn S. Đồng thời chúng dao động cùng pha với nhau (do S1 và S2 cách đều S). Xét sự giao thoa ở khoảng cách khá xa S1 và S2 (so với khoảng cách S1S2).
Giả sử S1, S2 là hai nguồn kết hợp. Ta xét sự tổng hợp sóng tại một điểm P cách S1 và S2 những khoảng r1 và r2 rất lớn so với khoảng cách S1S2.
Nếu S1, S2 dao động cùng pha với nhau, phương trình dao động của chúng có dạng: φ1 = φ2 = A0cosωt Các sóng truyền tới P từ S1, S2 có dạng : φ1 = A0 r1 cos ω(t − r1 u ) φ2 = A0 r2 cos ω(t − r2 u ) Dao động tổng hợp tại P có dạng: φ = φ1 +φ2 = A0 r1 cos ω(t − r1 u ) + A0 r2 cos ω(t − r2 u ) Có thể xem r1 ≈ r2, | r1 − r2| ˂ ˂ r1 A0 r1 ≈ A0 r2 ≈ A Lúc này ta được φ = A.2cosω(r2 − r1
u )cos(ωt − ωr2 + r1 u ) Độ lệch pha của các dao động thành phần tại P là
∆α = ω r2− r1
u = 2π r2 − r1 λ
Nếu độ lệch pha bằng 0 hoặc bội số nguyên của 2π , hai dao động thành phần là cùng pha, dao động tổng hợp có biên độ cực đại bằng tổng các biên độ thành phần. Khi đó thì:
∆α = 2π r2 − r1
Và | r1 − r2| = kλ
Nếu độ lệch pha bằng π hoặc bội số lẻ của π, hai dao động thành phần là ngược pha, dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu bằng hiệu các biên độ thành phần.
∆α = 2π r2 − r1
λ = (2k+1)π (k = 0, 1,2, 3…) | r1 − r2| = (2k+1) λ
2
Tóm lại, dao động có biên độ cực đại tại những điểm mà hiệu khoảng cách tới nguồn bằng không hoặc bằng bội số nguyên của bước sóng A = A1 + A2
Dao động có biên độ cực tiểu tại những điểm mà khoảng cách tới hai nguồn bằng một bội số lẻ của nửa bước sóng A = A1 − A2
Tại những điểm khác có giá trị trung gian A có giá trị nằm trong khoảng A1 − A2 đến A1 + A2
Đặc biệt nếu các dao động thành phần có biên độ bằng nhau thì tại những điểm thỏa mãn điều kiện | r1 − r2| = (2k+1) λ
2 , biên độ tổng hợp bằng không, tức là sự tổng hợp của hai dao động là một trạng thái đứng yên không dao động .
Ta biết rằng quỹ tích những điểm có khoảng cách r1, r2 với 2 điểm cố định thỏa mãn điều kiện r2 − r1 không đổi là một mặt phẳng hyperboloit có tiêu điểm chung là S1, S2. Như vậy quỹ tích các điểm của mỗi trường thỏa mãn các điều kiện trên là một học mặt hypecboloit có tiêu điểm chung là 2 nguồn kết hợp S1 và S2. Giao tuyến của họ mặt này với một mặt phẳng chứa S1 và S2 là một họ hyperbol.
1.8.3. Sóng dừng
Một trường hợp riêng quan trọng của hiện tượng giao thoa là sự tổng hợp của hai sóng phẳng điều hòa có tần số và biên độ như nhau, nhưng truyền ngược nhau.
Với hai sóng dọc cùng phương truyền thì phương dao động cũng trùng nhau.
Với hai sóng ngang cùng phương truyền thì phương dao động chỉ trùng nhau nếu chúng phân cực như nhau. Sóng dừng ngang có thể hình thành trên một sợi dây đàn hồi căng thẳng, một đầu cố định còn đầu kia dao động điều hòa.
Giả sử hai sóng như vậy truyền theo chiều dương và chiều âm của trục x. Vào một lúc nào đó, cả hai sóng đều có li độ cực đại tại một điểm nào đó trên trục x. Ta chọn
lúc đó làm gốc thời gian t = 0 và điểm đó làm gốc tọa độ O. Như vậy tại gốc tọa độ O phương trình của cả hai sóng có dạng: φ1 = φ2 = Acosωt
Tại một điểm có tọa độ x bất kì, sóng truyền theo chiều dương có dạng: φ1 = Acos ω(t − xu )
Và sóng truyền theo chiều âm có dạng:
φ2= Acosω(t + xu ) Hai sóng đó có thể viết thành: φ1 = Acos ω(t − 2π
λ x) φ2= A cos ω(t + 2π
λ x)
Ta tổng hợp hai sóng đó bằng phương pháp dao động φ = A.2cos (2π
λ x) cos(ωt) Biên độ dao động của sóng tổng hợp: A’ = A.2cos(2πλ x)
Biên độ dao động tổng hợp phụ thuộc vào vị trí của điểm dao dộng: +Biên độ dao đông cực đại khi: cos(2πλ x) = 1hay 2π
λ x = kπ (k = 0,1,2,…) x = k λ
2
+Biên độ dao động cực tiểu khi: cos(2πλ x) = 0 hay 2π
λ x =(2k+1)π (k = 0,1,2,…) hay x = (2k+1) λ
4
Như vậy sóng tổng hợp của hai dao động có những điểm dao động đạt cực đại và có những điểm không dao động. Vị trí của những điểm này là cố định cho nên khi quan sát sóng tổng hợp của hai sóng ta thấy sóng đứng yên mà không truyền đi (sóng này được gọi là sóng dừng).
1.9. Dao động âm và sóng âm
1.9.1. Sóng âm và sự truyền sóng âm
Sóng cơ học có tần số từ 20 Hz đến 20 000 Hz lan truyền trong không khí đến tai con người gây nên cảm giác âm, những sóng có tần số trong khoảng đó được gọi là sóng âm. Sóng cơ học có tần số nhỏ hơn 20 Hz gọi là hạ âm, còn những sóng cơ học có tần số lớn hơn 20 000 Hz gọi là siêu âm.
Về đặc tính vật lí, những sóng hạ âm, sóng âm, siêu âm đều có cùng bản chất: dao động lan truyền sóng môi trường đàn hồi. Tuy nhiên đặc điểm để phân thành 3 loại sóng trên là sóng âm tác dụng lên tai con người gây ra cảm giác âm.
1.9.2. Đặc điểm của sóng âm
Sóng âm truyền trong chất khí là sóng dọc, có biên độ sóng là rất nhỏ.
Trong một chất khí nhất định, vận tốc truyền âm tỉ lệ thuận với căn bậc hai của nhiệt độ và không phụ thuộc vào áp suất.
Đối với nhiều chất khí khác nhau nhưng ở cùng điều kiện nhiệt độ và áp suất, vận tốc truyền âm tỉ lệ thuận với căn bậc hai của khối lượng phân tử.
Âm truyền đi theo những tia gọi là tia âm. Thực nghiệm chứng tỏ những sóng âm cũng có những tính chất chung của sóng cơ học: phản xạ, khúc xạ, nhiễu xạ và hấp thụ.
Sóng âm truyền qua hai môi trường có vận tốc truyền âm khác nhau thì ở mặt phân cách, một phần bị phản xạ, một phần bị khúc xạ. Góc phản xạ bằng góc tới (theo đúng định luật phản xạ).
Góc khúc xạ lớn hơn hay nhỏ hơn góc tới là phụ thuộc vào vận tốc truyền âm của môi trường tới và môi trường khúc xạ: khi sóng âm truyền từ môi trường có vận tốc lớn hơn sang môi trường có vận tốc bé hơn thì góc khúc xạ nhỏ hơn góc tới.
Khi gặp chướng ngại vật, sóng âm cũng bị nhiễu xạ. Các tia âm cũng bị đổi phương khi gặp vật cản, và hiện tượng nhiễu xạ càng rõ khi chướng ngại vật càng rõ.
Khi truyền sóng âm, năng lượng sóng âm bị hấp thụ dần nên càng xa nguồn, âm càng bé dần và tắt hẳn.
1.9.3. Các tính chất sinh lí của âm
1.9.3.1. Độ cao của âm
Độ cao của âm là do tần số của âm quyết định. Tần số càng lớn thì âm càng cao.