Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị
B.1 Nhóm đồng điều đơn hình
B.1.1 Đơn hình
Định nghĩa B.1.1. Trong không gian Rn cho bộ p+ 1 điểm v0, v1, . . . , vp. (i) Bộ {v0, v1, . . . , vp} được gọi là độc lập tuyến tính nếu
{v0−v1, v0 −v2, . . . , v0−vp} độc lập tuyến tính.
(ii) Nếu {v0, v1, . . . , vp} độc lập tuyến tính thì bao lồi ∆p := ( x∈Rn : x= p X i=0 tivi, ti ≥0, p X i=0 ti = 1 )
được gọi là một đơn hình p chiều, kí hiệu là [v0, v1, . . . , vp].
Ví dụ B.1.1. Đơn hình 0 chiều là một điểm, đơn hình 1 chiều là một đoạn thẳng, đơn hình 2 chiều là một tam giác, đơn hình 3 chiều là một hình tứ diện.
Định nghĩa B.1.2. Một đơn hình ∆k, k ≤ p, là một mặt của đơn hình ∆p nếu mỗi đỉnh của ∆k là một đỉnh của ∆p.Các mặt của ∆p, khác với ∆p được gọi là các mặt thực sự của ∆p.
Ví dụ B.1.2. Các mặt của 2-đơn hình ∆2 = [v0, v1, v2]là [v0], [v1], [v2], [v0, v1], [v1, v2], [v0, v2].
Hình B.1: Các đơn hình
B.1.2 Phức đơn hình
Định nghĩa B.1.3. Một phức đơn hình là một họ K hữu hạn các đơn hình nào đó trong không gian Euclide Rn thỏa các điều kiện sau :
(i) Nếu ∆ thuộc K thì mọi mặt của ∆ cũng thuộc K.
(ii) Giao của hai đơn hình tùy ý của K hoặc bằng rỗng, hoặc là một mặt chung của hai đơn hình đó.
Các đỉnh của các các đơn hình của K cũng gọi là các đỉnh của K. Chiều của K là số chiều cực đại của các đơn hình thuộc K.
Hợp của tất cả các đơn hình của K với tôpô cảm sinh từRn là một không gian tôpô con của Rn, kí hiệu là |K| và gọi là một khối đa diện ứng với K.
Ví dụ B.1.3. Hình B.2 là các phức đơn hình và hình B.3 không là các phức đơn hình.
Hình B.2: Các phức đơn hình
Hình B.3: Không là phức đơn hình
Định nghĩa B.1.4. Cho X là một không gian tôpô. Nếu tồn tại một phức đơn hình K sao cho khối đa diện |K| tương ứng của nó đồng phôi với X thì X được gọi là một không gian tam giác phân và phức K được gọi là một tam giác phân của X.
Định nghĩa B.1.5.
(i) Một phức đơn hình L được gọi là phức đơn hình con của phức đơn hình K nếu mọi đơn hình của L đều là đơn hình của K.
(ii) Bao đóng của một k-đơn hình ∆k, kí hiệu là Cl(∆k), là một phức chứa ∆k và tất cả các mặt của nó.
Cho phức đơn hình K và r là một số nguyên thỏar ≤dimK. Kí hiệu
Kr ={∆∈K : dim∆≤r} .
Khi đó Kr là một phức đơn hình con của K.
Định nghĩa B.1.6. Kr được gọi là r-khung của K.
Ví dụ B.1.4.
(i) Xét phức 3 chiều ∆3 = [v0v1v2v3]. 2-khung của bao đóng của ∆3 là phức K mà các đơn hình của nó là các mặt riêng của ∆3.|K|là biên của một khối tứ diện, do đó nó đồng phôi với mặt cầu 2 chiều
S2 =n(x1, x2, x3)∈R3 :
3
X
i=1
x2i = 1o. Vậy S2 là tam giác phân được, với K là một tam giác phân.
(ii) Hình B.4 cho một tam giác phân của băng Mobius, bằng cách cho 2 đỉnh có¨ nhãn a0 đồng nhất với nhau, hai đỉnh có nhãn a3 đồng nhất với nhau, các điểm tương ứng của đoạn thẳng [a0a3] đồng nhất với nhau.
Hình B.4: Tam giác phân của băng M¨obius
B.1.3 Hướng của phức đơn hình
Định nghĩa B.1.7. Một n-đơn hình định hướng, n ≥1, là một n-đơn hình ∆n = [v0, v1, . . . , vn] mà trên đó đã chọn một thứ tự của các đỉnh. Lớp tương đương các phép thế chẵn của thứ tự đã chọn xác định đơn hình định hướng dương +∆n, và lớp
tương đương các phép thế lẻ xác định một đơn hình định hướng âm−∆n. Ta qui ước 0-đơn hình [v0] định hướng dương.
Phức đơn hình định hướng là phức đơn hình mà các đơn hình của nó đều được gán một hướng.
Nếu các đỉnhv0, . . . , vp của một phức K là các đỉnh của một p-đơn hình ∆p, khi đó kí hiệu+[v0, . . . , vp]chỉ lớp các phép thế chẵn của thứ tựv0, . . . , vpvà−[v0, . . . , vp] chỉ lớp các phép thế lẻ. Nếu ta muốn lớp các phép thế chẵn của thứ tự này xác định một đơn hình định hướng dương thì ta có thể viết
+∆p = [v0, . . . , vp] hoặc + ∆p = +[v0, . . . , vp].
Ví dụ B.1.5. Trong 2-đơn hình ∆2 = [v0, v1, v2] với thứ tự v0 < v1 < v2 thì [v0, v1, v2], [v1, v2, v0],và[v2, v0, v1]được kí hiệu chung là+∆2, còn[v0, v2, v1], [v2, v1, v0], và [v1, v2, v0]được kí hiệu chung là −∆2 (hìnhB.5).
Hình B.5: Đơn hình 2 chiều định hướng
B.1.4 Nhóm các dây chuyền p chiều
Cho K là một phức đơn hình. Một dây chuyền p chiều của K là một tổng hình thức
X
α
nα∆pα ,
trong đó ∆p
α là đơn hình p chiều trong phức đơn hình K. Kí hiệu Cp(K) là tập tất cả các dây chuyền p chiều của K.
Với hai dây chuyền p chiềucp =P
αnα∆p α, dp =P αmα∆p α tùy ý của Cp(K), ta định nghĩa: cp+dp =X α (nα+mα)∆pα.
Khi đó Cp(K)cùng với phép cộng được định nghĩa ở trên là một nhóm.
Ví dụ B.1.6. Cho K là một đơn hình 3 chiều (hình B.6)
• Dây chuyền 0-chiều là tổng hình thức: n0v0+n1v1+n2v2+n3v3, ni ∈Z, i= 0,1,2,3.
Hình B.6: Đơn hình 3 chiều định hướng
• Dây chuyền 1-chiều là tổng hình thức:
n01[v0, v1]+n02[v0, v2]+n03[v0, v3]+n12[v1, v2]+n13[v1, v3]+n23[v2, v3], nij ∈Z.
Định nghĩa B.1.8. Ánh xạ ∂p :Cp(K)−→ Cp−1(K) xác định như sau gọi là một đồng cấu biên.
• Nếu ∆p = [v0, . . . , vp] là một đơn hình p chiều của K thì ∂p∆p =X
i
(−1)i[v0, . . . , vi−1,vbi, vi+1, . . . , vp],
trong đó ký hiệu vib có nghĩa là đỉnh vi không xuất hiện trong[v0, . . . , vp]. • Nếu γ =P
αnα∆p
α là một dây chuyền p chiều thì ∂pγ =P
αnα∂p∆p α. Mệnh đề B.1.1. Hợp Cp(X)−∂→p Cp−1(X)−−→∂p−1 Cp−2(X) là đồng cấu zero. Tức là ∂p−1◦∂p = 0. Ví dụ B.1.7. Cho ∆2 = [v0, v1, v2]. Ta có : ∂2∆2 = [v1, v2]−[v0, v2] + [v0, v1] ∂1∂2∆2 = δ1[v1, v2]−δ1[v0, v2] +δ1[v0, v1] = (v2−v1)−(v2−v0) + (v1−v0) = 0 . Nhận xét B.1.1.
(i) Từ mệnh đề trên ta có một dãy các đồng cấu của các nhóm Abel 0−∂−−n+1→Cn(X) ∂n
−→Cn−1(X)−−−→ · · ·∂n−1 ∂1
−→C0(X) ∂0
−→0,
với ∂n∂n+1 = 0, với mọi n. Dãy như trên gọi là phức dây chuyền. (ii) Từ ∂n∂n+1 = 0 ta suy ra Im∂n+1 ⊂Ker∂n.
Với mọi p, đặt
Zp =Ker∂p =γ ∈Cp(X) : ∂pγ = 0 .
Dễ thấy Zp(X) là một nhóm con của Cp(X). Mỗi phần tử của Zp(X) được gọi là một p-chu trình. Kí hiệu :
Bp(X) =Im∂p+1 =nγ ∈Cp(X) : ∃γ0 ∈Cp+1(X) sao cho γ =∂p+1γ0o. Ta có Bp(X) là một nhóm con của Cp(X). Do ∂p ◦∂p+1 = 0 nên Bp(X) ⊂Zp(X). Kí hiệu
Hp(X) = Zp(X) Bp(X) ,
Hp(X) được gọi là nhóm đồng điều đơn hình p chiều của X.
Ví dụ B.1.8. (Tính nhóm đồng điều của S2) Ta có: 0 ∂3 −→C2(S2) ∂2 −→C1(S2) ∂1 −→C0(S2) ∂0 −→0 • Tính H0(S2). Ta có Z0(S2) = Ker∂0 = γ = P3 i=0nivi : ∂0P3i=0nivi = 0 = C0(S2). Mặt khác ∂[v0, v1] =v1−v0 ∈Im∂1 =B0(S2).
Suy ra v1 = v0 mod B0(S2), hay [v0] = [v1]. Lý luận tương tự ta có : [v0] = [v1] = [v2] = [v3].Vậy H0(S2) = Z0(S 2) B0(S2) = n[v0] : n∈Z ≈Z. • Tính H1(S2). Tính toán tương tự ta có H1(S2) = 0. • Tính H2(S2). Do B2(S2) = 0 nên H2(S2) =Z2(S2). Với c2 ∈C2(S2), giả sửc2 =n1[v0, v1, v2] +n2[v0, v1, v3] +n3[v0, v2, v3] +n4[v1, v2, v3]. Khi đó ∂2c2 = n1δ2[v0, v1, v2] +n2δ2[v0, v1, v3] +n3δ2[v0, v2, v3] +n4δ2[v1, v2, v3] = (−n1−n2)[v0, v1] + (n1−n3)[v0, v2] + (n2+n3)[v0, v3] (−n1−n4)[v1, v2] + (−n2+n4)[v1, v3] + (−n3−n4)[v2, v3]
Ta có c2 ∈Z2(S2)⇔∂2c2 = 0.Suy ra −n1−n2 = 0, n1−n3 = 0, n2+n3 = 0, −n1−n4 = 0, −n2+n4 = 0, −n3+n4 = 0, do đó n =n1 =n3, n2 =n4 =−n. Khi đó c2 =n[v0, v1, v2]−n[v0, v1, v3] +n[v0, v2, v3]−n[v1, v2, v3] := n∆. Vậy H2(S2) = Z2(S2) = n∆ : n ∈Z ≈Z.
B.1.5 Các số Betti và đặc trưng Euler
Định nghĩa B.1.9. Số bk:=rankHk(X) được gọi là số Betti thứ k của X.
Ví dụ B.1.9. Cho X = S2, ta có H0(S2) = Z do đó b0 = 1, H1(S2) = 0 suy ra b1 = 0, H2(S2) = Z suy ra b2 = 1.
Cho X là một phức đơn hình n chiều vàCk(X) là nhóm các dây chuyền k chiều. Kí hiệu ak =rankCk(X). Khi đó ak là số các đơn hình k chiều của phức đơn hình X.
Định nghĩa B.1.10. Số Euler của X, kí hiệu là χ(X), được xác định bởi χ(X) = Σnk=0(−1)kak.
Số Euler còn được gọi là đặc trưng Euler.
Định lý B.1.1. (Định lý Euler-Poincaré) Cho X là một phức đơn hình định hướng n-chiều. Khi đó n X k=0 (−1)kak = n X k=0 (−1)kbk . B.2 Đồng điều kì dị
Ta gọi một đơn hình n chiều chuẩn ∆n ⊂Rn+1 là một đơn hình n chiều với các đỉnh là (1,0, . . . ,1), (0,1, . . . ,0), . . ., (0,0, . . . ,1). Tức là ∆n= ( (x0, . . . , xn)∈Rn:xi ≥0, với mọi i ; n X i=1 xi = 1 ) .
Định nghĩa B.2.1. Một trong không gian tôpô X là ánh xạ liên tục σ : ∆n−→X.
Hình B.7: Các đơn hình chuẩn
Trong một phức đơn hình K, một đơn hình n chiều có thể được xem như là một ảnh của đơn ánh liên tục ∆n−→K. Một tam giác phân của không gian tôpô X có thể được xem như một danh sách các đơn ánh liên tục từ các đơn hình chuẩn vào X. Ở đây ta chỉ cần xét ánh xạ liên tục, σ có thể là đơn ánh hoặc không đơn ánh. Do vậy σ có thể không bảo toàn tôpô của ∆n.Chẳng hạn như hình B.8 cho ta ảnh của 3 ánh xạ khác nhau từ ∆1 đến R2, không ánh xạ nào trong chúng là đồng phôi ∆1.
Hình B.8: Các đơn hình kỳ dị
Định nghĩa B.2.2.
• Một dây chuyền kì dị n chiều là tổng hình thức hữu hạn
X
i
niσi , với ni ∈Z và σi : ∆n−→X liên tục.
Kí hiệu Cn(X) là tập các dây chuyền kì dị n chiều.
• Ánh xạ ∂n :Cn(X)−→Cn−1(X) được xác định bởi ∂n(σ) = X
i
(−1)iσ
[v0,···,vbi,···,vn] , được gọi là ánh xạ biên.
Nhận xét B.2.1. Trong công thức trên, ta đồng nhất[v0,· · · ,vib,· · · , vn] với ∆n−1 sao cho thứ tự của các đỉnh được bảo toàn, do đó σ
[v0,···,vbi,···,vn] được xem như một ánh xạ liên tục ∆n−1 −→X, nói cách khác nó là một đơn hình kỳ dị (n-1) chiều.
Mệnh đề B.2.1.
Kí hiệu Zn(X) = ker∂n, và gọi là nhóm các chu trình kỳ dị n chiều, Bn(X) = Im∂n+1, và gọi là các biên n chiều của X. Ta định nghĩa
Hn(X) = Zn(X) Bn(X)
và gọi là nhóm đồng điều kỳ dị n chiều của X, hay là nhóm các lớp tương đương của các chu trình kỳ dị n chiều, với quan hệ tương đương được xác định như sau
γ, γ0 ∈Zn(X) : γ ∼γ0 ⇐⇒γ−γ0 =∂γn+1.
Định nghĩa B.2.3. Không gian tôpô X được gọi không gian liên thông đường nếu với mọi x0, x1 ∈ X, tồn tại một ánh xạ liên tục α : [0,1] −→ X sao cho α(0) = x0, α(1) =x1.
Mệnh đề B.2.2. Nếu Xα, α∈Λ là các thành phần liên thông đường của X thì Hn(X)∼= ⊕
α∈Λ
Hn(Xα) .
Mệnh đề B.2.3. Nếu X là không gian liên thông đường và khác rỗng thì H0(X)∼=
Z . Hệ quả B.2.1. H0(X)∼= k z }| { Z⊕ · · · ⊕Z, với k là số thành phần liên thông đường của X.
Mệnh đề B.2.4. Nếu X là không gian chỉ gồm một điểm, ký hiệu X ={∗}, thì Hn(X) = 0 nếu n >0, Z nếu n = 0.
B.2.1 Quan hệ giữa đồng điều đơn hình và đồng điều kì dị
Định lý B.2.1. Nếu X là không gian tôpô đồng phôi với phức đơn hình K, thì với mọi i ≥ 0, nhóm đồng điều kì dị Hi(X) đẳng cấu với nhóm đồng điều đơn hình Hi(K).
Từ định lý trên ta có
(i) Hn(X) là một bất biến tôpô.
(ii) Ta cóχ(X) =dimC0(X)−dimC1(X) +· · · ,do đó đặc trưng Euler phụ thuộc vào tam giam giác phân. Trong khi đó b0 −b1 +b2 +· · · = rankH0(X)− rankH1(X) +rankH2(X) +· · · ,không phụ thuộc vào tam giác phân. Từ định lý Euler-Poincaré ta suy ra đặc trưng Euler là một bất biến tôpô.
Định lý đơn đạo, 36
đánh giá của Varchenko, 29
đồng cấu biên, 95
đặc trưng Euler, 97
đơn hình, 91
đơn hình kì dị, 98
đường chéo của góc tọa độ dương của
Rn,63
đa diện Newton, 27
của ánh xạ đa thức f, 61
của ánh xạ đa thức f tại vô cùng,
61
đa diện đầy đủ, 64
đa thức
Bernstein-Sato, 37
monic, 24, 90
điều kiện Mikhailov-Gindikin, 63
điểm kỳ dị, 10
không suy biến, 12
bổ đề Morse, 12
bổ đề Van der Corput, 15
bổ để Riemann-Lebesgue, 15 chỉ số dao động, 26 kỳ dị, 27 chuỗi tiệm cận của hàm Gelfand-Leray, 31 của hàm thể tích, 32
dây chuyền p chiều, 94
dạng Gelfand-Leray, 31 giá của hàm f, 11 giá trị chính, 8 hằng số Euler, 50 hàm f−beta,55 f−zeta, 55 k−gamma, 52 tk−beta, 56 tk−zeta, 56 biên độ, 10 gamma ứng với f,43 Gelfand-Leray, 31 phân bố, 10 pha, 10 zeta Hurwitz, 55 zeta Riemann, 54 hạt nhân dao động, 9 kỳ dị dạng đại số, 9 kỳ dị dạng logarit, 9 khoảng cách Newton, 29 lược đồ Newton, 28 mặt của đơn hình, 91 nguyên lý pha dừng, 11 nhóm đồng điều đơn hình, 96 đồng điều kỳ dị, 99 phức đơn hình, 92
phép biến đổi Hilbert, 8 Laplace, 48 phân thớ Milnor, 34 phương pháp pha dừng, 10 số Betti thứ k, 97 số Milnor, 35 tích phân dao động, 9 loại I, 9, 10,14, 19 loại II, 9 tập dưới mức, 15, 20, 23 tập nửa đại số, 90
tam giác phân, 93
toán tử vi phân, 36
[AGZV88] V. I. Arnold, S. M. Gusein-Zade, and A. N. Varchenko.Singularities of Differentiable Maps. Vol. II. Boston - Basel - Berlin: Birkh¨auser, 1988. [Arn73] V. I. Arnold. “Remarks on the stationary phase method and Coxeter
numders”. In: Uspekhi Mat. Nauk. 28.5 (173) (1973), pp. 17–44.
[Bar02] Barvinok.A course in convexity. American Mathematical Society, 2002. [Bar04] E.W. Barnes. “On the theory of the multiple gamma functions”. In:
Trans. Cambridge Phil. Soc. 19.1 (1904), pp. 374–425.
[Bar99] E.W. Barnes. “The theory of G-function”. In:Quat. J. Math31.1 (1899), p. 264.
[Ber72] I.N. Bernstein. “The analytic continuation of generalized functions with respect to a parameter”. In:Funkts. Analyz. 6.4 (1972), pp. 26–40. [BG69] I.N. Bernstein and S.I. Gelfand. “Meromorphic property of the function
Pλ”. In: Funk. Anal. Pri.3.1 (1969), pp. 84–85.
[Bjo79] J. E. Bjork.Rings of Differential Operators. Amsterdam: North Holland, 1979.
[Bon75] Jean-Michel Bony. “Polynomes de Bernstein et monodromie”. In:ˆ Seminaire´ N. Bourbaki 459 (1975), pp. 77–110.
[Bro83] A. Brondsted.An Introduction to Convex Polytopes. Springer - Verlag, 1983.
[CCW99] A. Carbery, M. Christ, and J. Wright. “Multidimensional Van Der Cor- put and Sublevel Set Estimates”. In: Journal of The American Mathe- matical Society 12.4 (1999), pp. 981–1015.
[Cor34] J.G. Van Der Corput. “Zur methode der stationaren phase”. In:¨ Com- positio Math.1 (1934), pp. 15–38.
[Cro05] Martin D. Crossley.Essential Topology. Springer, 2005.
[Cro78] Fred H. Croom.Basic Concepts of Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1978.
[DB07] L. Debnath and D. Bhatta.Integral Transforms and Their Applications. Boca Raton - London - New York: Chapman & Hall/CRC, 2007.
[DNS05] J. Denef, J. Nicase, and P. Sagos. “Oscillating Integrals and Newton polyhedra”. In:J. Anal. Math. 95 (2005), pp. 147–172.
[DP07] R. Díaz and E. Pariguan. “On hypergeometric functions and Pochham- mer k-symbol”. In: Divulgaciones Matemáticas 15.2 (2007), pp. 179– 192.
[Dun84] Dinh Dung. “Number of Integral Points in a Certain Set and the Ap- proximation of Functions of Several Variables”. In:Matematicheskie Ze- marki 36.4 (1984), pp. 479–491.
[Erd56] A. Erd´elyi.Asymptotic expansions. New York: Dover Publications, Inc., 1956.
[Fed71] M.V. Fedoryuk. “The stationary phase method and pseudodifferential operators”. In: Russ. Math. Surv. 26.1 (1971), pp. 65–115.
[Fed77] M.V. Fedoryuk.The saddle-point method (by Russian). Moscow: Nauka, 1977.
[Fed89] M.V. Fedoryuk. Analysis I. Integral Representations and Asymptotic Methods , Part II: Asymptotic methods in Analysis. Berlin: Springer- Verlag, 1989, pp. 83–191.
[Gin74] S.G. Gindikin. “Energy estimates connected with the Newton polyhe- dron”. In:Trans. Moscow Math. Soc. 31 (1974), pp. 193–246.
[Gra10] M. Granger. “Bernstein-Sato polynomials and functional equations”. In: Algebraic approach to differential equations. Edited by Lê Dung Trang. World Scientic publishing company (2010), pp. 225–291.
[Gre10] M. Greenblatt. “Oscillatory integral decay, sublevel set growth, and the Newton polyhedron”. In: Math. Ann.346.4 (2010), pp. 857–895.
[Gre11] M. Greenblatt. “Resolution of singularities in two dimensions and the stability of integrals”. In:Advances in Mathematics 226 (2011), pp. 1772– 1802.
[Gre12] M. Greenblatt. “Stability of oscillatory integral asymptotics in two di- mensions”. In:J. Geom. Anal. (2012).
[Gru03] B. Grunbaum.Convex polytopes. Springer, 2003.
[GS94] A. Grigis and J. Sjostrand.¨ Microlocal analysis for differential operators. An introduction. Cambridge University Press, 1994.
[GV92] S. Gindikin and L. R. Volevich. The Method of Newton’s Polyhedron in the Theory of Partial Differential Equations. Kluwer Academic Pub- lichers, 1992.
[Kar09] A. I. Karol0. “Newton Polyhedra, Asymptotics of Volumes, and Asymp- totics of Exponential Integrals”. In: Amer. Math. Soc. Transl. 228.2 (2009), pp. 13–30.
[Kar86a] V.N. Karpushkin. “A theorem concerning uniform estimates of oscilla- tory integrals when the phase is a function of two variables”. In:J.Soviet