Giạ sử ta đã biêt các mođmen quán tính cụa A trong heơ trúc tĩa đoơ Oxy. Ta xoay heơ trúc ban đaău Oxy quanh gơc tĩa đoơ O 1 gĩc α ngược chieău kim đoăng hoă va thu được heơ trúc mới kí hieơu là Ouv như tređn H.5.12. Khi heơ trúc quay, các mođmen quán tính cụa A đơi với heơ trúc mới cũng thay đoơi theo.
Trang 64 - 177
Tĩa đoơ cụa đieơm trong heơ trúc mới và heơ tĩa đoơ cũ được lieđn heơ như sau:
sin cos cos sin α α α α = + = − u y x v y x (5.20)
Khi đĩ, mođmen quán tính đơi với trúc u sẽ là :
( )2
2
2 2 2 2
cos sin
cos sin 2sin cos
α α α α α α = = − = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ u A A A A A I v dA y x dA y dA x dA xydA
hoaịc bieơu dieên theoc ác mođmen quán tính đơi với heơ trúc x, y như sau:
2 2
cos α sin α 2 sinαcosα
= + −
u x y xy
I I I I (a)
Ta sử dúng các cođng thức lượng giác:
2 1 2 1
cos (1 cos 2 ); sin (1 cos 2 ); 2sin cos sin 2
2 2
α= + α α= − α α α= α
Khi đĩ bieơu thức (a) trở thành:
cos 2 sin 2 2 2 α α + − = x y + x y − u xy I I I I I I (5.21)
Tương tự, ta thu được mođmen quán tính li tađm đơi với heơ trúc uv: Sử dúng các heơ thức lượng giác, bieơu thức (b) trở thành:
sin 2 cos 2 2 α α − = x y − uv xy I I I I (5.22)
Laịp lái quá trình tính tương tự như tính mođmen Iu, ta thu được mođmen quán tính Iv
(hoaịc baỉng cách thê trực tiêp α baỉng 0 90
Trang 65 - 177 cos 2 sin 2 2 2 α α + − = x y − x y + v xy I I I I I I (5.23)
Cã cođng thức (5.21) – (5.23) gĩi là cođng thức xoay trúc bieơu dieên sự biên thieđn cụa các mođmen quán tính Iu, Iv và Iuv phú thuoơc vào gĩc cực α khi xoay trúc tĩa đoơ. Bởi vaơy, các phương trình này cịn được gĩi là phương trình chuyeơn đoơi mođmen quán tính.
Lây toơng (5.21) và (5.23), ta nhaơn lái được bât biên cụa mođmen quán tính đã biêt ở múc 5.3: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ = + =
u v x y
I I I I const (5.24)
Momen quân tính của một số mặt cắt ngang
Trang 66 - 177
CÁC VÂN ĐEĂ SINH VIEĐN CAĂN NAĨM VỮNG Ở CHƯƠNG 5
1. Cách xác định momen tĩnh, trĩng tađm, momen quán tính và bán kính quán tính cụa 1 tiêt dieơn.
2. Cođng thức chuyeơn trúc song song.
3. Aùp dúng thành tháo và nhaơn xét các trường hợp cĩ tiêt dieơn đơi xứng.
4. Thuoơc lịng các cođng thức xác định momen quán tính cụa tiêt dieơn chữ nhaơt, trịn, vành khaín và tam giác.
Trang 67 - 177
CHƯƠNG 6: UƠN NGANG PHẲNG THANH THẲNG 6.1. KHÁI NIEƠM CHUNG
Moơt thanh laíng trú cĩ trúc bị uơn cong khi chịu tác dúng cụa tại trĩng naỉm trong maịt phẳng chứa trúc thanh và cĩ phương vuođng gĩc với trúc thanh. Moơt thanh chịu uơn là thanh dưới tác dúng cụa ngối lực thì trúc cụa nĩ bị uơn cong. Những thanh chịu uơn được gĩi là daăm ( đà)
Như thê daăm khác với thanh chịu kéo (nén) đúng tađm và thanh chịu xoaĩn thuaăn túy khi chịu các ngău lực cĩ vectơ naỉm dĩc theo trúc thanh. Cịn ngối lực gađy ra uơn cĩ theơ là lực taơp trung hay phađn bơ cĩ đường tác dúng vuođng gĩc với trúc daăm hoaịc do những ngău lực naỉm trong maịt phẳng chứa trúc daăm.
Hình 7.1 dieên tạ heơ tại trĩng làm cho daăm chịu uơn, các tại trĩng đeău naỉm trong 1 maịt phẳng chứa trúc daăm và ta gĩi đĩ là maịt phẳng tại trĩng. Gia tuyên cụa maịt phẳng tại trĩng với maịt caĩt ngang được gĩi là đường tại trĩng.
Ngối lực gađy uơn :
- Lực taơp trung cĩ đường tác dúng vu6ng gĩc trúc daăm : P { Lực: T ,Kg } - Tại trĩng phađn bơ cĩ đường tác dúng vu6ng gĩc trúc daăm : q { Lực/chieău dài }
T/m , Kg/m , KN/m
- Momen taơp trung naỉm trong maịt phẳng chứa trúc daăm
Trang 68 - 177
Moơt sơ định nghĩa:
• Nêu ngối lực cùng đaịt trong moơt maịt phẳng, maịt phạng này chứa trúc daăm : Maịt phẳng đĩ gĩi là maịt phẳng tại trĩng.
• Giao tuyên cụa maịt phẳng tại trĩng và maịt caĩt ngang cụa daăm gĩi là đường tại trĩng.
• Maịt phẳng tại trĩng trùng maịt phẳng quán tính chính trung tađm (QTCTT) (yoz,xoz) ta gĩi thanh chịu uơn đơn hay uơn phẳng
• Nêu gĩi maịt phẳng quán tính chính trung tađm (QTCTT) là maịt phẳng táo bởi moơt trúc quán tính chính trung tađm cụa maịt caĩt ngang và trúc cụa daăm thì maịt đơi xứng là maịt phẳng tại trĩngvà đoăng thời là maịt quán tính chính trung tađm (QTCTT).
• Trúc cụa daăm sau khi bị uơn là moơt dường cong phẳng naỉm trong maịt phẳng đơi xứng. Trúc đơi xứng cụa maịt caĩt là đường tại trĩng.
Trong chương này chúng ta chư khạo sát những trường hợp maịt caĩt ngang cĩ ít nhât 1 trúc đơi xứng. Maịt phẳng đơi xứng này cũng chính là maịt phẳng quán tính chính trung tađm, và ta giạ thiêt raỉng tại trĩng naỉm trong maịt phẳng đơi xứng như tređn H.7.2. Khi đĩ trúc daăm sau khi bị biên dáng văn naỉm trong maịt phẳng này neđn sự uơn cịn được gĩi là uơn phẳng.
Trang 69 - 177
Các phạn lực cụa các gơi tựa đeơ cađn baỉng với các ngối lực tác dúng leđn daăm, dĩ nhieđn cũng phại naỉm trong cùng maịt phẳng tại trĩng. Chúng ta đã biêt cách xác định chúng trong chương 2. Ta chư khạo sát ở đađy những trường hợp daăm đơn giạn nhât. Các daăm này cịn được xem là kêt câu phẳng bởi vì tại trĩng chư naỉm trong maịt phẳng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Daăm cĩ gơi tựa khớp cơ định 1 đaău và gơi tựa di đoơng 1 đaău, gĩi là daăm đơn giạn. Daăm bị chèn kép 1 đaău cịn đaău kia tự do, được gĩi là daăm chèn kép ( hay dađm
cođng-xon ).
Daăm cĩ1 đốn mút thừa BC với đaău tự do và tựa đơn tái A và B. Người ta cịn gĩi là
daăm cĩ 1 đaău mút thừa.
Ngồi ra, cịn cĩ nhieău cách saĩp đaịt các gơi tựa khác cho daăm tùy theo trường hợp tác dúng cụa tại trĩng. Tuy hieđn, những ví dú đơn giạn ở đađy cũng đụ đeơ minh hĩa những khái nieơm cơ bạn.
Dưới tác dúng cụa các tại trĩng, tređn các maịt caĩt ngang cụa daăm xuât hieơn các noơi lực mà hợp lực cụa chúng là lực caĩt hoaịc mođmen uơn. Ta phađn bieơt 2 lối uơn phẳng :
uơn thuaăn túy phẳng và uơn ngang phẳng.
Uơn thuaăn túy phẳng dùng đeơ chư sự uơn cụa các daăm với mođmen uơn haỉng sơ, nghĩa là lực caĩt baỉng 0 ( bởi vì Q = dM/dz)
Uơn ngang phẳngđược đeă caơp đên trong trường hợp với sự hieơn dieơn cụa lực caĩt, nghĩa là mođmen uơn thay đoơi dĩc theo trúc daăm.
Trong phaăn kê tiêp chúng ta sẽ xác định các biên dáng do uơn và ứng suât pháp trong trường hợp uơn thuaăn túy và ứng suât tiêp trong trường hợp uơn ngang.
6.2. UƠN THUAĂN TÚY
Ta gĩi thanh chịu uơn thuaăn túy phẳng khi tređn maịt caĩt ngang cụa thanh chư cĩ moơt thành phaăn noơi lực là momen uơn Mx naỉm trong maịt phẳng quán tính chính trung tađm
Trang 70 - 177
Theo hình vẽ tređn đốn giữa là chịu uơn thuaăn túy vì cĩ Qy = 0 và Mx = Pa
Các cođng thức dùng đeơ tính ứng suât pháp trong trường hợp uơn phẳng thường được thiêt laơp từ vieơc nghieđn cứu bài tốn uơn thuaăn túy phẳng. Trở lái bài tốn uơn thuaăn túy phẳng như trong trường hợp H.6.5a chẳng hán. tái 1 maịt caĩt m-m bât kì ở cách gơi tựa A 1 đốn x, chư toăn tái 1 thành phaăn noơi lực khác 0 là mođmen uơn Mx. Vân đeă cụa chúng ta là xác định thành phaăn ứng suât tái 1 đieơm bât kì tređn maịt caĩt ngang và trị sơ lớn nhât cụa ứng suât này.
Mođ tạ thí nghieơm.
Ta quan sát biên dáng cụa daăm cĩ maịt caĩt ngang hình chữ nhaơt
Trước khi cho daăm chịu lực lực, ta vách leđn maịt ngồi 1 thanh thẳng chịu uơn như trong H.6.6a, những đường song song với trúc thanh tượng trưng cho các thớ dĩc và những đường vuođng gĩc với trúc thanh tượng trưng cho các maịt caĩt ngang, các đường này táo thành các lưới ođ vuođng (H.6.6a).
Khi cĩ momen tác dúng vào 2 đaău daăm (H.6.6b) ta nhaơn thây các đường thẳng song song với trúc thanh biên thành các đường cong song song với trúc thanh; những đương vuođng gĩc với trúc thanh thì sau khi biên dáng văn cịn vuođng gĩc với trúc thanh, nghĩa là các gĩc vuođng luođn được bạo tồn trong quá trình biên dáng.
Câc giả thuyết :
Với những nhận xĩt trín ta đề ra hai giả thuyết sau để lăm cơ sở tính tơn cho một dầm chịu uốn thuần túy phẳng :
•Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng : Trước khi biến dạng, mặt cắt ngang của dầm lă phẳng vă vuơng gĩc với trục dầm thì sau khi biến dạng vẫn phẳng vă vuơng gĩc với trục dầm.
•Giả thuyết về câc thớ dọc : Trong quâ trình biến dạng câc thớ dọc khơng ĩp lín nhau hoặc đẩy xa nhau.
• Ngoăi ra ta vẫn thừa nhận giả thuyết vật liệu lăm việc trong giai đoạn đăn hồi tuđn theo định luật Húc.
Nhận xĩt :
Quan sât biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng ta nhận thấy :
Câc thớ dọc ở phía trín trục dầm bị co lại .
Câc thớở phía dưới trục dầm bị giên ra.
Như vậy từ thớ bị co sang thớ bị giên chắc chắn sẽ cĩ thớ khơng bị co cũng khơng bị giên, tức lă thớ khơng bị biến dạng. Thớđĩ được gọi lă thớ trung hịa.
Trang 71 - 177 Câc thớ trung hịa tạo thănh một lớp gọi lă lớp trung hịa. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giao tuyến của lớp trung hịa vă mặt cắt ngang gọi lă đường trung hịa.
Đường trung hịa chia mặt cắt ngang lăm hai miền : một miền gồm câc thớ bị co vă một miền gồm câc thớ bị giên.
Đường trung hịa lă một đường cong, nhưng cĩ thể xem nĩ lă đường thẳng khi coi mặt cắt sau biến dạng khơng thay đổi hình dâng ban đầu. Lúc năy cĩ thể coi biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng chỉ lă sự quay của mặt cắt ngang xung quanh đường trung hịa
Laơp luaơn đưa ra các cođng thức
Sau biên dáng các maịt caĩt ngang 1-1 và 2-2 vơn cách nhau 1 đốn vi phađn dz sẽ caĩt nhau tái tađm cong O’ (H.6.6b) và hợp thành 1 gĩc dθ. Gĩi ρ là bán kính cong cụa thớ trung hịa, tức khoạng cách từ O’ đên thớ trung hịa. Đoơ dãn dài tương đơi cụa 1 thở ab cách thớ trung hịa 1 khoạng cách y cho bởi:
1 1 (ρ ) θ ρ θ ε κ ρ θ ρ − + − = = = = z a b ab y d d y y ab d
trong đĩ : κ là doơ cong
Heơ thức này chứng tỏ biên dáng dĩc trúc daăm thì tư leơ với đoơ cong và biên thieđn tuyên tính với khoạng cách y từ thớ trung hịa. Chú ý raỉng bieơu thức (6.1) được suy ra hồn tồn từ đieău kieơn biên dáng hình hĩc cụa daăm và đoơc laơp với tính chât cụa vaơt lieơu. Vì vaơy, heơ thức tređn khođng tùy thuoơc vào dáng cụa bieơu đoă ứng suât – biên dáng cụa vaơt lieơu.
Moêi thớ dĩc cụa daăm chư chịu kéo hoaịc nén (nghĩa là các thớ dĩc ở tráng thái ứng suât đơn). Do vaơy, bieơu đoă quan heơ ứng suât – biên dáng cụa vaơt lieơu sẽ cho ta heơ thức giữa σz và εz. Nêu vaơt lieơu là đàn hoăi tuyên tính, định luaơt Hooke tương ứng với tráng thái ứng suât đơn cho ta:
σz =Eεz =E yκ (6.2)
Trang 72 - 177
Do vaơy, ứng suât pháp tác dúng tređn maịt caĩt ngang biên thieđn baơc nhât với khoạng cách y từ thớ trung hịa. Bađy giờ chúng ta hãy xét taơp hợp cụa các ứng suât pháp tređn tồn maịt caĩt ngang.
Trong trường hợp toơng quát, hợp lực này bao goăm 1 lực naỉm ngang theo phương z và 1 mođmen quanh trúc x. Tuy nhieđn, bởi vì tređn maịt caĩt ngang khođng toăn tái lực dĩc neđn chư cịn mođmen uơn Mx mà thođi.
Từ đĩ, chúng ta cĩ 2 phương trình tĩnh hĩc:
Phương trình thứ nhât, dieên tạ hợp lực theo phương z baỉng 0.
Phương trình thứ nhât, dieên tạ hợp lực các mođmen quanh trúc x baỉng mođmen Mx. Đeơ cĩ theơ xác định các hợp lực này, ta hãy xét dieơn tích vi phađn dA tređn maịt caĩt ngang ở khoạng cách y từ trúc trung hịa (H.6.8). Lực tác dúng tređn phaăn tử này vuođng gĩc với maịt caĩt ngang và cĩ trị sơ là σzdA. Bởi vì khođng cĩ noơi lực theo phương z neđn tích phađn cụa σzdA tređn tồn dieơn tích maịt caĩt ngang phại trieơt tieđu, do đĩ:
0
σ = κ =
∫ z ∫
A A
dA E ydA (6.3)
Bởi vì đoơ cong σσ và mođđun đàn hoăi E là haỉng sơ neđn ta cĩ theơ đem ra ngồi dâu tích phađn và suy ra : ∫ =0
A
ydA (6.4)
đơi với daăm chịu uơn thuaăn túy.
Heơ thức này dieên tạ raỉng mođmen tĩnh cụa dieơn tích maịt caĩt ngang đơi với trúc trung hịa x đị qua trĩng tađm maịt caĩt ngang daăm khi vaơt lieơu tuađn theo định luaơt Hooke. Tính chât này cho phép ta xác định trúc trung hịa cụa bât kì maịt caĩt ngang nào. Dĩ nhieđn ta chư khạo sát trường hợp y là trúc đơi xứng. Theo heơ quạ cụa chương 6, heơ trúc (x,y) chính là heơ trúc quán tính chính trung tađm.
Trang 73 - 177
Chúng ta hãy khạo sát sau đađy hợp mođmen cụa các ứng lực gađy bởi các ứng suât
σz tređn tồn maịt caĩt ngang. Đĩ chính là taơp hợp cụa các mođmen vi phađn :
σ = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
x z
dM ydA (6.5)
Do vaơy, tích phađn cụa tât cạ các mođmen vi phađn tređn tồn tiêt dieơn phại cađn baỉng với mođmen Mx , nghĩa là :
2 σ κ =∫ = ∫ x z A A M ydA E y dA (6.6)
hay cĩ theơ viêt dưới dáng khác đơn giạn hơn:
κ = x x M EI (6.7) trong đĩ : x =∫ 2 A I y dA (6.8)
là mođmen quán tính cụa maịt caĩt ngang đơi với trúc trung hịa x. Bieơu thức (6.7) cĩ theơ được viêt lái như sau:
1 κ ρ = = x x M EI (6.9)
Heơ thức này chứng tỏ đoơ cong cụa trúc thanh tư leơ với mođmen uơn Mx, và tư leơ nghịch với đái lượng EIx, gĩi là đoơ cứng uơn cụa daăm.
Thay (6.9) vào (6.1) ta tìm được bieơu thức tính ứng suât pháp tái 1 đieơm tređn maịt caĩt ngang như sau:
σ = x z x M y I (6.10)
Bieơu thức này chứng tỏ ứng suât pháp tư leơ thuaơn với mođmen uơn Mx, và tư leơ nghịch với mođmen quán tính Ix cụa maịt caĩt ngang. Ngồi ra, ứng suât cịn biên thieđn baơc 1 theo khoạng cách y từ trúc trung hịa. Trong (6.10), mođmen uơn Mx dương khi cĩ khuynh hướng là caíng thớ y dương. Ta cĩ theơ nhaơn thây raỉng những đieơm càng xa trúc trung hịa cĩ trị sơ ứng suât càng lớn và những đieơm cùng cĩ khoạng cách tới thớ trung hịa sẽ cĩ cùng trị sơ ứng suât pháp.
Nêu mođmen uơn dương, daăm bị uơn cong với maịt loăi hướng phía dưới, các thớ tređn bj nén (y<0), trong khi các thớ beđn chịu kéo. Hình ạnh xạy ra ngược lái neđu mođmen uơn ađm.
Trang 74 - 177
Do vaơy trong thực hành, ta cĩ theơ sử dúng cođng thức kĩ thuaơt sau đeơ tính ứng suât, trong đĩ ta khođng caăn đeơ ý đên dâu cụa mođmen uơn Mx cũng như cụa y, mà chư caăn xét xem mođmen uơn đã gađy ra kéo hoaịc nén tái đieơm đang xét.
σ = ± x z x M y I (6.11)
ta sẽ lây : dâu (+) nêu Mx gađy kéo tái đieơm caăn tính ứng suât dâu (-) nêu gađy nén.
Ưùng suât pháp khi kéo và khi nén lớn nhât ở tređn daăm xạy ra tái những đieơm ở xa đường trung hịa nhât. Gĩi σσ laăn lượt là khoạng cách thớ chịu kéo và thớ chịu nén ở xa đường trung hịa nhât. Khi đĩ ứng suât chịu kéo lớn nhât, σσ và ứng suât chịu nén lớn nhât , σσ sẽ tính bởi các cođng thức sau:
max max σ = x k = x k x x M M y I W (6.12a) min max σ = x n = x n x x M M y I W (6.12b) với max max ; = = k x n x