d, n Khi đó
1.8Tiệm cận thể tích
1.8.1 Dạng Gelfand-Leray
Xét tích phân dao động sau:
Z
Rn
eiλφ(x)f(x)dx. (1.17) Theo Định lý Fubini, bằng cách thực hiện phép đổi biến φ = t, ta đưa Tích phân (1.17) về dạng Z +∞ −∞ eiλt Z φ=t f dx1∧. . .∧dxn/dφ dt . (1.18)
(n−1)-dạng ψ =f dx1∧. . .∧dxn/dφ được gọi là dạng Gelfand-Leray của n-dạng ω, với dφ∧ψ =ω. Ta ký hiệu ψ :=ω/dφ.
Nhận xét 1.8.1. Trong công thức biểu diễn (1.18) ta có tích phân dao động là biến đổi Fourier của hàm
J(t) =
Z
φ=t
f dx1∧. . .∧dxn/dφ. Hàm này được gọi là hàm Gelfand-Leray.
Hàm Gelfand-Leray trơn tại các giá trị khác giá trị tới hạn của hàm pha. Trong một lân cận của giá trị tới hạn t0 của hàm pha, hàm Gelfand-Leray có thể biểu diễn thành một chuỗi tiệm cận có dạng (xem [AGZV88])
X α n−1 X k=0 ak,α(t−t0)α(ln(t−t0))k, t→t0. trong đó α chạy trên một tập con rời rạc của tập số thực.
Vậy nếu biết chuỗi tiệm cận của hàm Gelfand-Leray ta có thể xác định chuỗi tiệm cận của tích phân dao động và ngược lại tiệm cận của tích phân dao động cho ta thông tin về tiệm cận của hàm Gelfand-Leray.
1.8.2 Thể tích của tập dưới mức
Giả sử hàm pha φ có một cực tiểu cô lập và giá trị cực tiểu của hàm pha bằng không. Giả sử rằngf ≡1trong một lân cận của điểm cực tiểu. Ta kí hiệuJ là hàm Gelfand-Leray và xét hàm
V(t) =
Z t
0
J(s)ds .
Rõ ràng với giá trị dương đủ nhỏ của đối số, hàm V(t) bằng thể tích của tập dưới mức của hàm pha. Do đó tiệm cận của hàm thể tích của tập dưới mức xác định tiệm cận của tích phân dao động trong trường hợp hàm pha có một cực tiểu cô lập và hàm biên độ bằng hằng số trong một lân cận của điểm cực tiểu đó của hàm pha.
Định lý 1.8.1 ([AGZV88]). Giả sử φ là một hàm giải tích có một cực tiểu cô lập và giá trị cực tiểu bằng không. Khi đó ta có, hàm thể tích V(t) của tập mức dưới được khai triển thành chuỗi tiệm cận
X α n−1 X k=0 ak,αtα(lnt)k khi t→0+.
Ở đây α chạy khắp một số hữu hạn các cấp số cộng gồm các số hữu tỉ dương.
Chứng minh định lý trên có thể xem ở [AGZV88], trang 257-258.
1.8.3 Tích phân kiểu Laplace
Gọi D0 = (d, . . . , d)∈Rn là điểm giao của Γ+(φ)và đường thẳng ∆(t), plà số bậc tự do của siêu phẳng tựa của Γ+(φ) tại điểm D0.
Định nghĩa 1.8.1. Lược đồ Newton của một hàm được gọi là lược đồ cực tiểu nếu nó cắt tất cả các trục tọa độ, và tất cả các đỉnh của nó chỉ có các tọa độ chẵn.
Năm 1977, V.A. Vassiliev đã xét dáng điệu tiệm cận của tích phân Laplace dạng
I(λ) =
Z
Rn
e−φ(hx)f(x)dx, khi h→+0, (1.19) trong đóφ :Rn−→Rlà hàm trơn có 0là điểm cực tiểu duy nhất, vàf là hàm trơn có giá compact. Ông ta đã đưa ra các công thức tiệm cận thể tích của tập dưới mức của hàm φ và tiệm cận của tích phân Laplace một cách tường minh thông qua lược đồ Newton của hàm φ tại 0. Các kết quả đó được phát biểu bởi các định lý sau
Định lý 1.8.2 (Vassiliev, [Vas77]). Cho φ: (Rn,0)−→(R,0) là một hàm giải tích có một cực tiểu cô lập tại 0. Nếu với mọi mặt ∆ của Γ+(φ) ta có φ∆(x)>0 thì
|{x∈Rn:φ(x)< φ(0) +h}| h1d|lnh|p, khi h→+0.
Định lý 1.8.3 (Vassiliev, [Vas77]). Cho φ : (Rn,0)−→ (R,0) là một hàm trơn có điểm cực tiểu duy nhất là 0, và f : (Rn,0)−→(R,0) là hàm trơn có giá compact và f(0) = 0. Gọi Γ(φ−φ(0)) là lược đồ Newton cực tiểu của hàm φ−φ(0). Nếu với mọi mặt ∆ của Γ+(φ−φ(0)) ta có (φ−φ(0))∆(x)≥0 thì Z Rn e−φ(hx)f(x)dx e−φ(0)h h1d|lnh|p, khi h→+0.
Nhận xét 1.8.2. Theo V.A. Vassiliev, từ Định lý1.6.2 ta suy ra số bội của chỉ số dao động của điểm cực tiểu chính là số bậc tự do của siêu phẳng tựa của Γ+(φ) tại điểm D0 (xem [Vas77]). Nói cách khác