Xét coơt mạnh chịu nén leơch tađm bởi lực P như tređn H.11.8.
sin o z y a l π = (11.11) Trang 156 - 177
Do tác dúng cụa lực P, coơt bị cong và có phương trình y(z). Mođmen uôn tahi 1 tiêt dieơn do lực P gađy ra:
[ ( )] ( )
M =P e+y z =Pe+Py z (11.23) trong đó
e – đoơ leơch tađm ban đaău y – Đôi với cụa trúc coơt
Phương trình vi phađn đường đàn hoăi như sau :
"( ) M
y z EI
= − (11.24)
Thê (11.23) vào (11.24) và đaịt 2 P EI
α = ta được: 2 2
"
y +α y= −α e (11.25) Nghieơm toơng quát cụa phương trình này là toơng cụa nghieơm thuaăn nhât và nghieơm rieđng : y=Asinαz+Bcosαz−e (11.26)
trong đó A và B là các haỉng sô cụa nghieơm thuaăn nhât; e là nghieơm rieđng. Các đieău kieơn bieđn :
(0) 0 y = => =B e (1 cos ) ( ) 0 tan sin 2 e l l y l A e l α α α − = => = =
Phương trình đường đàn hoăi trở thành :
tan sin cos 1
2
l
y=e⎛ α αz+ αz− ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ (11.27)
Đôi với lớn nhât tái giữa nhịp, tức
2 l z= là : max 1 1 cos 2 y e l δ α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (11.29) Nêu e = 0 hoaịc P = 0 thì δ=0
Đoă thị quan heơP−δđược cho trong H.11.9. Đoă thị này chư có ý nghĩa khi vaơt lieơu còn đàn hoăi, tức là δ còn nhỏ và P < Pth .
Trang 157 - 177
Mođmen uôn lớn nhât tái giữa nhịp được tính:
( ) max max 1 cos 2 M P e y Pe l P EI = + = (11.30)
Quan heơ Mmax – P cho bởi H.11.10. Khi P nhỏ thì Mmax ≈Pe, nhưng khi P lớn thì Mmax taíng rât nhanh.
Từ các đoă thị này ta thây quan heơ P−δ phi tuyên. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong thực tê, tính coơt mạnh chịu nén leơch tađm caăn thiêt phại xét đaịc đieơm phi tuyên này đeơ đạm bạo an toàn.
Ưùng suât cực đái trong thanh:
max max 2 1 1 cos 2 M c P P ec A I A r l P EI σ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (11.31)
A : dieơn tích tiêt dieơn thanh ; r : bán kính quán tính
Trang 158 - 177
(....) khoạng cách tự trúc trung tađm đên mép xa nhât cụa tiêt dieơn.
Vì ứng suât phú thuoơc phi tuyên vào tại trĩng neđn kieơm tra beăn theo ứng suât cho phép khođng đạm bạo an toàn theo heơ sô n dự kiên. Trong trường hợp này, người ta dùng đieău kieơn an toàn theo tại trĩng như phương trình (11.10)
CÁC VÂN ĐEĂ SINH VIEĐN CAĂN NAĨM VỮNG Ở CHƯƠNG 11 1.
Trang 159 - 177
CHƯƠNG 12 : TẠI TRĨNG ĐOƠNG 12.1. KHÁI NIEƠM
12.1.1. Tại trĩng đoơng
Trong các chương trước, khi khạo sát 1 vaơt theơ chịu tác dúng cụa ngối lực, ta coi ngối lực tác dúng là tĩnh, tức là những tại trĩng được taíng leđn từ từ, eđm dịu gađy ra gia tôc chuyeơn đoơng bé, vì vaơy khi xét cađn baỉng có theơ bỏ qua được ạnh hưởng cụa lực quán tính.
Tuy nhieđn, cũng có những trường hợp mà tại trĩng tác dúng khođng theơ coi là tĩnh vì tại trĩng taíng đoơt ngoơt hoaịc thay đoơi theo thời gian gađy ra gia tôc lớn, ví dú sự va chám giữa các vaơt, vaơt quanh quanh trúc, dao đoơng… Khi này, phại xem tác dúng cụa tại trĩng là đoơng, và phại xét đên lực quán tính khi giại quyêt bài toán.
12.1.2. Phương pháp nghieđn cứu
Khi giại bài toán tại trĩng đoơng , người ta thừa nhaơn các giạ thiêt sau : - Vaơt lieơu đàn hoăi tuyên tính
- Chuyeơn vị và biên dáng cụa heơ là bé
Như vaơy, nguyeđn lý coơng tác dúng văn áp dúng được trong bài toán tại trĩng đoơng. Khi khạo sát cađn baỉng cụa vaơt theơ chịu tác dúng cụa tại trĩng đoơng, người ta thường áp dúng nguyeđn lý d’Alembert. Tuy nhieđn, trong trường hợp vaơt chuyeơn đoơng với vaơn tôc thay đoơi đoơt ngoơt như bài toán va chám thì nguyeđn lí bạo toàn naíng lượng được sử dúng. Đeơ thuaơn tieơn cho vieơc tính heơ chịu tại trĩng đoơng, các cođng thức thiêt laơp cho vaơt chịu tác dúng cuta tại trĩng đoơng thường đưa veă dáng tương tự như bài toán tĩnh nhađn với 1 heơ sô đieău chưnh nhaỉm keơ đên ạnh hưởng cụa tác dúng đoơng, gĩi là heơ sô đoơng.
Trong chương này chư xét các bài toán tương đôi đơn giạn, thường gaịp, có tính chât cơ bạn nhaỉm mở đaău cho vieơc nghieđn cứu tính toán đoơng lực hĩc chuyeđn sađu sau này.
12.2. THANH CHUYEƠN ĐOƠNG VỚI GIA TÔC LÀ HAỈNG SÔ
Moơt thanh tiêt dieơn A có chieău dài L và trĩng lượng rieđng γ, mang 1 vaơt naịng P, được kéo leđn với gia tôc a như H.13
Trang 160 - 177
Tưởng tượng caĩt thanh cách đaău mút 1 đốn x. Xét phaăn dưới như tređn H.12.1.b, lực tác dúng goăm có : trĩng lượng vaơt naịng P.
Trĩng lượng đốn thanh γAx
Lực quán tính tác dúng tređn vaơt là Pa
g
Lực quán tính cụa đốn thanh là Axa
g
γ
Noơi lực đoơng Nđ tái maịt caĩt đang xét.
Theo nguyeđn lí d’Alembert, toơng hình chiêu cụa tât cạ các lực tác dúng leđn thanh theo phương đứng keơ cạ lực quán tính phại baỉng 0, ta được: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
0 d d Pa Axa N Ax P g g Pa Axa N Ax P g g γ γ γ γ − − − − = = + + + => Nd ( Ax P) 1 a g γ ⎛ ⎞ = + ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠
Đái lượng (γAx+P) chính là noơi lực trong thanh ở tráng thái treo khođng chuyeơn đoơng, gĩi là noơi lực tĩnh Nt.
Ta được Nd Nt 1 a
g
⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ (12.1)
Ưùng suât trong thanh :
d t 1 1 d t N N a a A A g g σ = = ⎛⎜ + ⎞⎟=σ ⎛⎜ + ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (12.2) có theơ đaịt Kd 1 a g = + (12.3) σd =σtKd (12.4)
Ưùng suât lớn nhât tái maịt caĩt tređn cùng cụa thanh:
max ,max
d t Kd
σ =σ với : σt =(γAL+P)/A
đieău kieăn beăn trong trường hợp này là : σdmax ≤[ ]σ k
Trang 161 - 177
- Khi chuyeơn đoơng leđn nhanh daăn đeău (gia tôc a cùng chieău chuyeơn đoơng ) và chuyeơn đoơng xuông chaơm daăn đeău (gia tôc a ngược chieău chuyeơn đoơng) heơ sô đoơng Kđ
> 1, noơi lực đoơng lớn hơn noơi lực tĩnh.
- Ngược lái, khi chuyeơn đoơng leđn chaơm daăn đeău và chuyeơn đoơng xuông nhanh daăn đeău thì Kđ < 1, noơi lực đoơng nhỏ hơn noơi lực tĩnh.
12.3. CHUYEƠN ĐOƠNG QUAY VỚI VAƠN TÔC KHOĐNG ĐOƠI
Tham khạo theđm trong tài lieơu tham khạo.
12.4. KHÁI NIEƠM CHUNG VEĂ BAƠC TỰ DO
Khi nghiín cứu về dao động của hệđăn hồi, trước tiín ta cần cĩ khâi niệm về bậc tự do: bậc tự do của một hệ đăn hồi khi dao động lă số thơng số độc lập để xâc định vị trí của hệ.
Ví dụ: khối lượng m đặt trín một dầm. Nếu bỏ qua trọng lượng của dầm thì hệ cĩ một bậc tự
do, vì muốn xâc định vị trí của vật m ta chỉ cần biết tung độ y của khối lượng m, nếu cĩ kểđến trọng lượng bản thđn của dầm thì hệ cĩ vơ số bậc tự do vì cần biết vơ số tung độ y để xâc định mọi điểm trín dầm.
Trục truyền mang hai puli. Nếu bỏ qua trọng lượng của trục thì hệ cĩ hai bậc tự do vì muốn xâc
định vị trí của hệ thì chỉ cần biết hai gĩc xoắn của hai puli.
Khi tính một hệ, ta phải chọn sơđồ tính. Việc chọn sơđồ tính phải dựa văo mức độ gần đúng cho phĩp giữa sơđồ tính vă hệ thực đang xĩt.
Ví dụ: nếu khối lượng m lớn hơn nhiều lần so với khối lượng của dầm thì ta cĩ thể lập sơđồ
tính lă khối lượng m đặt trín dầm đăn hồi cĩ khơng cĩ khối lượng: hệđược coi lă cĩ một bậc tự do. Nếu trọng lượng của khối lượng m khơng lớn so với trọng lượng dầm, ta phải lấy sơđồ tính lă một hệ
cĩ vơ số bậc tự do. Vậy bậc tự do của một hệ xâc định theo sơđồ tính đê chọn, nghĩa lă phụ thuộc văo sự gần đúng mă ta đê chọn khi lập sơđồ tính. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
12.5. DAO ĐOƠNG CỤA HEƠ ĐÀN HOĂI MOƠT BAƠC TỰ DO 12.5.1. Khái nieơm 12.5.1. Khái nieơm
Moơt heơ chuyeơn đoơng qua lái 1 vị trí cađn baỉng nào đó, ví dú quạ laĩc đoăng hoă, gĩi là heơ dao đoơng. Khi heơ chuyeơn từ vị trí cađn baỉng này sang vị trí cađn baỉng kê tiêp sau khi đã qua mĩi vị trí xác định bởi quy luaơt dao đoơng, ta gĩi heơ đã thực hieơn 1 dao đoơng.
Chu kỳ là thời gian heơ thực hieơn 1 dao đoơng, kí hieơu là T tính baỉng (s).
Taăn sô là sô dao đoơng trong 1s, kí hieơu là f, chính là nghịch đạo cụa chu kì
1/ (1/ )
f = T s
Trang 162 - 177
Sô dao đoơng trong 2π giađy gĩi là taăn sô góc , hay còn gĩi là taăn sô vòng, kí hieơu ω, ta thây ω=2 / (1/ )π T s .
Baơc tự do là thođng sô đoơc laơp xác định cụa heơ Đôi với 1 heơ quy chiêu nào đó. Đôi với 1 heơ dao đoơng như tređn H.12.4.a, vị trí cụa heơ xác định bởi đoơ dịch chuyeơn (y) theo thời gian (t), heơ quy chiêu sẽ là (t,y).
Khi tính 1 heơ dao đoơng, ta caăn đưa veă sơ đoă tính. Xác định sơ đoă tính cụa 1 heơ dựa tređn đieău kieơn phại phù hợp với heơ thực trong mức đoơ gaăn đúng cho phép.
Xét daăm cho tređn H.12.4.1, nêu khôi lượng daăm khođng đáng keơ, có theơ xem daăm như 1 lieđn kêt đàn hoăi khođng khôi lượng, vị trí cụa heơ quyêt định do vị trí cụa khôi lượng vaơt naịng, heơ có 1 baơc tự do, vì chư caăn biêt tung đoơ y(t) cụa vaơt naịng là xác định được vị trí cụa heơ tái mĩi thời đieơm (t). Với heơ ở H.12.4.b, baơc tự do là 2, vì caăn phại biêt y1(t), y2(t). Đôi với trúc chịu xoaĩn (H.12.4.c), baơc tự do cũng là 2, vì caăn phại biêt góc xoaĩn
1( ),t 2( )t
ϕ ϕ
Khi keơ đên khôi lượng cụa daăm tređn H.12.4.a, heơ trở thành vođ hán baơc tự do, vì phại biêt vođ sô tung đoơ y(t) tái vođ sô khôi lượng suôt chieău dài daăm. Trong trường hợp này, caăn chĩn sơ đoă tính thích hợp, ví dú nêu khôi lượng daăm là nhỏ so với khôi lượng vaơt naịng, có theơ coi vaơt naịng đaịt tređn 1 lieđn kêt đàn hoăi khođng khôi lượng, heơ có 1 baơc tự do.
Nêu khođng theơ bỏ qua khôi lượng daăm, có theơ đưa veă heơ hữu hán baơc tự do, baỉng cách xem khôi lượng daăm goăm N khôi lượng m, đaịt tređn N đieơm nút cụa thanh đàn hoăi khođng khôi lượng (H.12.6), N càng lớn, đoơ chính xác tính toán càng cao.
Trang 163 - 177
Dao đoơng cưỡng bức là dao đoơng cụa heơ khi chịu 1 tác đoơng biên đoơi theo thời gian, gĩi là lực kích thích, toăn tái trong suôt quá trình heơ dao đoơng như dao đoơng cụa daăm mang 1 mođtơ đieơn khi nó hốt đoơng, khôi lượng leơch tađm cụa rođto gađy ra lực kích thích.
Dao đoơng tự do là dao đoơng do bạn chât tú nhieđn cụa heơ khi chịu 1 tác đoơng tức thời, khođng toăn tái trong quá trình heơ dao đoơng như dao đoơng cụa dađy đàn.
12.5.2. Phương trình vi phađn dao đoơng cưỡng bức cụa heơ 1 baơc tự do
Xét heơ 1 baơc tự do chịu tác dúng cụa 1 lực kích thích thay đoơi theo thời gian P(t) đaịt tái khôi lượng M (H.12.7), tái thời đieơm (t), đoơ võng cụa khôi lượng M là y(t). Giạ thiêt lực cạn mođi trường tỷ leơ baơc nhât với vaơn tôc chuyeơn đoơng, heơ sô tỷ leơ β.
Gĩi δ là chuyeơn vị tái đieơm đaịt khôi lượng M do lực đơn vị đaịt ái đó gađy ra. Chuyeơn vị y(t) là kêt quạ cụa các tác đoơng:
Lực kích thích P(t) gađy ra chuyeơn vị P t( )δ
Lực quán tính −M y t..( ) gađy ra chuyeơn vị −M y t..( )δ. Lực cạn mođi trường −βy t.( ) gađy ra chuyeơn vị −βy t.( )δ
ta được y t( )=P t( )δ+ −⎡⎣ My t( )δ⎤⎦+ −[ βy t( )δ] (a) Mδy t..( )+βδy t.( )+y t( )=P t( ).δ (b) Cha 2 vê cho Mδ và đaịt
2 1 2 ; M M β α ω δ = = (c) phương trình (b) trở thành: .. . 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ). . y t + αy t +ω y t =P t δ ω (12.8) (12.8) là phương trình vi phađn dao đoơng cưỡng bức heơ 1 baơc tự do.
Trang 164 - 177
12.5.3. Dao đoơng tự do
Khi khođng có lực kích thích và lực cạn baỉng 0, heơ dao đoơng tự do, phương trình (12.8) trở thành phương trình vi phađn cụa dao đoơng tự do:
.. 2
( ) ( ) 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
y t +ω y t = (12.9)
Tích phađn phương trình (12.9), ta được nghieơm toơng quat có dáng:
1 2
( ) cos sin
y t =C ωt+C ωt (d)
Sử dúng giạn đoă coơng các vectơ quay (H.12.8), có theơ bieơu dieên hàm (a) dưới dáng
( )
( ) sin
y t =A ω ϕt+ (e)
Hàm (e) là 1 hàm sin, chứng tỏ dao đoơng tự do là 1 dao đoơng tuaăn hoàn, đieău hòa. Bieđn đoơ dao đoơng là 2 2
1 2
A= C +C , taăn sô góc ω, đoơ leơch pha ϕ.ω còn gĩi là taăn sô rieđng được tính theo cođng thức: 1
M
ω
δ
= (12.10)
Gĩi P là trĩng lượng cụa khôi lượng M, ta có M = P/g, thay vào (12.10), ta được
g
P
ω δ =
Tích sô ( )Pδ chính là giá trị chuyeơn vị tái đieơm đaịt khôi lượng do trĩng lượng P cụa khôi lượng dao đoơng M tác dúng tĩnh gađy ra, gĩi là Δt.
Cođng thức tính taăn sô cụa dao đoơng tự do trở thành:
g t
ω=
Δ (12.11)
Chu kì cụa dao đoơng tự do : 2 2
/ T g t π π ω = = Δ (12.12) 12.5.4. Dao đoơng tự do có cạn
Trong (12.8), cho P(t) = 0, ta được phương trình vi phađn cụa dao đoơng tự do có cạn, heơ 1 baơc tự do:
.. .
2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
( ) 2 ( ) ( ) 0
y t + αy t +ω y t = (12.13) Nghieơm cụa (12.13) tùy thuoơc vào nghieơm cụa phương trình đaịc trưng
Trang 165 - 177 2 2 2 0 K + αK+ω = Khi 2 2 0 α ω
Δ = − ≥ , phương trình đaịc trưng có nghieơm thực:
2 2
1,2
K = − ±α α −ω
Nghieơm toơng quá cụa (12.13) có dáng:
1 2
1 2
( ) K t K t
y t =C e +C e
Ta thây hàm y(t) khođng có tính tuaăn hoàn, do đó heơ khođng có dao đoơng, ta khođng xét trường hợp này. Khi 2 2 0 α ω Δ = − < , đaịt 2 2 2 1
ω =ω −α , phương trình đaịc trưng có nghieơm ạo
1,2 1
K = − ±α ωi
Nghieơm toơng quat cụa (12.13) có dáng ( ) 1 tsin( 1 1)
y t =A e−α ωt+ϕ
Hàm y(t) là 1 hàm sin có tính tuaăn hoàn, theơ hieơn 1 dao đoơng với taăn sô góc ω1, đoơ leơch pha ϕ1, bieđn đoơ dao đoơng là 1 hàm mũ ađm 1 t
A e−α, taĩt rât nhanh theo thời gia. Taăn sô dao đoơng 2 2
1
ω = ω −α , nhỏ hơn taăn sô dao đoơng tự do ω (H.12.9)
12.5.5. Dao đoơng cưỡng bức có cạn
Từ phương trình vi phađn cụa dao đoơng cưỡng bức có cạn heơ 1 baơc tự do (12.8)
.. . 2 2
( ) 2 ( ) ( ) ( ). .
y t + αy t +ω y t =P t δ ω (f) Với các bài toán kĩ thuaơt thođng thường, lực kích thích P(t) là 1 hàm dáng sin, do đó có theơ lây P t( )=Po.sinrt, khi đó phương trình vi phađn (f) có dáng
.. .
2 2
( ) 2 ( ) ( ) . osin (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
y t + αy t +ω y t =δ ω P rt (12.14)
Trang 166 - 177
Nghieơm toơng quát cụa (12.14) có dáng y t( )=y t1( )+y t2( )
trong đó
y1(t) – là 1 nghieơm toơng quát cụa (12.14) khođng vê phại, chính là nghieơm cụa dao đoơng tự do có cạn (e)
y t1( )=A e1 −αtsin(ω1t+ϕ1) (g)
y2(t) – là 1 nghieơm rieđng cụa (12.14) có vê phại, vì vê phại là 1 hàm sin, do đó có theơ lây y2(t) dáng sin:
2( ) 1cos 2sin
y t =C rt+C rt
với C1 và C2 – là các haỉng sô tích phađn, xác định baỉng cách thay y2(t) và các đáo hàm cụa nó vào (13,14), roăi đoăng nhât 2 vê. Sử dúng giạn đoă vectơ quay bieơu dieên (h) dưới dáng:
( )
2( ) sin
y t =V rt+θ (i)
Như vaơy, phương trình dao đoơng cụa heơ là
( ) ( )
1 1 1
( ) tsin sin
y t =A e−α ωt+ϕ +V rt+θ (j) Phương trình (j) chính là Đôi với y(t) cụa daăm.
Sô háng thứ nhât cụa vê phại trong (j) là 1 hàm có bieđn đoơ taĩt rât nhanh theo quy luaơt hàm mũ ađm, sau 1 thời gian ngaĩn, heơ dao đoơng theo quy luaơt
y t( )=Vsin(rt+θ) (12.15) Đó là 1 hàm sin bieơu dieên 1 dao đoơng tuaăn hoàn, đieău hòa, taăn sô góc cụa dao đoơng baỉng taăn sô lực kích thích r, đoơ leơch pha θ, bieđn đoơ dao đoơng V (H.12.10).
Bieđn đoơ dao đoơng chính là Đôi với cực đái cụa daăm ymax, ta có:
2 2
max 1 2
V =y = C +C (k)
Trang 167 - 177
Tính sô Poδ chính là giá trị cụa chuyeơn vị tái đieơm đaịt khôi lượng M do lực có giá trị P0 (bieđn đoơ lực kích thích) tác dúng tĩnh tái đó gađy ra, đaịt là yt, ta có: