4.2.1 Giới thiệu chung
Các chƣơng trình mô phỏng tính toán các thông số của cấu trúc đƣợc nhập vào, cho phép ngƣời dùng biết các thông số đó để rồi có sự chỉnh sửa cấu trúc nhằm thu đƣợc tính chất quang mong muốn. Các chƣơng trình này đều phải sử dụng các phƣơng pháp số để tính toán. Một số phƣơng pháp số nhƣ:
Phƣơng pháp chiết suất hiệu dụng
Phƣơng pháp các hàm vị trí
Phƣơng pháp khai triển sóng phẳng full-vectơ
Phƣơng pháp đa cực
Phƣơng pháp phân tích Fourier
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn
Phƣơng pháp truyền chùm tia
Phƣơng pháp chỉ số trung bình tƣơng đƣơng
Phần mềm APSS sử dụng phƣơng pháp chiết suất hiệu dụng (effective index method - EIM) và phƣơng pháp sai phân hữu hạn (finite difference method - FDM) . Do trong quá trình mô phỏng chủ yếu sử dụng phƣơng pháp sai phân hữu hạn nên dƣới đây ta sẽ tập trung phƣơng pháp này và chỉ giới thiệu sơ lƣợc phƣơng pháp chiết suất hiệu dụng.
4.2.2 Phương pháp chiết suất hiệu dụng (EIM)
Để thiết lập một công cụ số tƣơng đối đơn giản mà có thể tính toán các đặc tính mode truyền dẫn của sợi tinh thể quang lõi chiết suất cao, Birks đã đề xuất một phƣơng pháp trong đó sử dụng tuần tự các công cụ sợi đã có sẵn. Mục đích là để đánh giá ban đầu cấu trúc lặp đi lặp lại một cách có chu kỳ của các lỗ khí trong vùng vỏ rồi thay thế bằng một sợi quang thƣờng có chỉ số hiệu dụng đƣợc chọn một cách thích hợp.
Hình dƣới đây minh họa sự thay thế từ sợi tinh thể quang sang một sợi quang thƣờng tƣơng đƣơng. Trong mô hình này, ống dẫn sóng bao gồm một lõi và một vỏ chiết suất tƣơng ứng nco và ncl.
ncl
nco
Hình 4.9 Thay thế sợi tinh thể quang bằng một sợi quang thường tương đương.[2]
Phƣơng pháp sai phân hữu hạn là một trong những phƣơng pháp đƣợc phát triển để nghiên cứu về mặt lý thuyết các mode truyền dẫn trong sợi tinh thể quang. Phƣơng pháp có thể chia ra làm hai loại nhỏ: sai phân hữu hạn trên miền thời gian và sai phân hữu hạn trên miền tần số.
Phƣơng pháp sai phân hữu hạn trên miền thời gian (FDTD)
Phƣơng pháp sai phân hữu hạn miền thời gian (finite difference time domain method - FDTD) đƣợc đề xuất sử dụng cho việc phân tích sóng đầy đủ của các mode truyền dẫn trong PCFs bởi Qiu và Town và cộng sự vào năm 2001. Nhƣ trình bày của Qiu, phƣơng pháp FDTD đƣợc áp dụng rất hiệu quả trong tinh thể quang trong việc tính toán cấu trúc dải, tính toán cấu trúc dải bên ngoài mặt phẳng, khuyết tật mode, mode truyền dẫn, và mode bề mặt. Với PCFs, nếu hệ số truyền dọc theo trục z (hƣớng truyền) đƣợc cố định, các mode truyền dẫn 3 chiều có thể đƣợc tính toán sử dụng chỉ lƣới 2 chiều. Ngoài ra, trong phƣơng pháp của Qiu chỉ sử dụng 1 biến thực. Phần dƣới sẽ trình bày những kết quả của Qiu, thời gian tính toán sẽ tăng theo N, ở đây N là số điểm phân chia theo phƣơng pháp FDTD. Điều này là giảm khối lƣợng tính toán hơn rất nhiều so với phƣơng pháp khai triển sóng phẳng (có bậc N3).
Với vật liệu tuyến tính đẳng hƣớng trong vùng không gian tự do, các phƣơng trình Maxwell phụ thuộc thời gian có thể đƣợc viết dƣới dạng:
1( ) ( ) H E t r (4.2.1) 1 ( ) ( ) ( ) E r H E t r r (4.2.2) ở đây ( )r , ( )r và ( )r tƣơng ứng là hằng số điện môi môi trƣờng, độ từ thẩm và độ dẫn điện của vật liệu. Lƣu ý là silica có độ dẫn điện bằng không.
Một phần quan trọng trong phƣơng pháp FDTD là dựa vào thực tế rằng các phƣơng trình Maxwell có thể đƣợc tách rời trong không gian và thời gian bằng một kĩ thuật gọi là Yee cell trong lƣới 3 chiều rời rạc. Với các mode truyền dẫn trong PCFs, giả thiết rằng, hệ số truyền theo phƣơng truyền là β. Theo đó, mỗi thành phần trƣờng
có dạng ( , , ) x y z ( , )x y ej z với Ø là thành phần trƣờng bất kì. Theo các phƣơng trình Maxwell, đạo hàm theo trục z có thể đƣợc thay thế bởi –jβ.
Hình dƣới mô tả một cell đơn vị của lƣới 2 chiều đặt trên mặt cắt ngang của các sợi
Hình 4.9 Một cell đơn vị trong lưới sai phân FFTD 2 chiều.
Các thành phần trƣờng ở hình trên , theo phƣơng trình đầu tiên của Maxwell tách theo trục x 1 y x z E H E t y y (4.2.3) trở thành: 1 2 1 1 , , 2 2 , , , , n n n z z n n i j i j x i j x i j y i j i j E E t H H j E y (4.2.4)
Với hệ số n là bƣớc nhảy và các chỉ số i và j tƣơng ứng là các chỉ số điểm lƣới trong mặt phẳng x-y; Δt là số gia thời gian, Δx và Δy là khoảng cách giữa 2 nút lƣới liền kề tƣơng ứng theo trục x và trục y. Áp dụng cho các phƣơng trình còn lại sẽ thu đƣợc các kết quả tƣơng tự.
Các phƣơng trình dạng (4.2.4) sử dụng số phức để tính toán. Tuy nhiên khi tính toán mode truyền trong PCFs, ta muốn là chỉ sử dụng số thựcvì khi đó thời gian tính toán cũng nhƣ khối lƣợng bộ nhớ sử dụng sẽ giảm đi đáng kể so với khi dùng số phức. Một cách để loại bỏ số phức là giả sử rằng Ez, Hx và Hy có thành phầm cos(βz+Ø) (với biên độ thực) và Hz, Ex và Ey với thành phần sin(βz+Ø) (với biên độ thực). Phƣơng trình trở thành: 1 1 , 1 , 2 2 , , , , n n n z z n n i j i j x i j x i j y i j i j E E t H H j E y (4.2.5)
Do đó chỉ còn lại các biến thực trong phƣơng trình.
Vì tổng thời gian các bƣớc cố định, thời gian tính toán sẽ tỉ lệ thuận với số điểm tách rời trong miền tính toán, tức là thuật toán FDTD có bậc N. Tổng thời gian các bƣớc FDTD sẽ là số cố định nếu điều kiện sau dƣợc thỏa mãn:
22 2 2 2 1 ( 2) t c x y (4.2.6)
Vì thông tin ở ngoài miền tính toán sẽ không có sẵn ở đƣờng biên của các cell FDTD, các trƣờng đƣợc cập nhật bằng cách sử dụng các điều kiện biên đặc biệt. Trong công trình của Qiu, phƣơng pháp PML (perfectly matched layer) đƣợc sử dụng để xử lý biên. Trong phƣơng pháp này, một phân phối trƣờng khởi tạo ban đầu đƣợc đƣa ra trong thuật toán FDTD. Các thành phần phi vật lý trong phân phối trƣờng ban đầu này sẽ biến mất theo thời gian thực hiện tính toán, và chỉ các thành phần vật lý, tức là các mode truyền còn, nếu thời gian thực hiện đủ dài. Bởi vì tất cả các trƣờng thu đƣợc trong miền thời gian trong phƣơng pháp này, cần chuyển đổi các trƣờng cần tính toán từ miền thời gian tới miền tần số bằng biến đổi Fourier để thu đƣợc phổ truyền.
Phƣơng pháp sai phân hữu hạn trên miền tần số (FDFD)
Trong các phƣơng pháp sai phân hữu hạn, phƣơng pháp này có thể lựa chọn một cách linh động nhằm giải hệ phƣơng trình Maxwell trên miền tần số. Phƣơng pháp này đƣợc trình bày lần đầu tiên đồi với PCFs bởi Zhu và cộng sự.
Trong FDFD mode solver, Zhu và cộng sự đã thực hiện 2 sơ đồ riêng biệt. Một đƣợc đề xuất bởi Stern, trong đó có thể có sự không liên tục giữa hai lƣới lân cận và mỗi điểm lƣới tƣơng ứng với một chiết suất khúc xạ riêng. Phƣơng trình sóng trong trƣờng điện ngang Et (hay từ trƣờng Ht) đƣợc thể hiện nhƣ sau:
2 2 1 2 0 ( t k r)Et t r tr Et Et (4.2.7) hay 2 2 1 2 0 ( t k r)Ht r tr t Ht Ht (4.2.8) với k0 2 là số sóng trong không gian tự do, ε là hằng số điện môi ống dẫn sóng, và β là hằng số truyền. Sơ đồ phân tách này thƣờng đƣợc sử dụng trong trƣờng hợp phƣơng pháp truyền chùm tia(BMP), có thể sử dụng nhƣ mode solver. Sơ đồ phần tách khác đƣợc trình bày đầu tiên bởi Bierwirth và cộng sự. Trong sơ đồ thứ hai này, có thể có sự không liên tục nằm trên các mạng lƣới, vì thế bất kì điểm lƣới nào cũng có thể đƣợc kết hợp tối đa với 4 chiết suất khác nhau. Các thành phần từ trƣờng ngang thƣờng đƣợc sử dụng trong các ma trận tách rời.
Trong bài báo của Zhu và cộng sự, mode solver sai phân hữu hạn full-vector dựa vào sơ đồ tách rời của Yee. Lƣới của Yee đƣợc sử dụng rộng rãi trong phân tích FDTD. Zhu sử dụng lƣới hai chiều của Yee trong mode solver miền tần số đối với ống dẫn sóng quang phức tạp. Lƣu ý rằng để cải thiện phép xấp xỉ cho bề mặt thang cong, kĩ thuật chiết suất trung bình đƣợc sử dụng cho các cell nằm ngang bề mặt.
Trong lƣới của Yee, mạng lƣới cho điện trƣờng có thể nằm ở vùng không liên tục. Bời vì tất cả các thành phần trƣờng ngang tiếp xúc với biên cell đơn vị, các điều kiện liên tục sẽ tự động đƣợc thỏa mãn. Zhu giả sử rằng các trƣờng phụ thuộc vào biến z và thời gian t theo hàm mũ expjzt
. Từ phƣơng trình Maxwell
E B t
(4.2.9)
H D t
(4.2.10 ) Sau khi chia E cho trở kháng không gian tự do Z0 0 0 chúng ta có: Sau khi chia E cho trở kháng không gian tự do Z0 0 0 chúng ta có:
0 x z yjk H E y j E