I. Vectơ chỉ phương của đường thẳng-Phương trình tham số của đường thẳng
4/ Hình dạng của elip:
+ (E) cĩ các trục đối xứng là Ox, Oy và tâm đối xứng là gốc tọa độ.
+ Mọi điểm của elip (E) đều nằm trong hình chữ nhật cĩ kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x= ± a, y= ± b. Hình chữ nhật đĩ gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.
+ nếu a=b thì elip trở thành đường trịn.
Ví dụ : Cho (E): 2 2 1 25 9
x +y =
a) Xác định tọa độ các đỉnh của elip. b) Tính độ dài trục lớn , trục nhỏ của elip. c) Xác định tọa độ tiêu điểm và tiêu cự. d) Vẽ hình elip trên. Giải a=5, b=3 A1(-5;0),A2(5;0),B1(0;-3),B2(0;3) ⇒ A1A2=2a=10 ⇒ B1B2=2b = 6 c2 = a2-b2= 25-9=16
⇒ c = 4
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc khi biết các thành phần đủ để xác định elip đĩ
Để lập phương trình chính tắc ta cần biết 2 trong 4 yếu tố a, b, c, e khi đĩ ta tính được hai yếu tố cịn lại.
Bài tập: Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6;
b) Một tiêu điểm (− 3;0) và điểm (1; 3
2 ); c) Độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng 4;
d) Một tiêu điểm F1(−2;0) và độ dài trục lớn bằng 10;
e) Đi qua hai điểm M(1;0) và N( 3
2 ;1);
f) Độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai 7
4 ; g) Tiêu điểm F1(−4;0), F2(4;0), tâm sai e= 2
3;
h) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3;0) và một tiêu điểm là điểm (−2;0).
k) (E) đi qua hai điểm M(0;1) và N(1; 3
2 )
Đáp số: a) a=5; c=3;b2 = 16 b) c= 3; a2=4; b2 =1 c) a= 3; c= 2; b2 = 5
d) c=2; a= 5; b2 = 21 e) a2=1; b2 =2⇒ a< b nên khơng tồn tại pt chính tắc (E)
f) a=4; c= 7; b2=9 g) c=4; a=6; b2 = 20 h) a= 3; c=2; b2= 5 k) a2=4; b2 =1 HD: b) c= 3 ⇒ giải hệ 2 ( )2 2 =b +c M E a ∈
Vấn đề 2: Xác định các thành phần của elip khi biết phương trình chính tắc
Ta cần xác định: a; b; c; Trục lớn, trục nhỏ; Hai tiêu điểm; Tiêu cự; Bốn đỉnh; Tâm sai; Hình chữ nhật cơ sở.
Bài 1: Xác định tọa độ các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, tâm sai và vẽ elip (E) cĩ phương trình a) 2 2 1 25 9 x + y = b) 4x2+9y2= 36 c) x2+4y2= 4 d) 4x2+4y2= 16 Đáp số: a) a=5; b=3; c=4 b) a=3; b=2; c= 5 c) a= 2; b= 1; c= 3
d) Là đường tịn tâm O, R=2⇒ elip cĩ a=b=2, F1≡F2 ≡O, e=0
Bài 2: Cho elip (E) cĩ phương trình 2 2 1 100 36
x + y = . Hãy viết phương trình đường trịn (C) cĩ
đường kính F1F2 trong đĩ F1, F2 là hai tiêu điểm của (E).
BÀI TẬP 1
3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và cĩ tiêu cự bằng 16;
b) Một tiêu điểm là (12;0) và điểm (13;0) nằm trên elip.
3.29. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip cĩ phương trình sau:
a) 4x2+9y2= 36 b) x2+4y2= 4
3.30. 3.31.
3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số c a bằng 5 13; b) Tiêu điểm F1(−6;0) và tỉ số c a bằng 2 3.
3.33. Viết phương trình chính tắc của elip(E) cĩ hai tiêu điểm F1, F2 biết: a) (E) đi qua hai điểm M(4;9/5) và N(3;12/5);
b) (E) đi qua M 3 ; 4
5 5
÷
và tam giác MF1F2 vuơng tại M.
3.34. Cho elip (E): 9x2+25y2= 225
a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm F1, F2 và các đỉnh của (E);
b) TÌm điểm M thuộc (E) sao cho M nhìm F1F2 dưới một gĩc vuơng.
3.35. Cho elip (E): 22 y22 1 a b
x = = (0<b<a). Tính tỉ số c
a trong các trường hợp sau:
a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ;
b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một gĩc vuơng;
c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.
3.36. Cho elip (E): 4x2+9y2= 36 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và