- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng [M8.1, tr.42].
PHIẾU THỰC NGHIỆM
2.2. Phân tích hậu nghiệm
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm vào đầu năm học 2013-2014 nhưng ở thời điểm này học sinh lớp 10 chưa học về BPT nên chúng tôi chọn đối tượng học sinh lớp 11 vốn đã học về BPT, cụ thể là có 76 học sinh lớp 11 THPT Nguyễn Hữu Thọ thuộc tỉnh Long An tham gia vào thực nghiệm này. Và như vậy, kết quả thực nghiệm cũng không bị ảnh hưởng.
Chúng tôi thống kê kết quả làm bài của học sinh khi giải BPT (1.1) trong bảng 3.1
Bảng 3.1: Kết quả thực nghiệm câu hỏi 1 - bất phương trình (1.1).
Chiến lược CL1.1 CL1.2 Bỏ trống Tổng
Số bài 62 10 4 76
Phần trăm 81.58% 13.16% 5.26% 100%
Có 62/76 học sinh sử dụng CL1.1 cho phép chúng tôi khẳng định học sinh đã
huy động kĩ thuật giải phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số cho bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số.
Một trong những học sinh sử dụng CL1.1 được chúng tôi mã hóa là HS1 đưa ra lời giải cho BPT (1.1) như sau:
Bài giải của HS1
HS1 đã chuyển tất cả hạng tử về vế trái để được BPT x(m - 1) - 3 < 0, sau đó xét hai trường hợp m - 1 = 0 và m - 1 ≠ 0, nếu đúng phải là xét hai trường hợp
1 0
m− < và m− >1 0. Điều này cho thấy HS1 đã sử dụng kĩ thuật giải của PT chứa ẩn ở mẫu cho BPT chứa ẩn ở mẫu.
Trong số 62 học sinh sử dụng CL1.1 có 18 học sinh đã không tính đến x còn xuất hiện ở vế phải nên xét hai trường hợp m = 0 và m ≠0. Ví dụ bài giải của học sinh được chúng tôi mã hóa là HS2.
Có 2 học sinh sử dụng CL1.2 và mắc phải sai lầm khi biến đổi BPT đã cho về dạng (m−1)x<3 rồi chia hai vế của BPT cho m−1 đồng thời giữ nguyên chiều của BPT.
Bài giải của HS3
Sau khi biến đổi BPT đã cho về dạng (m−1)x<3, để tìm x thì thực hiện chia hai vế cho m−1, nhưng ở đây HS3 đã không quan tâm đến dấu của m−1 thể hiện quan việc đặt điều kiện m− ≠1 0, cho thấy HS3 đã giải BPT (1.1) như PT chỉ thay một cách hình thức dấu "=" thành dấu "<".
Giải bất phương trình ( )4( 2 ) ( )
4−x x −4x+3 ≤0 1.2
Kết quả lời giải BPT (1.2) của học sinh được chúng tôi thống kê thành một bảng gọi là bảng 3.2
Bảng 3.2: Kết quả thực nghiệm câu hỏi 1 - bất phương trình (1.2).
Chiến lược CL2.1 CL2.2 Chiến lược
khác Tổng
Số bài 35 26 15 76
Phần trăm 46.05% 34.21% 19.74% 100%
Có 35/76 học sinh sử dụng CL2.1 cho thấy rằng học sinh đã huy động kĩ thuật giải của PT tích để giải quyết kiểu nhiệm vụ giải BPT tích.
Dưới đây là bài giải của hai học sinh, được chúng tôi mã hóa là HS4 và HS5, đại diện cho 35 học sinh sử dụng CL2.1.
Bài giải của HS4
Bài giải của HS5
Hai bài giải trên cho thấy cả hai học sinh đã gặp phải sai lầm khi biến đổi
tương đương( )4( 2 ) ( )4 2 4 0 4 4 3 0 4 3 0 x x x x x x − ≤ − − + ≤ ⇔ − + ≤ . Ngoài ra, HS1 còn mắc phải sai lầm khi giải BPT bậc hai 2
4 3 0 1 3
x − x+ ≤ ⇔ < ∨ <x x. Việc huy động kĩ thuật giải của PT cho BPT tồn tại khá sâu trong HS5 thể hiện qua các sai lầm khi biến đổi ( )4
4−x ≤ ⇔ − ≤0 4 x 0 và qua việc giải BPT 2 1
4 3 0 3 x x x x ≤ − + ≤ ⇔ ≤ . Trong số 26 học sinh sử dụng CL2.2 có đến 14 học sinh mắc sai lầm khi xét dấu biểu thức (4 - x)P
4P P
Bài giải của HS6
Bài giải của HS7
HS6 sử dụng cách xét dấu không được dạy chính thức trong chương trình mà chỉ xuất hiện trong bài đọc thêm và gặp phải sai lầm khi x qua số 4 (nghiệm bội chẵn) mà P(x) lại đổi dấu. Trong khi đó, HS7 thì thực hiện xét dấu biểu thức
( )4
4−x như xét dấu nhị thức (4−x).
Bài giải của HS8
HS8 phân tích ( )4 4−x
thành tích của bốn nhị thức (4 - x) và lập bảng xét dấu của bốn nhị thức này cùng với tam thức 2
4 3
x − x+ , nhưng khi kết luận tập nghiệm của BPT đã bỏ sót nghiệm 4.
Chỉ có 3 học sinh sử dụng đã thực hiện chia hai vế của BPT cho ( )4 4−x mà không xét trường hợp ( )4
4−x = 0.
Bài giải của HS9
Ngoài việc bỏ sót nghiệm 4, HS9 còn mắc sai lầm khi sử dụng kĩ thuật giải PT bậc hai cho BPT bậc hai thể hiện ở bước biến đổi 2 1
4 3 0 3 x x x x ≤ − + ≤ ⇔ ≤ .
Giải bất phương trình 2 3 ( ) 2 1.3 3 t t + ≥ +
Chúng tôi thống kê kết quả giải BPT (1.3) của học sinh thành bảng 3.3
Bảng 3.3: Kết quả thực nghiệm câu hỏi 1 - bất phương trình (1.3).
Chiến lược CL3.1 CL3.2 Tổng
Số bài 63 13 76
Phần trăm 82.89% 17.11% 100%
Có 63/76 học sinh sử dụng CL3.1 cho phép chúng tôi khẳng định học sinh đã
huy động kĩ thuật giải phương trình chứa ẩn ở mẫu khi giải quyết kiểu nhiệm vụ giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Trong 63 học sinh nói trên có 40 học sinh đặt điều kiện cho mẫu số có nghĩa nhưng có đến 36 học sinh không tính đến điều kiện đó vào việc kết luận tập nghiệm của BPT. Chúng tôi chọn bài giải của học sinh HS10 để minh họa cho nhóm học sinh sử dụng CL3.1
Bài giải của HS10
HS10 đặt điều kiện t ≠ −3, sau đó quy đồng khử mẫu để được BPT
( )
2
3 2 3
t + ≥ t+ , không quan tâm đến dấu của t + 3 và trong kết luận thì không tính đến điều kiện t ≠ −3.
Có 13/76 học sinh sử dụng CL3.2 nhưng vẫn có một vài học sinh mắc phải sai lầm trong quá trình giải, có thể chỉ ra hai học sinh HS11 và HS12
Bài giải của HS11
HS11 sử dụng kĩ thuật xét dấu để giải BPT (1.3) nhưng không dùng bảng xét dấu, kĩ thuật được sách giáo khoa mong đợi, để xét dấu biểu thức 2 2 3
3
t t
t
− −
+ mà lại dùng trục số. Cũng cần nhắc lại rằng, trong phần phân tích sách giáo khoa lớp 8 và lớp 10 chúng tôi đã chỉ ra trục số xuất hiện với mục đích để "hình dung rõ tập nghiệm" hoàn toàn không được xem là một kĩ thuật để xét dấu biểu thức. Thế thì, "kĩ thuật trục số" được HS11 sử dụng ở đây để xét dấu biểu thức 2 2 3
3
t t
t
− −
+ được
thực hiện như thế nào và công nghệ để giải thích cho kĩ thuật là gì? Câu hỏi này đã được chúng tôi đặt cho cô giáo viên V.P9F
10
Pvà được giải đáp như sau: