d, n Khi đó
1.6Đa diện Newton và tích phân dao động
Phương pháp pha dừng không còn phù hợp khi hàm pha φcủa Tích phân dao động (1.9) có kỳ dị suy biến. V.I. Arnold và A.N. Varchenko đã đưa ra các kết quả về tốc độ tắt dần (the decay rate) thông qua giao điểm của lược đồ Newton với đường phân giác của góc tọa độ dương, và chỉ số của tất cả các số hạng của khai triển tiệm cận của Tích phân dao động (1.9) chỉ phụ thuộc lược đồ Newton của hàm pha (xem [AGZV88; Var76]).
Xét tích phân dao động sau
I(λ) =
Z
Rn
eiλφ(x)f(x)dx
trong đó λ∈R, φ, f là các hàm trơn. Tham số λ được gọi là tham số lớn, φ được gọi là hàm pha, f được gọi là hàm biên độ.
Định lý 1.6.1 ([Mal74a; AGZV88]). Giả sử hàm pha φ giải tích trong một lân cận của điểm tới hạn x0 của nó. Khi đó I(λ) được khai triển thành chuỗi tiệm cận
exp iλφ(x0) X α n−1 X k=0 ak,α(f)λα lnλk khi λ→+∞ , (1.14)
nếu giá của hàm biên độ f được chứa trong một lân cận đủ bé của điểm x0. Trong đó α chạy khắp một tập hữu hạn các cấp số cộng không phụ thuộc vào f và các cấp số cộng này được lập bởi các số hữu tỉ âm. Các hệ số ak,α là các hàm suy rộng của
hàm biên độ.
Nhận xét 1.6.1. Trong chuỗi tiệm cận của tích phân dao động, hàm pha và biên độ có vai trò khác nhau: hàm pha xác định các chỉ số của lũy thừa của tham số, còn hàm biên độ xác định các hệ số của lũy thừa của tham số.
1.6.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị
Định nghĩa 1.6.1.
• Tập chỉ số của một hàm pha giải tích tại một điểm tới hạn là tập tất cả các số α có tính chất : với một lân cận tùy ý của điểm tới hạn đó, tồn tại một hàm biên độ có giá trong lân cận đó, sao cho tồn tại một số k mà hệ số ak,α trong chuỗi tiệm cận (1.14) khác không.
• Chỉ số dao động của một hàm pha giải tích tại một điểm tới hạn là số lớn nhất của tập chỉ số trên và được ký hiệu là β.
• Số bội của chỉ số dao động của hàm pha giải tích tại một điểm tới hạn là số lớn nhất k có tính chất : với một lân cận tùy ý của điểm tới hạn đó, tồn tại một hàm biên độ có giá trong lân cận đó và trong lân cận này hệ số ak,β của chuỗi tiệm cận (1.14) khác không.
Ví dụ 1.6.1. Xét Tích phân dao động (1.1), trong đó hàm pha φ có kỳ dị không suy biến tại điểm x0. Theo Định lý 1.2.2 ta có
I(λ) ∼ eiλφ(x0)
∞X X
j=0
ajλ−j−n2,
trong đó a0 = (2π)n2f(x0)|det(φ00(x0))|−12 eiπ4sgn(φ00(x0)). Khi đó tập chỉ số của hàm pha φ tại điểm kỳ dị không suy biến x0 là tập tất cả các số có dạng −n
2 −j, với j = 0,1, . . .; chỉ số dao động của điểm tới hạn này là−n
Định nghĩa 1.6.2. Chỉ số kỳ dị của một hàm pha giải tích n biến tại một điểm tới hạn là chỉ số dao động tại điểm tới hạn này cộng thêm n
2. Số bội của chỉ số kỳ dị là số bội của chỉ số dao động.
Nhận xét 1.6.2. Chỉ số kỳ dị và số bội của hàm pha giải tích bằng không tại điểm kỳ dị không suy biến của nó.
1.6.2 Đa diện Newton
Mối liên hệ giữa các yếu tố của đa diện Newton và các chỉ số của các số hạng trong khai triển tiệm cận của tích phân dao động do A.N. Varchenko đưa ra, khẳng định một giả thuyết trước đó của V.I. Arnold là tất cả các bất biến rời rạc phù hợp của một hàm giải tích, có thể biểu diễn một cách đơn giản theo lược đồ Newton của các hàm đó.
Cho K là một tập hợp con của tập hợpNk.
Định nghĩa 1.6.3. Đa diện Newton của tập K là bao lồi trong Rk
+ của tập hợp S n∈K n+Rk + .
Nói chung, một đa diện Newton có thể chứa các mặt có chiều khác nhau. Các mặt này hoặc là compact, hoặc là không bị chặn.
Hình 1.1: Đa diện Newton của K
Định nghĩa 1.6.4. Lược đồ Newton của tập K là hợp của tất cả các mặt compact của đa diện Newton của K.
Ký hiệuΓ+(K),Γ+(K)tương ứng là đa diện Newton và lược đồ Newton của tập K. Choφ = P n∈K anxn, với an ∈C, ta định nghĩa supp φ:={n∈Nk :an6= 0}, và φ∆(x) := X α∈∆ aαxα,
trong đó ∆là một mặt compact của f.
Định nghĩa 1.6.5. Đa diện Newton (tương ứng lược đồ Newton) của φ là đa diện Newton (tương ứng lược đồ Newton) của tập supp φ.
Đa diện Newton (tương ứng lược đồ Newton) củaφ được kí hiệu làΓ+(φ)(tương ứng Γ+(φ)), và được gọi là đa diện Newton (tương ứng lược đồ Newton) của φ tại gốc O hay tại0 (theo [Kou76]).
Ví dụ 1.6.2. Xét đa thức
φ(x, y) =x2y7+x8y+x7y6+x10+y12.
Hình 1.2: (a) Đa diện Newton của φ, (b) Lược đồ Newton củaφ
Ta có supp φ = { (2,7), (8,1), (7,6), (10,0), (0,12) }. Đa diện Newton của φ là đa diện Γ+(φ) trong hình (a). Các mặt của đa diện Newton là các điểm (2,7), (8,1), (10,0), (0,12) và các đoạn τ1, . . . , τ5. Lược đồ Newton của φ được xác định bởi Γ+(φ) =τ2∪τ3∪τ4 như trong hình (b).