KT τ3.4: Phương pháp khoảng
Ở đây chúng tôi xem phân thức ( ) ( )
A x
B x có cùng dấu với biểu thức A(x).B(x), mà cách xét dấu của phân thức ( )
( )
A x
B x đã được chỉ ra trong bài đọc thêm như sau:
Nếu các đa thức A(x) và B(x) có các nghiệm x x1, ,...2 xn đôi một khác nhau và
< < <
1 2 ... n
x x x thì trên mỗi khoảng (−∞;x1) (, x x1; 2),...,(xn−1;xn),(xn;+ ∞), thì phân thức ( )
( )
A x
B x giữ nguyên một dấu không đổi. [M10.1, tr.152] .
Không có bài tập sử dụng KT τ3.4 để giải quyết KNV T3, chỉ có một ví dụ về xét dấu biểu thức dạng tích sử dụng kĩ thuật này.
VD9. Xét dấu biểu thức
( ) ( 2 )( )( 2 )
2 1 2 1 5 4
P x = x + x+ x− x − x+
Giải. Tam thức bậc hai 2 ( )2 2 1 1
x + x+ = x+ có nghiệm kép x = -1. Nghiệm của nhị thức bậc nhất 2x - 1 là 1
2. Nghiệm của tam thức bậc hai 2
5 4x − x+ là 1 và 4. Ta viết biểu thức đã x − x+ là 1 và 4. Ta viết biểu thức đã cho dưới dạng ( ) ( ) (2 )( )( ) 1 2 1 1 4 . P x = x+ x− x− x−
Các nghiệm của P(x) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là -1, 1
2, 1 và 4. Các nghiệm này chia ℝthành năm khoảng Các nghiệm này chia ℝthành năm khoảng
( ) 1 1 ( ) ( ) ; 1 , 1; , ;1 , 1; 4 , 4; . 2 2 −∞ − − +∞
Ta có P(0) = -4 < 0. Do đó f(x) < 0 trên khoảng 1;1 2
−
. Khi x qua điểm 1
2, chỉ có nhị thức 2x−1 đổi dấu. Do đó P(x) đổi dấu và ta có P(x) > 0 trên khoảng 1;1 2x−1 đổi dấu. Do đó P(x) đổi dấu và ta có P(x) > 0 trên khoảng 1;1
2
. Tương tự P(x) âm trên khoảng ( )1; 4 và dương trên khoảng (4;+∞).
Nhân tử (x + 1)P 2
Pbằng 0 tại điểm x = -1, nhưng luôn dương với mọi x≠ −1 nên khi x qua điểm -1, P(x) không đổi dấu. Do đó, P(x) < 0 trên khoảng (−∞ −; 1). Ta có bảng xét dấu điểm -1, P(x) không đổi dấu. Do đó, P(x) < 0 trên khoảng (−∞ −; 1). Ta có bảng xét dấu sau: x −∞ -1 1 2 1 4 +∞ P(x) - 0 - 0 + 0 - 0 + [M10.2, tr.153].
Như vậy KT τ3.4để giải BPT P(x) < 0 có thể diễn đạt như sau: • Giải PT P(x) = 0 được các nghiệm x x1, ,...2 xn.
• Phân tích P(x) thành tích các nhị thức.
• Sử dụng bảng xét dấu để biểu diễn các nghiệm này (theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải). Khi đó chúng chia bảng xét dấu thành các khoảng
(−∞;x1) (, x x1; 2),...,(xn−1;xn),(xn;+ ∞), đôi một không giao nhau.
• Chọn một giá trị α bất kỳ trong mỗi khoảng thì dấu của P(α) chính là dấu của P(x) trên khoảng đó. Khi x qua nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội lẻ) thì P(x) đổi dấu, x qua nghiệm bội chẵn thì P(x) giữ nguyên dấu.
• Căn cứ vào dấu của BPT chọn tập nghiệm của BPT đã cho.
CN 𝛉3.4:
- Công thức nghiệm của PT bậc nhất, bậc hai một ẩn;
- Ứng dụng của định lí Viet, phân tích đa thức thành nhân tử.
Nhìn chung trong 4 Kĩ thuật giải BPT dạng tích chúng tôi thấy chỉ có kĩ thuật
τ3.1 được trình bày trong sách giáo khoa và có hướng dẫn cụ thể từng bước giải nhưng lời giải của nó dài dòng hơn τ3.3 và τ3.4. Tuy nhiên, τ3.3 chỉ được nói đến trong sách giáo viên và phạm vi hợp thức của nó chỉ khi P(x) có dạng tích của hai
nhị thức, τ3.4 mặc dù không giới hạn về số lượng nhị thức trong P(x) nhưng chỉ được trình bày trong bài đọc thêm. Còn τ3.2 xuất hiện trong một bài tập nâng cao ở lớp 8 và nó được phát triển tự nhiên từ tính chất của tích hai số nhưng chỉ hiệu quả khi P(x) là tích của hai nhị thức.
KNV thứ 4: T4. Giải BPT chứa ẩn ở mẫu ở đây ta chỉ xét các BPT có thể đưa về một trong các dạng ( )
( ) 0, ( )( ) 0, ( )( ) 0, ( )( ) 0,
P x P x P x P x
Q x < Q x ≤ Q x > Q x ≥ trong đó P(x) và Q(x) là các tích của những nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai.
Cũng có các kĩ thuật giải tương tự với KNV T3 được chúng tôi mã hóa thành các kĩ thuật tương ứng là 4.1, 4.2, 4.3, 4.4τ τ τ τ . Riêng đối với kĩ thuật 4.1τ trong bảng xét dấu của phân thức ( )
( )
P x
Q x lưu ý rằng biểu thức ở cột trái không xác định thì ta sử dụng dấu “||”.
Ngoài ra, trong M10.2 còn giới thiệu thêm một kĩ thuật khác nữa thông qua một ví dụ
VD10. Giải bất phương trình 1 1. 1
x− ≥
Giải. Điều kiện x ≠ 1.
• Khi x – 1 < 0 (tức x < 1) ta có 1 0 1
x− < . Do đó trong trường hợp này mọi x<1
đều không là nghiệm của BPT hay BPT vô nghiệm.
• Khi x – 1 > 0 (tức x > 1), nhân hai vế của BPT đã cho với x – 1 ta được BPT tương đương 1 ≥ x – 1. Như vậy trong trường hợp này nghiệm của BPT đã cho là nghiệm của hệ 1 1 1. x x ≥ − >
Giải hệ này ta được nghiệm là 1 < x ≤ 2 [M10.2, tr.86].
KTτ4.5: Xét dấu mẫu số • Q(x) > 0:
Quy đồng khử mẫu và giữ nguyên chiều của BPT, được BPT mới (không còn ẩn ở mẫu);
Giải BPT mới tìm tập nghiệm và chọn những giá trị x nào thỏa mãn điều kiện Q(x) > 0.
• Q(x) < 0:
Quy đồng khử mẫu và đổi chiều của BPT;
Các bước còn lại thực hiện như trường hợp Q(x) > 0.
CN 𝛉4.5:
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thứcP7F 8
P ; ; - Định lí về phép biến đổi tương đương BPT.
Liên quan đến KNV T4 G10.1 và G10.2 đã đưa ra dự đoán một số sai lầm mà học sinh mắc phải như sau:
a) Sai lầm liên quan đến nghiệm của BPT
• Viết thừa hoặc thiếu nghiệm. Chẳng hạn, tập nghiệm của BPT 2 4 0 1 x x − ≥ + là (−∞ − ∪; 1) 2;+ ∞) chứ không phải là (−∞ − ∪; 1 2;+ ∞).
• Đơn giản các biểu thức trong một BPT mà biểu thức chưa khác không.
"Một số học sinh có thể giải BPT ( )( ) ( ++ )( −+ )< 1 2 0 1 2 x x x x như sau: BPT trên tương đương với BPT − <
+2 02 2
x
x . Do đó, tập nghiệm của nó là (-2 ; 2).
Lập luận trên sai, vì hai BPT trên chỉ tương đương với nhau khi x ≠ - 1. Do đó tập nghiệm của BPT đã cho là(− − ∪ −2; 1) ( 1;2)"
[G10.1, tr.188].
8 Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau: - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung ; - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung ; - Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức ;