8.2.1. Thí nghieơm và nhaơn xét
Lây 1 thanh tiêt dieơn thẳng trịn, tređn maịt ngồi cĩ vách những đường song song và những đường trịn thẳng gĩc với trúc tao thành lưới ođ vuođng. Tác dúng leđn 2 đaău thanh hai ngău lực xoaĩn ngược chieău, ta thây trúc thanh văn thẳng, chieău dài thanh khođng đoơi, những đường trịn thẳng gĩc với trúc văn phẳng và thẳng gĩc với trúc, những đường song song với trúc thành những đướng xoaĩn ơc, lưới ođ vuođng thành lưới bình hành.
Từ các nhaơn xét tređn, cĩ theơ đưa ra các giạ thiêt làm neăn tạng cho vieơc thiêt laơp cođng thức tính tốn như sau:
Trang 107 - 177
8.2.2. Các giạ thiêt
a./ Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng
Trước vă sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang vẫn giữ phẳng vă vuơng gĩc với trục thanh (tức lă (z = 0)
b./ Giả thuyết về bân kính của thanh
Trước vă sau khi thanh bị biến dạng bân kính của của mặt cắt ngang vẫn thẳng vă cĩ độ dăi khơng đổi (tức ( cĩ phương vuơng gĩc R)
c./ Giả thuyết về chiều dăi của thanh
Trước vă sau khi thanh bị biến dạng, chiều dăi của thanh cũng như khoảng câch giữa hai mặt cắt ngang bất kỳ lă khơng đổi ((z = 0 ; utt = 0)
d./ Giả thuyết về câc thớ dọc
Trong quâ trình thanh bị biến dạng, câc thớ dọc khơng ĩp lín nhau vă cũng khơng tâch xa nhau ((x = (y = 0 )
8.2.3. Cođng thức ứng suât tiêp
Cĩ theơ nhaơn thây theo các giạ thiêt tređn đađy, biên dáng cụa thanh chịu xoaĩn thuaăn túy chư là sự xoay tương đơi giữa các maịt caĩt ngang quanh trúc.
Đeơ xét biên dáng xoaĩn cụa 1 phađn tơ tái 1 đieơm bât kì bán kính ρtrong thanh, ta tách phađn tơ baỉng ba caịp maịt caĩt như sau:
- Hai maịt phẳng caĩt (1-1) và (2-2) thẳng gĩc với trúc cách nhau đốn dz. - Hai maịt phẳng caĩt chứa trúc hợp với nhau moơt gĩc dα
- Hai maịt caĩt trú đoăng trúc z ( trúc thanh) bán kính ρ và ρ+dρ.
Theo các giạ thiêt, trong quá trình biên dáng, so với các đieơm E, F, G, H thuoơc maịt caĩt (1-1); các đieơm A, B, C, D cụa phađn tơ tređn maịt caĩt (2-2) dịch chuyeơn đên A’, B’, C’,
Trang 108 - 177
D’ phại naỉm tređn cung trịn bán kính ρ và ρ+dρ, đoăng thời OA’B’ và OC’D’ phại thẳng hàng.
Gĩi dϕ là gĩc giữa hai đường thẳng OAB và OA’B’, đĩ là gĩc xoay cụa maịt caĩt (2-2) so với (1-1) quanh trúc z, gĩi là gĩc xoaĩn tương đơi giữa hai tiêt dieơn lađn caơn cách nahu dz.
Đơi với phađn tơ đang xét, gĩc A’EA bieơu dieên sự thay đoơi gĩc vuođng cụa maịt beđn phađn tơ gĩi là biên dáng trượt ( gĩc trượt) γ cụa phađn tơ.
Ta cĩ: tan AA' d
EA dz
ϕ
γ γ≈ ≈ =ρ
Theo giạ thiêt b), vì khođng cĩ biên dáng dài theo phương dĩc trúc, phương bán kính và phương vuođng gĩc với bán kính neđn khođng cĩ ứng suât pháp tác dúng leđn các maịt cụa phađn tơ. Theo giạ thiêt a) các gĩc vuođng cụa maịt CDHG và mađt BAEF khođng thay đoơi neđn khođng cĩ ứng suât tiêp hướng tađm tređn maịt A, B, C, D. do giạ thiêt b), mĩi bán kính văn thẳng neđn khođng cĩ ứng suât tiêp hướng tađm tređn maịt A, B, E, F.
Như vaơy, tređn maịt caĩt ngang cụa thanh chịu xoaĩn thuaăn túy chư toăn tái ứng suât tiêp theo phương vuođng gĩc bán kính, gĩi là τρ và phađn tơ đang xét ở tráng thái trượt thuaăn túy.
Aùp dúng định luaơt Hooke veă trượt cho phađn tơ này, ta cĩ:
G ρ τ = γ Từ đĩ ta cĩ: G d dz ρ ϕ τ = ρ
Gĩi dA là moơt dieơn tích vođ cùng bé bao quanh đieơm đang xét, thì τρdA là lực tiêp tuyên tác dúng tređn dieơn tích đĩ và τρdAρ là mođmen lực cụa lực τρdA đơi với tađm O. toơng các momen này phại baỉng Mz, cho neđn ta viêt:
z A M =∫τρdAρ và z A d M G dA dz ϕ ρ ρ =∫ Vì Gd dz ϕ
là haỉng sơ đơi với mĩi đieơm thuoơc maịt caĩt A, neđn ta cĩ theơ đưa ra ngồi dâu tích phađn, khi đĩ tích phađn 2
A dA
ρ
∫ chính là momen quán tính cực Ip cụa maịt caĩt ngang đơi với tađm O.
z p A d d M G dA G I dz dz ϕ ϕ ρ ρ =∫ =
Trang 109 - 177 Từ đĩ ta cĩ: z p M d dz GI ϕ =
. Cĩ theơ thây raỉng d
dz
ϕ
chính là gĩc xoaĩn tređn 1 đơn vị
chieău dài, gĩi là gĩc xoaĩn tỷ đơi (rad/m). đaịt d
dz ϕ θ= , ta cĩ: z p M GI θ = và z p M I ρ τ = ρ
Ưùng suât tiêp thay đoơi theo qui luaơt baơc nhât, baỉng khođng tái tađm O và cực đái tái những đieơm tređn chu vi.
Bieơu đoă ứng suât tiêp tái mĩi đieơm tređn maịt caĩt ngang, ứng suât tiêp đơi ứng tređn các maịt caĩt chứa trúc theơ hieơn tređn hình vẽ.
Thay ρ=R, ta cĩ max z p M R I τ = Đaịt Ip W R
ρ = : momen chơng xoaĩn cụa maịt caĩt ngang. + Với tiêt dieơn trịn đaịc và đường kính D: 3
0.2 p I W D R ρ = ≈
+ Với tiêt dieơn trịn roêng và đường kính D, d: 3 4
0.2 (1 ) p I W D R ρ = ≈ −η
suy ra: max z p M W
τ =
8.2.4. Cođng thức tính biên dáng khi xoaĩn
Ta cĩ: z
p M
d dz
GI
ϕ= , là gĩc xoaĩn tương đơi giữa hai maịt caĩt cách nhau dz, do đĩ gĩc xoaĩn tương đơi giữa hai maịt caĩt cách moơt đốn baỉng chieău dài L cụa thanh:
0 L z p M dz GI ϕ=∫ Trang 110 - 177
Khi thanh goăm nhieău đốn, moêi đốn cĩ z p M
GI là haỉng sơ, thì toơng quát:
( z ) i i p M GI ϕ=∑ .
Gĩc xoaĩn ϕ được qui ước dương theo chieău dương cụa momen noơi lực và ngược lái.
8.2.5. Đieău kieơn beăn – đieău kieơn cứng
Đeơ thanh chịu xoaĩn khođng bị phá hối do beăn phại đạm bạo đieău kieơn beăn: 0
max [ ]
n
τ
τ ≤ τ = .
Đơi với thanh chịu xoaĩn, ngồi đieău kieơn beăn cịn phại đạm bạo đieău kieơn cứng như sau: θmax≤[ ]θ .
Cĩ theơ tính tốn thanh chịu xoaĩn theo ba bài tốn cơ bạn như sau: - kieơm tra beăn, cứng (bài tốn kieơm tra)
- xác định tại tĩng cho phép.
- xác định đường kính (bài tốn thiêt kê)
8.3. XOAĨN THANH THẲNG TIÊT DIEƠN CHỮ NHAƠT
Thí ngheơm xoaĩn thanh tiêt dieơn chữ nhaơt cho thây những đường song song và thẳng với trúc khođng cịn song song và thẳng gĩc với trúc, tiêt dieơn bị veđnh, giạ thiêt maịt caĩt phẳng khođng theơ áp dúng được. Do đĩ khođng theơ dựa tređn các giạ thiêt mà đơn giạn hĩa bài tốn được.
Nghieđn cứu xoaĩn thanh tiêt dieơn chữ nhaơt baỉng lý thuyêt đàn hoăi, người ta thu được các kêt quạ như sau:
+ Tređn maịt caĩt ngang chư cĩ ứng suât tiêp, tái tađm và các gĩc, ứng suât tiêp baỉng khođng. Tređn hai trúc đơi xứng cụa tiêt dieơn, ứng suât thay đoơi theo đường cong, taíng daăn từ tađm và đát
Trang 111 - 177
giá trị cực đái tái trung đieơm các cánh. Tái trung đieơm cánh dài, ứng suât tiêp đát giá trị lớn nhât max
τ ; tái trung đieơm cánh ngaĩn, ứng suât nhỏ hơn τmax là τ1.
+ Phađn bơ ứng suât tiêp tái các đieơm tređn các trúc đơi xứng, các cánh tiêt dieơn và các đường chéo được bieơu dieơn ở hình dưới
a. Ưùng suât tiêp: max Mz2; 1 max
hb
τ τ γτ
α
= =
b. Gĩc xoaĩn tương đơi: Mz3 hb
θ β =
Trong đĩ: α β γ, , : các heơ sơ phú thuoơc tỷ sơ (cánh dài/cánh ngaĩn) được cho trong bạng tra.
8.4. TÍNH LỊ XO XOAĨN HÌNH TRÚ CĨ BƯỚC NGAĨN
Lị xo lă một chi tiết được sử dụng rất rộng rêi trong kỹ thuật, ví dụ: trong câc bộ phận giảm chấn, câc thiết bị bảo hiểm...
Tham khạo theđm trong các tài lieơu tham khạo.
8.5. BÀI TĨAN XOAĨN SIEĐU TĨNH
Khi tính về xoắn, cũng như khi tính về kĩo nĩn, ta cĩ thể gặp những băi tơn siíu tĩnh. Ðĩ lă những băi tơn cĩ sốẩn số lực nhiều hơn số phương trình cđn bằng. Ðể giải băi tơn năy ta phải lập thím phương trình biến dạng
Trang 112 - 177
Ví dụ: một thanh bị ngăm chặt ở hai đầu, chịu tâc dụng bởi câc momen xoắn ngoại lực
1
M vă M2. Xâc định momen xoắn ngoại lực tại hai đầu A, B Giải:
Phương trình cđn bằng:
Hai đầu thanh bị ngăm chặt, do đĩ gĩc xoắn tương đối ϕAB= 0 (đĩ lă phương trình biến dạng). Bđy giờ ta tưởng tượng bỏ qua một trong hai ngăm, ví dụ ngăm B vă thay thế bởi momen phản lực MB . Ðể tính gĩc xoay tương đối ϕAB ta dùng phương phâp cộng tâc dụng. Gĩc xoay tại B do câc momen M1, M2 vă MB gđy ra đồng thời sẽ bằng tổng câc gĩc xoay do từng momen một gđy ra:
Vậy gĩc xoay tổng cộng lă:
Trang 113 - 177
Dựa văo hai phương trình (1) vă (2) ta tìm được MA vă MB . Cĩ được MAvă MB ta cĩ thể xâc định được nội lực vă biến dạng của thanh.
CÁC VÂN ĐEĂ SINH VIEĐN CAĂN NAĨM VỮNG Ở CHƯƠNG 8
1. Naĩm đực khái nieơm xoaĩn thuaăn túy
2. Phađn bieơt tráng thái xoaĩn thuaăn túy với trượt thuaăn tùy, uơn thuaăn túy. 3. Cođng thức tính tốn gĩc xoay tồn thanh.
4. Tính tốn xoaĩn thanh thẳng tiêt dieơn trịn.
5. Vaơn dúng thành tháo bài tốn coơng tác dúng đeơ giại quyêt vân đeă biên dáng tái 1 vị trí nào đĩ.
6. Phađn tích được các đieău kieơn biên dáng tương thích đeơ giại quyêt các bài tốn sieđu tĩnh.
Trang 114 - 177
CHƯƠNG 9 : THANH CHỊU LỰC PHỨC TÁP 9.1. KHÁI NIEƠM
9.1.1. Định nghĩa
Thanh chịu lực phức táp khi tređn các maịt caĩt ngang cĩ tác dúng đoăng thời cụa toơ hợp các thành phaăn noơi lực như lực dĩc Nz. mođmen uơn Mx, My, mođmen xoaĩn Mz (H.9.1) Khi moơt thanh chịu lực phức táp, ạnh hưởng cụa lực caĩt đên đoơ beăn rât nhỏ so với các thành phaăn noơi lực khác neđn trong tính tốn khođng tính đên lực caĩt.
9.1.2. Phám vi nghieđn cứu
Trong chương này chư xét những thanh chịu lực phức táp mà trong quá trình chịu lực cịn thỏa mãn đieău kieơn sử dúng được nguyeđn lý coơng tác dúng, đĩ là:
Vaơt lieơu phại đàn hoăi tuyeơt đơi và tuađn theo định luaơt Hooke.
Chuyeơn vị và biên dáng phại bé đeơ cĩ theơ tính tređn sơ đoă khođng biên dáng (sơ đoă chưa cĩ tác dúng cụa lực)
Trang 115 - 177
Nguyeđn lý coơng tác dúng phát bieơu như sau: moơt đái lượng do nhieău nguyeđn nhađn
tác dúng đoăng thời gađy ra thì baỉng toơng đái lượng đĩ do từng nguyeđn nhađn rieđng lẹ. Nhờ đĩ, chuyeơn vị hay ứng suât do nhieău thành phaăn noơi lực tác dúng đoăng thời được phađn tích thành toơng Chuyeơn vị hay ứng suât do từng thành phaăn noơi lực tác dúng rieđng lẹ. Maịt khác cĩ theơ sử dúng các kêt quạ từ các bài tốn chịu lực đơn giạn như thanh chịu kéo hay nén đúng tađm, thanh chịu uơn phẳng hay thanh chịu xoaĩn thuaăn túy.
Đeơ vieơc nghieđn cứu được thuaơn lợi, các bài tốn chịu lực phức táp được xét theo thứ tự từ đơn giạn đên phức táp là: uơn xieđn, uơn coơng kéo (hay nén), kéo hay nén leơch tađm, uơn coơng xoaĩn và chịu lực toơng quát.
9.2. UƠN XIEĐN
9.2.1. Định nghĩa:
Thanh chịu uơn xieđn khi tređn mĩi maịt caĩt ngang chư cĩ 2 thành phaăn noơi lực la mođmen uơn Mx và mođmen uơn My tác dúng trong các maịt phẳng đơi xứng yoz và xoz
(H.10.2)
Theo cơ hĩc lý thuyêt, ta cĩ theơ bieêu dieên mođmen Mx và My baỉng các véctơ thẳng gĩc với maịt phẳng tác dúng cụa chúng, tức là tređn các trúc x và y,hợp 2 mođmen này là
mođmen toơng Mu bieơu dieên bởi véctơ toơng hình hĩc cụa 2 véctơ Mx, My. Mu tác dúng
trong maịt phẳng voz, maịt phẳng này thẳng gĩc với trúc u (chứa véctơ Mu) và chứa trúc thanh (H10.3)
Vaơy cĩ theơ nĩi : thanh chịu uơn xieđn khi tređn các maịt caĩt ngang chư cĩ 1 mođmen uơn Mu tác dúng trong maịt phẳng chứa trúc mà khođng trùng với maịt phẳng đơi xứng nào.
Như tređn hình H.9.3, ta cĩ Mu = Mx2+My2
Trang 116 - 177
Đaịc bieơt với thanh tiêt dieơn trịn, mĩi đường kính đeău là trúc đơi xứng, neđn bât kì maịt phẳng chứa trúc thanh nào cũng là maịt phẳng đơi xứng. Do đĩ thanh tiêt dieơn trịn luođn luođn chư chịu uơn phẳng.
9.2.2. Ưùng suât pháp
Tái 1 đieơm A(x,y) tređn tiêt dieơn, nêu chư cĩ Mz tác dúng thì Jx gađy ra ứng suât pháp do uơn thuaăn túy trong maịt phẳng yOz là: x
z x
M y I
σ =
Tương tự nêu chư cĩ My tác dúng thì ứng suât pháp do uơn thuaăn túy trong maịt
phẳng yOz là: y z y M x I σ =
Khi Mx, My cùng tác dúng thì theo nguyeđn lý coơng tác dúng, ta cĩ
y x z y x M M x y I I σ = + (9.1)
Các sơ háng trong cođng thức (9.1) là sơ đái sơ, dâu cụa mođmen uơn Mx, My và tĩa đoơ A(x,y) phại được quy ước sao cho nêu Mx, My gađy kéo tái đieơm khạo sát thì ứng suât do chúng gađy ra phại là dương và ngược lái.
Như vaơy Mx, My lây dâu dương khi chúng gađy kéo tái những đieơm cĩ y, x dương, ta cĩ theơ chĩn chieău dương trúc y và trúc x veă phía gađy kéo cụa Mx, My, khi đĩ sơ háng Mx, My trong (9.1) lây giá trị tuyeơt đơi.
Trong tính tốn thực hành, thođng thường dùng cođng thức kỹ thuaơt sau:
y x z x y M M y x I I σ = ± ± (9.2) Trong (9.2) lây dâu (+) khi đái lượng đĩ gađy kéo và ngược lái.
Trang 117 - 177
9.2.3. Đường trung hịa và bieơu đoă ứng suât
Cođng thức (9.1) là 1 hàm 2 biên, nĩ cĩ đoă thị là 1 maịt phẳng trong heơ trúc Oxyz. Nêu bieơu dieên giá trị ứng suât σz cho ở (9.1) baỉng các đốn thẳng đái sơ theo trúc z định hướng dương ra ngồi maịt caĩt (H.10.4.a), ta thu được moơt maịt phẳng chứa đaău mút các véctơ ứng suât pháp tái mĩi đieơm tređn tiêt dieơn, gĩi là maịt ứng suât (H.9.5.a).
Gĩi giao tuyên cụa maịt ứng suât và maịt caĩt ngang là đường trung hịa, ta thây,
đường trung hịa là 1 đường thẳng và là quỹ tích cụa những đieơm tređn maịt caĩt ngang cĩ trị sơ ứng suât pháp baỉng 0.
Cho bieơu thức σz =0, ta được phương trình đường trung hịa:
Trang 118 - 177 0 . . + y = => = − y x x x y x y M M M I y x y x I I M I (9.3)
Phương trình (9.3) cĩ dáng y = ax, đường trung hịa là 1 đường thẳng qua gơc tĩa đoơ.
Nhaơn xét:
- Đường trung hịa chia tiêt dieơn làm 2 mieăn: mieăn chịu kéo và mieăn chịu nén. - Những đieơm naỉm tređn những đường thẳng SONG SONG với đường trung hịa cĩ cùng giá trị ứng suât.
- Càng xa đường trung hịa, trị sơ ứng suât cụa các đieơm tređn 1 đường thẳng vuođng gĩc đường trung hịa taíng theo luaơt baơc nhât.
Dựa tređn các tính chât này, cĩ theơ bieơu dieên sự phađn bơ baỉng bieău đoă ứng suât
phẳng như sau.
Kéo dài đường trung hịa, vẽ đường chuaơn vuođng gĩc với đường trung hịa tái K, ứng suât tái mĩi đieơm tređn đường trung hịa (σz =0) bieơu dieên baỉng đieơm K tređn đường chuaơn. Sử dúng phép chiêu thẳng gĩc, đieơm nào cĩ chađn hình chiêu xa K nhât là những đieơm chịu ứng suât pháp max.
- Đieơm xa nhât thuoơc mieăn kéo chịu ứng suât kéo max, gĩi la σmax
- Đieơm xa nhât thuoơc mieăn nén chịu ứng suât nén max, gĩi là σmin
Tính σmax,σmin roăi bieơu dieên baỉng 2 đốn thẳng veă 2 phía cụa đường chuaơn roăi nơi lái baỉng đường thẳng, đĩ là bieơu đoă ứng suât phẳng, trị sơ ứng suât tái mĩi đieơm cụa tiêt dieơn tređn đường thẳng song song vơi đường trung hịa chính là 1 tung đoơ tređn bieơu đoă ứng suât xác định như ở (H9.5.b)
9.2.4. Ưùng suât pháp cực trị và đieău kieăn beăn
Gĩi A(xA, yA) và B(xB, yB) là 2 đieơm xa đường trung hịa nhât veă phía chịu kéo và chịu nén, cođng thức (9.2) cho: max min σ σ σ σ = = + = = − − y x A A A x y y x B B B