. PM và PN là hai tiếp tuyến cân dựng. Sau đây là một số cách chứng minh bài tốn thể hiện bản chất của phép dựng bằng ba cái tuyến ở trên
Bài I
Cho cơnic (S). Từ một điểm P ở ngồi cơnic (S) vẽ cát tuyến PAB, PCD,
PEF tới cơnic. AD cắt BC tại L CF cắt DE tại J. Nỗi II cắt cơnic tại M và N.
Chứng minh PM và PN là hai tiếp tuyến cân đựng. Cách 1 (Dựa vào định lý Pascal)
Cách dựng này cĩ thể chứng minh nhờ vào định lý Pascal. (Bạn đọc tự chứng minh).
Sau đây là một số cách giải khác. Đĩ là cách giải bằng phương pháp tọa độ
xạ ảnh Cách 2
Ta chứng minh như sau :
Xét mục tiêu Xa ảnh {A, C, E; P}.
Tacĩ: A=(1,0,0);C =(0,1,0);E=(0,0, 1).
Phương trinh của cơmc sẽ cĩ dạng : aX¿x: + bX;Xi + G@X¡X¿ = 0.
B= DA (S5), suy ra B = (-a, b + c, b + c).
Tương tự ta cũng tính được D = (a + c, -b,a+c);F
=(a+b,a+b, -c).
Phương trình đường thăng DA là :
0 0 0 l l 0
: =[0.a+ c, bỊ.
=b a+c| la+ca+ec| la+c-b
Tương tự phương trình đường thẳng BC cĩ toa độ là : [b + c„ 0, a|. Phương trình đường thắng ED cĩ tọa độ là : [b, a + c, 0].
Phương trình đường thăng FC cĩ tọa độ là : [e, 0, a + b].
Tọa độ I là giao điểm của AD và BC là : I= (-a(a + e), - b(b + e), (a + e)(b + ©)).
Toa độ 1 là giao của CF và ED là : J = ((a + b)(a + e), -b(a ~ b}. -c(a + 6). Phương trinh đường thẳng HJ cĩ tọa độ là :
l®h +b) -c(a+c€) —c(a + €) (a + b)(a + e}) =b(b+e) (a+c)(b+e)' =b(b+e) (a+c)(b+e)'
(a + b)(a + e) -b(a + b}
°|-a(a + e} —b(b + €) _
(a+ c)(b+c) -a(a + c) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
¡—b(b + e@)(e + a)(a + b+ e), -b(a + e) (a + b+ e), -b(a + b)(a + e(b+e+ 4),
Hay LJ = [b + c, c + a, a + bị.
Cực tuyên của điệm P đơi với cơnmc (S) là :
0 c bị||š;
[IL1,I1Jlc 0 al|x; |=[e + b, c+ a, a + bị.
ba 0l||x,
Hay cực tuyến của điểm P đối với cơnic (3) chính là đường thẳng II.
Do đĩ khi IJ cắt (S) tại M và N thì PM và PN chính là hai tiếp tuyến xuất
phát từ P tới cơnIc (S). Cách 3
Trước hết ta chứng minh bài tốn phụ sau : Bài 2
Giả sử từ điểm A ở ngồi đường trịn vẽ hai tiếp. tuyến AM, AN với đường trịn và hai cát tuyến. Giả sử P và Q là giao điểm của đường trịn với cát tuyến thứ nhất, cịn các điểm K và L là giao điểm của đường trịn với cát tuyến thứ hai. Khi đĩ các đường thắng PK, QL và MN cắt nhau tại một
điểm.
Chúng ta áp dụng định lý Xê-va vào tam giác KLM. Chúng ta nhận thấy răng các đường thắng PK, QL và MN cắt
nhau tại một điểm, nêu thực hiện được đẳng thức
sinLMN sin KLQ sinMKP sin NMK sinQLM sinPKL
Tất cả các gĩc trong biêu thức cuối cùng là các gĩc nội tiếp trong đường trịn ; sin của
=1. (
gĩc này tỉ lệ với độ dài dây trương cung (chẳng hạn như, sin LMN = 3 2RẺ trong đĩ R là bán kính đường trịn). Đẳng thức (1) tương đương với đẳng thức
IN KQ MP. NK `QM PL _ (y
Chúng ta chỉ ra răng (2) được thỏa mãn. Từ các tam giác đồng dạng AMP và AMO,, chúng ta nhận được M = AM
MO ÁO
Từ các tam giác đồng dạng APL và AQK, ta cĩ KS = Vn, và cuối cùng,
PL AL
LN AL
từ các tam giác đồng đạng ALN và ANK, ta cĩ ———= ——.
NE AM
Khi nhân ba đẳng thức cuối cùng chúng ta rút ra đẳng thức (1).
Từ bài 2, ta cĩ một cách dựng tiếp tuyến từ một điểm ở ngồi đường trịn tới
đường trịn : Bài 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho đường trịn (C). Từ một điểm P ở ngồi đường trịn (C) vẽ cát tuyến
PAB, PCD, PEF tới (C). AD cắt BC tại L CF cắt DE tại J. Nồi II cắt đường
trịn tại M và N thì PM và PN là hai tiếp tuyến cần dựng.
Bây giờ ta chọn một điểm O ở ngồi mặt phẳng tờ giầy rơi chiều xuyên tâm từ O xuống một mặt phẳng khơng song song với mặt phẳng tờ giấy thì ta được cái øi ? Dường trịn khơng cịn là “đường trịn” nữa, cũng khơng nhất thiết thành elip mà thành một đường cong bậc hai (cĩ thể là elip, hypebol
hoặc parabol). Như vậy ta được bài tốn sau đây :
“Cho cơnic (S). Từ một điểm P ở ngồi cơnie (3) vẽ cát tuyến PAB, PCD,
PEE tới cơnic. AD cắt BC tại L CE cắt DE tại J. Nối IJ cắt cơnic tại M và N.
Chứng minh PM và PN là hai tiếp tuyến cân dựng.” (đpem). c) Ứng dụng phép dựng tiếp tuyến vào các bài tốn c) Ứng dụng phép dựng tiếp tuyến vào các bài tốn Ví dụ 1
Cho elip (E) cĩ định. Điểm M là điểm chuyển động trên elip (E). Qua M vẽ tiếp tuyến với (E). Đường thắng A vuơng gĩc VỚI tiếp tuyến tại M. Gọi H là chân đường vuơng gĩc từ O đến A. Tìm giá trị lớn nhất của OH.
Ta thực hiện việc tìm giá trị lớn nhất của OH trên phân mềm Tin học Cabri như sau
Bước I : Dựng hình . Hiện hệ trục Oxy.
. Dựng 4 đỉnh của (E) : A'(a:0); A (-a;0):B'(0;b):B (0; -b).
. Dựng trung điểm I của A°B'.