Không giải thích khái niệm BPT hoặc kĩ thuật giải- 123docz.net

- Điều kiện của BPT f(x) < g(x) không phải chỉ gồm các điều kiện của ẩn làm cho biểu th ức f(x) và g(x) có nghĩa (các phép toán thực hiện được) mà bao gồm các điều kiện khác

5 Không giải thích khái niệm BPT hoặc kĩ thuật giải nó quá nhanh; phân biệt rõ khái niệm PT và BPT 6 Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số.

( ) ( ) ( ) ( )

f x h x >g x h x nếu h(x) < 0 với mọi x ∈ 𝐷"

[M10.1, tr115].

Trong phép biến đổi tương đương BPT giáo viên được yêu cầu:

“nhấn mạnh sự khác nhau giữa PT và BPT khi thực hiện việc nhân hai vế với cùng một biểu thức: Đối với BPT, khi nhân cả hai vế với h(x) thì phải luôn để ý đến dấu của h(x)”

[G10.1, tr.159].

3) Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

Tương tự như phần giải và biện luận PT ax + b = 0, kết quả giải và biện luận BPT ax + b < 0 (1) cũng được tóm tắt thành một bảng.

Bảng 2.3: Kết quả giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0.

1) Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x <

a b

− . Vậy tập nghiệm của (1) là S ; b .

a   = −∞ −    2) Nếu a < 0 thì (1) ⇔x > a b

− . Vậy tập nghiệm của (1) là S b; .

 

= − + ∞

 

3) Nếu a = 0 thì (1) ⇔ 0x < - b. Do đó: + BPT (1) vô nghiệm (S = ∅) nếu b ≥ 0;

+ BPT (1) nghiệm đúng với mọi x, (S = ℝ) nếu b < 0. 4) Dấu của nhị thức bậc nhất

"Định lí (về dấu của nhị thức bậc nhất)

Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với a khi nhỏ hơn nghiệm của nó"

[M10.1, tr123].

Ta đã biết PT ax + b = 0 (a≠ 0) có một nghiệm duy nhất x0 b a

= − nên kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng 2.4

Bảng 2.4: Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất

x - ∞ xR0 +∞

f(x) = ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

Trong phần này có xuất hiện đồ thị để giải thích ý nghĩa hình học của định lí (về dấu của nhị thức bậc nhất) thông qua hoạt động HD1.

HD1. Hãy giải thích bằng đồ thị các kết quả của định lí trên.

Hoạt động này được sách giáo viên đưa ra gợi ý giải

"Nếu a > 0 thì với x < xR0R, tung độ của các điểm tương ứng trên đồ thị có giá trị âm; còn với x > xR0R, tung độ các điểm tương ứng trên đồ thị có giá trị dương.

Trường hợp a < 0 được xét tương tự" [G10.1, tr.167].

5) Dấu của tam thức bậc hai

Mục tiêu cần đạt trong phần này là:

“vận dụng thành thạo định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu các tam thức bậc hai và giải một vài bài toán đơn giản có tham số”

[G10.1, tr.183] .

Trong đó, định lí về dấu của tam thức bậc hai được tiếp cận bằng cách quan sát đồ thị của hàm số bậc hai để suy ra định lí.

x y a < 0 y = ax + b x0 O x y a > 0 y = ax + b x0 O Hình 2.3 Hình 2.4

Bảng 2.5: Tam thức bậc hai vô nghiệm (∆ < 0). a > 0 a < 0 Kết luận x - ∞ +∞ f(x) + x - ∞ +∞ f(x) -

(af(x) > 0 với mọi x ∈ℝ).

x - ∞ +∞

f(x) cùng dấu với a

Bảng 2.6: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x0 = −2ba (∆ = 0).

a > 0 a < 0 Kết luận x - ∞ xR0 +∞ f(x) + 0 + x - ∞ xR0 +∞ f(x) - 0 - x - ∞ xR0 +∞ f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a (af(x) > 0 với mọi x ≠ xR0R). x y O 1 x y O 1 x y x0 O 1 x y x0 O

Bảng 2.7: Tam thức bậc hai có hai nghiệm xR1R và xR2R (xR1RRR< xR2R), ∆ > 0. a > 0 a < 0 Kết luận x - ∞ xR1 xR2 +∞ f(x) + 0 - 0 + x - ∞ xR1 xR2 +∞ f(x) - 0 + 0 -

(af(x) < 0 với mọi x ϵ (xR1R ; xR2R), af(x) > 0 với mọi

x ϵ (- ∞ ; xR1R) U (xR2R ; + ∞)). x - ∞ xR1 xR2 +∞ x - ∞ xR1 xR2 +∞ f(x) Cùng dấu với a 0 Khác dấu với a 0 Cùng dấu với a

Các kết quả trên được phát biểu thành định lí về dấu của tam thức bậc hai

"Cho tam thức bậc hai f(x) = axP

+ bx + c (a ≠ 0). Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ℝ. Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi ≠ − .

b x

Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm xR1R và xR2R (xR1R< xR2R). Khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (xR1R ; xR2R) (tức là với xR1R< x < xR2R), và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn [xR1R ; xR2R] (tức là với x < xR1R hoặc x > xR2R)"

[M10.1, tr.139].

6) Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình dạng axP 2 P + bx + c < 0 (hoặc axP 2 P + bx + c > 0, axP 2 P + bx + c ≤ 0, axP 2 P + bx + c ≥0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0" [M10.1, tr.141].

Sách giáo viên cho rằng thấy rằng:

“Bất phương trình bậc hai được định nghĩa một cách tương tự như phương trình bậc hai một ẩn”

[G10.2, tr.113].

Phải chăng từ vựng "tương tự" ở đây được hiểu là dấu "=" trong PT được thay bằng dấu bất đẳng thức ta sẽ có định nghĩa BPT bậc hai một ẩn?

x y x2 x1 O x y x2 x1 O

Như vậy:

"BPT được giảng dạy với sự thừa hưởng khá nhiều từ PT hầu như chỉ cần thay dấu “=” bởi dấu bất đẳng thức"

[Dương Thị Ngọc Hân, 2012].

Mặc dù sách giáo viên có đề cập:

“định lí về dấu của nhị thức bậc nhất là cơ sở để giải các BPT quy về bậc nhất; định lí về dấu của tam thức bậc hai là cơ sở để giải BPT hoặc hệ BPT bậc hai”

[G10.1, tr.152].

nhưng sự xuất hiện của đồ thị để giải thích cho định lí làm cho chúng tôi nảy sinh câu hỏi:

Kĩ thuật đồ thị có được SGK giới thiệu cho học sinh để giải BPT bậc nhất, các BPT quy về bậc nhất, BPT bậc hai hay không hay nó chỉ có vai trò giải thích cho các định lí?

Để tìm lời giải đáp cho câu hỏi trên, chúng tôi tiến hành phân tích tổ chức toán học trong bộ sách 10 nâng cao.

 Phân tích các tổ chức toán học

KNV thứ 2: T2. Giải và biện luận BPT bậc nhất chứa tham số

VD4. Giải và biện luận BPT mx + 1 > x + mP 2 P . (8.1) Giải BPT (8.1)⇔ (m - 1)x > mP 2 P – 1. (8.2) Ta có Nếu m > 1 thì m – 1> 0 nên (8.2)⇔ > − ⇔ > + − 2 1 1 1 m x x m m . Nếu m < 1 thì m – 1< 0 nên (8.2)⇔ < − ⇔ < + − 2 1 1. 1 m x x m m

Nếu m = 1 thì BPT trở thành 0x > 0 nên vô nghiệm. Kết luận:

Nếu m > 1 thì tập nghiệm của (8.1) là S = (m + 1 ; +∞). Nếu m < 1 thì tập nghiệm của (8.1) là S = (-∞ ; m + 1). Nếu m = 1 thì tập nghiệm của (8.1) là S = ∅.

Từ VD4 có thể rút ra được kĩ thuật để giải quyết KNV T2 như sau:

KTτ2

• Biến đổi BPT đã cho về dạng ax < b (2.1)

 Với giá trị của tham số mà a > 0 thì BPT (2.1)⇔ <x b.

 Với giá trị của tham số mà a < 0 thì BPT (2.1)⇔ >x b.

 Thế giá trị của tham số làm cho a = 0 vào BPT (2.1) thì BPT (2.1) trở thành 0x<α(với α là giá trị sau khi thế tham số vào vế phải)

 Nếu α ≤ 0 thì (2.1) vô nghiệm;

 Nếu α > 0 thì (2.1) nghiệm đúng với mọi x.

• Kết luận tập nghiệm của BPT đã cho ứng với mỗi trường hợp của tham số.

CNθ2 :

• Định lí về phép biến đổi tương đương. • Bảng 2.3.

Cách giải và biện luận BPT ax + b < 0 có điểm chung với cách giải và biện luận PT ax b+ =0 là đều xét hai trường hợp a = 0 và a ≠ 0. Cụ thể: trường hợp

a= và a > 0 thì cách giải của PT và BPT là như nhau chỉ thay dấu “=” thành dấu “<”, trường hợp a < 0 thì dấu “<” phải đổi thành “>”; trường hợp a < 0 và a > 0 ở PT được nhập chung thành a ≠0. Như vậy, học sinh học BPT ax + b < 0 (a≠0) ở lớp 8 và tiếp tục gặp ở lớp 9 trong khi đó BPT dạng ax + b < 0 (có tham số) đến lớp 10 học sinh mới được tiếp cận và kĩ thuật giải được mong đợi tương tự như kĩ thuật giải của PT ax + b = 0 (có tham số). Phải chăng đây là một nguyên nhân dẫn đến hiện tượng học sinh huy động kĩ thuật giải phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số khi giải quyết kiểu nhiệm vụ giải bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số.

Trước khi phân tích KNV tiếp theo chúng tôi cũng cần nhắc lại rằng, ở lớp 8 học sinh đã được học chính thức PT dạng tích và PT chứa ẩn ở mẫu số sau đó được

mở rộng thêm ở lớp 9. Trong khi đó, BPT dạng tích và BPT chứa ẩn ở mẫu lớp 10 mới được học chính thức. Tuy nhiên, trong E8.2 có xuất hiện hai bài tập về BPT tích và hai bài tập về BPT chứa ẩn ở mẫu. Vậy kĩ thuật giải của hai KNV này ở lớp 8 và lớp 10 có gì khác nhau và nó có mối liên hệ gì với PT cùng loại?

KNV thứ 3: T3. Giải BPT dạng P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0 với P(x) là tích của những nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai.

Chúng tôi tìm thấy có 4 kĩ thuật giải BPT dạng tích: một dùng bảng xét dấu được trình bày thông qua một ví dụ trong M10.1, một được trình bày qua lời giải của một bài tập trong E8.2, một được nêu trong G10.1 và một được trình bày trong bài đọc thêm. Chúng tôi gọi các kĩ thuật đó lần lượt là τ3.1, τ3.2, τ3.3, τ3.4.

VD5. Giải bất phương trình(x – 3)(x + 1)(2 – 3x) > 0. (9.1) Giải

Để giải BPT (9.1), ta lập BXD vế trái của (9.1). Đặt P(x) = (x – 3)(x + 1)(2 – 3x)

Giải PT P(x) = 0, ta được

(x – 3)(x + 1)(2 – 3x) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = - 1 hoặc 𝑥 =23.

Sắp xếp các giá trị tìm được của x theo thứ tự tăng: - 1, 23, 3. Ba số này chia trục số thành bốn khoảng. Ta xác định dấu của P(x) trên từng khoảng bằng cách lập bảng sau đây gọi là bảng xét dấu của P(x).

x -∞ -1 23 3 +∞ 3 3 +∞ x –3 - - - 0 + x + 1 - 0 + + + 2 – 3x + + 0 - - P(x) + 0 - 0 + 0 -

Trong bảng xét dấu hàng trên cùng ghi lại bốn khoảng được xét của trục số, ba hàng tiếp theo ghi dấu của các nhân tử bậc nhất trên mỗi khoảng (dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất); hàng cuối ghi dấu của P(x) trên mỗi khoảng bằng cách lấy “tích” của các dấu cùng cột ở cả ba hàng trên.

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của BPT (9.1) là = −∞ − ∪ ( )  

  2 ; 1 ;3 3 S [M10.1, tr.123].

Cách giải BPT tích mà sách giáo khoa trình bày giống như trình tự giải BPT trong lịch sử, nghĩa là đầu tiên giải PT P(x) = 0, sau đó thay dấu “=” thành dấu bất đẳng thức. Ở đây mục tiêu mà G10.1 đưa ra yêu cầu học sinh cần đạt trong bài §.Dấu của nhị thức bậc nhất là:

"Biết cách lập bảng xét dấu để giải BPT tích và BPT thương.

Sau khi lập bảng xét dấu, cần chú ý việc chọn khoảng thích hợp để kết luận về tập nghiệm của BPT"

[G10.1, tr.167].

nên chúng tôi đưa ra kĩ thuật τ3.1 và công nghệ giải thích cho nó như sau:

KT τ3.1: Kĩ thuật dùng bảng xét dấu • Tìm nghiệm của P(x);

• Lập bảng xét dấu;

• Căn cứ vào dòng cuối cùng của bảng xét dấu ta chọn tập nghiệm của BPT

 Nếu dấu của BPT là dấu ">" ta chọn khoảng nghiệm mà P(x) có dấu "+";

 Nếu dấu của BPT là dấu "<" ta chọn khoảng nghiệm mà P(x) có dấu "-"; • Kết luận tập nghiệm của BPT dạng tập hợp.

Ngoài ra G10.1 còn giải thích thêm về cách lập bảng xét dấu

"Ở hàng đầu tiên, khâu sắp xếp các nghiệm của PT P(x) = 0 cho đúng thứ tự trên trục số là rất quan trọng (khoảng cách giữa chúng không cần theo tỉ lệ nào cả, miễn là việc ghi các dấu “+” hay “-“ được thuận tiện, rõ ràng).

Các dấu “|” chỉ có ý nghĩa dóng cho thẳng cột, ngoài ra nó không mang một nội dung nào khác"

[G10.1, tr.167].

Từ những giải thích đó chúng tôi cho rằng công nghệ để giải thích cho KT

τ3.1 là:

CN θ3.1:

- Công thức nghiệm của PT bậc nhất một ẩn; - Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất;

- Cách nhận biết dấu của một tíchP6F 7

, tích của một số với số 0 chính là .

Trong E8.2, tr.50 hiện diện một kĩ thuật khác để giải BPT mà chúng tôi gọi là KT τ3.2: Sử dụng quy tắc nhân dấu (sử dụng cho trường hợp

( ) ( )( ) P x = ax b cx+ +d ). VD6. Tìm x sao cho (x – 2)(x – 5) > 0. Lời giải tr.63, 64 Xét hai trường hợp: • Trường hợp I: x - 2 > 0 và x – 5 > 0, có kết quả là x > 5.

• Trường hợp II: x - 2 < 0 và x – 5 < 0, có kết quả là x < 2.

Tổng hợp cả hai trường hợp, ta có tập hợp các số x cần tìm là tập hợp các số nhỏ hơn 2 hoặc lớn hơn 5.

Người ta viết tập hợp này là {x / x < 2 hoặc x > 5} [Bài 86b, E8.2, tr.50].

Lời giải trên dùng quy tắc nhân dấu để chia các trường hợp và sau đó tổng hợp các trường hợp lại. Kĩ thuật này chỉ tỏ ra có hiệu quả khi BPT đề cho là tích của hai biểu thức mà chúng tôi giả sử là tích A(x).B(x). Khi đó kĩ thuật giải được tiến hành như sau: A(x).B(x) < 0 A(x).B(x) > 0 Trường hợp 1: A(x) < 0 và B(x) > 0 Trường hợp 2: A(x) > 0 và B(x) < 0 Trường hợp 1: A(x) > 0 và B(x) > 0 Trường hợp 2: A(x) < 0 và B(x) < 0 Giải mỗi BPT trong mỗi trường hợp, sau đó tổng hợp kết quả lại.

Với kĩ thuật này chúng tôi cho rằng, học sinh sẽ không phân biệt được khi nào dùng từ “và”, khi nào dùng từ “hoặc” và ở bước tổng hợp nghiệm thật khó mà giải thích tại sao lại kết luận được tập nghiệm?

Kĩ thuật này có phần giống với kĩ thuật giải PT tích đã học ở lớp 8. Để giải PT tích M8.2 cung cấp công thức 7 (+).(+) ⟶ (+) ; (-).(-) ⟶ (+) ; (+).(-) ⟶ (-) ; (-).(+) ⟶ (-). Tích của một số với số 0 thì bằng 0. [M6.1, tr.91].

A(x).B(x) = 0 ⟺ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.

VD7. Giải phương trình (2x – 3)(x + 1) = 0. Giải

(2x – 3)(x + 1) = 0 ⇔ (2x – 3) = 0 hoặc (x + 1) = 0 Do đó ta phải giải hai phương trình:

1. 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5. 2. x + 1 = 0 ⇔ x = -1. 2. x + 1 = 0 ⇔ x = -1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1,5 và x = -1 hay tập nghiệm của phương trình là S = {1,5 ; -1}

[M8.2, tr.15].

Mặc dù kĩ thuật τ3.2 có vẻ phát triển tự nhiên từ quy tắc nhân dấu nhưng do nó có phần giống với kĩ thuật giải PT tích nên có thể học sinh sẽ huy động kĩ thuật giải của PT tích khi giải quyết kiểu nhiệm vụ giải BPT tích.

Khi P(x) là tích của hai nhị thức G10.1 cung cấp thêm một kĩ thuật để giải quyết KNV T3.

VD8. "… với biểu thức f(x) = (2x + 1)(-3x +5).

Dễ thấy f(x) là một tam thức bậc hai có hệ số a = - 6 và hai nghiệm là 1 2 − và 5 3 . Do đó f(x) > 0 với mọi 1 5; 2 3 x∈ −    và f(x) < 0 với mọi x < 1 2 − hoặc x >5 3. Từ đó suy

ra nghiệm của BPT đã cho. [G10.1, tr.187].

Kĩ thuật τ3.3 chỉ hợp thức đối với BPT dạng tích của hai nhị thức, giả sử là (ax + b)(cx + d). Khi đó τ3.3 được phát biểu như sau:

KT τ3.3: Dựa vào dấu của hệ số xP 2

Pvà dấu BPT

• Tìm nghiệm của từng nhị thức, giả sử là xR1R và xR2R (xR1R < xR2R) • So sánh dấu của tích a.c và dấu của BPT

- Nếu tích a.c trái dấu với dấu của BPT thì xR

1R < x < xR 2R .

- Nếu tích a.c cùng dấu với dấu của BPT thì x < xR1Rhoặc xR2R < x.

- Công thức nghiệm của PT ax + b = 0;

- Định lí về dấu của tam thức bậc hai; - Tập con của tập số thực.