Ta thấy điểm A ở trên MN. Vậy A., M, N thẳng hàng.
Từ đây ta cĩ cách giải Tốn học cho nĩ : Cách 1
Nĩi AM cắt CB tại N'.
Áp dụng định lý Ménélaus cho tam giác BCQ với cát tuyến AM, ta cĩ :
MQ N'B AC _- 11) MB N'C. AQ-
Áp dụng định lý Ménélaus cho tam giác ABQ với cát tuyến PC, ta cĩ :
PB.CA MQ -
Ba lên lan =1) PA CQ MB
Đem chia (1) cho (2) với PA = AQ ta được kết quả : ĐI, HIẾU, l hay N'€ _cQ-
NTIB NB ¿
———:——=Ì. Vậy N trùng với N'. Ha N'C_NC nay Đ yVA, M, N thăng hàng. 8 hàng
Cách 2 (Cách giải băng phương pháp Vật lý)
Cả sử AP = a, BP = m CỌ =n. Suy ra AB =a-—m, AC =a-n. Đặt tại A
một khối lượng là 1. Đặt ở P một khĩi lượng là mị và Q một khối lượng mạ
sao cho B là trọng tâm của hệ (A. 1) ; (P, mạ) và C là trọng tâm của hệ (A.
1), (, mạ).
LÁU Âu ä m :
Ta biệt răng I. AB = mị BP, suy ra mị = - Tương tự, ta cĩ mạ =
ä —TI
n
Khi đĩ ta cĩ B = TẢ + mỸ Q_ 1A + mỘ
lI+rm lu
Gọi Z là trọng tâm của bốn chất điểm (A, 1), (P, mị), (Q, m;) và (A, 1). Khi
đĩ : l 1 z_ LA + mịP + lA + m,Q _ (A+m.P)+(A+mQ) mẽ nẺ 2+m, +m, (1+ m,) + (m, + ]) 1.1 mn 1 1
Suy ra Z là trọng tâm của (B, —) và (C, —).
m n
Nhưng theo quy tắc địn bấy thì N là trọng tâm của hệ chất điểm này. Vậy Z trùng với N.
Mặt khác do trọng tâm các hệ chất điểm (A, 1), (P, m;), (Q, m) là M nên : _ LA+(JA+ m,P+ m,Q) _ 1A + (+ m, + m,)M
I+(1+m, +m,) I+(l+m.+m,) -
Do đĩ Z thuộc AM, suy ra N thuộc AM. Suy ra ba điểm A M,N thăng hàng.
Bây giờ ta chọn một điểm I ở ngồi mặt phẳng tờ giấy rồi chiếu xuyên tâm từ I xuống một mặt phẳng khơng song song với mặt phẳng tờ giấy thì ta
được cái gì ? Đường trịn khơng cịn là “đường trịn” nữa, cũng khơng nhất thiết thành clip mà thành một đường cong bậc hai (cĩ thể là clip, hypebol hoặc parabol). Như vậy ta được bài tốn sau đây :
Ví dụ 3
Một đường cơnic (S) tiếp xúc với các cạnh của gĩc Axy tại P và Q. Đường
thắng BC (B< AP, € < AQ) tiếp xúc với cơnic tại N và các đường thắng BQ, CP cắt nhau tại M. Chứng minh A, MI, N thắng hàng. BQ, CP cắt nhau tại M. Chứng minh A, MI, N thắng hàng.
Sau đây là các trường hợp riêng của ví dụ 3 Ví dụ 4
Một đường hyperbol tiếp xúc với các cạnh của gĩc Axy tại P và Q. Đường thắng BC (Be AP,Cc AQ) tiếp xúc với hyperbol tại N và các đường thắng BQ, CP cắt nhau tại M. Chứng minh A, MI, N thắng hàng.
Ta kiểm chứng kết quả trên phần mêm Tĩn học Carbi như sau . Bước I : Dựng hình
. Hiện hệ trục Oxy.
. Dựng hình chữ nhật cơ sở: x = + a; y = +b.
. Dựng hai đường chéo của hinh chữ nhật cơ sở chính là hai đường tiệm cận của hyperbol (H).
. Xác định đỉnh A'(a ; 0) của (H).
. Phép vị tự tâm O tỉ số k= ^/2, biến điểm A' thành điểm K". A' thành điểm K".
. Đường vuơng gĩc với trục Ox tại K' cắt đường thắng chứa hai cạnh của hình chữ nhật cơ sở (y = +b) tạ M"ˆ vàN:.