Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng
2.4 Hàm gamma suy rộng Hàm gamma Euler
Hàm gamma Euler Γ(s) = Z +∞ 0 e−tts−1dt,
là một trong những hàm đặc biệt quan trọng vì vai trò của nó trong Toán học, Vật lý, và nhiều lĩnh vực khác, nó có quan hệ chặt chẽ với các hàm zeta, beta. Trong phần này chúng tôi mở rộng hàm gamma Euler cùng với các hàm đặc biệt liên quan với nó.
Với đa thức một biến f(t)≥0 ,ta có thể đặt tương ứng nó với một hàm, gọi là "hàm gamma ứng với f", được xác định bởi
Γf(s) :=
Z ∞
0
f(t)s−1e−tdt . (2.1) Hàm này có nhiều tính chất tương tự như hàm gamma Euler. Chúng tôi sẽ giới thiệu một số kết quả bước đầu về phương trình hàm kiểu gamma đối với hàm Γf(s) trong một số trường hợp.
Việc mở rộng hàm gamma Euler đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà Toán học và Vật lý, và đã có nhiều kết quả đáng chú ý. E.W. Barnes đã định nghĩa hàm gamma bội bằng cách mở rộng công thức biểu diễn hàm zeta Hurwitz [Bar99; Bar04]. E.L. Post đã làm theo một cách khác bằng cách mở rộng công thức biểu diễn giới hạn của hàm gamma Euler [Pos19]. Hàm gamma bội Vignéras được tìm ra từ Định lý Bohr- Morellup [Vig79]. Năm 2007, Díaz và Pariguan [DP07] đã giới thiệu khái niệm hàm k−gamma bằng cách mở rộng ký hiệu Pochhammer. Gần đây M.Mansour [Man09] đã chỉ ra rằng hàm k−gamma có thể được đặc trưng như một nghiệm duy nhất của một hệ các phương trình hàm.
Cách tiếp cận của chúng tôi hoàn toàn khác với các tác giả trên, bắt nguồn từ câu hỏi về sự tồn tại của một phương trình hàm được thỏa mãn bởi hàm gamma ứng với một đa thức. Với đa thức f(t), giả sử rằng đa thức đó dương khi t > 0,
chúng tôi định nghĩa hàm gamma tương ứng với f như trong (2.1).
Vế phải của (2.1) là một hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng phứcRe(s)>1−1
k, với k là số bội của f tại t = 0. Nếu f(t) = t thì Γf(s) chính là hàm gamma Euler Γ(s). Ta có Γ(s) thỏa mãn phương trình hàm quen thuộc
Γ(s+ 1) =sΓ(s) . (2.2)
Mặt khác, ta lại có d dtt
s =sts−1, nên đa thức Bernstein-Sato của f(t) =t được xác định bởi B(s) =s. Khi đó phương trình hàm (2.2) có thể viết dưới dạng
Γ(s+ 1) =
+∞Z Z
0
e−ttsdt =B(s)Γ(s).
Một câu hỏi tự nhiên1 là hàm gamma tương ứngΓf(s)có thỏa mãn một phương trình hàm có dạng như (2.2) hay không.
Giả thuyết 2.4.1. Cho f(t) là một đa thức dương khi t > 0. Khi đó tồn tại một đa thức B(s) sao cho phương trình sau được thỏa mãn
Γf(s+ 1) =B(s)Γf(s) . (2.3) Nói chung, đa thức B(s) phải phụ thuộc vào f và được phỏng đoán là đa thức Bernstein-Sato củaf. Trong mục2.5 chúng tôi sẽ đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên trong trường hợp đặc biệt f là đơn thức. Ở đó chúng tôi cũng sẽ giới thiệu một vài tính chất thú vị của hàm Γf(s), chúng được xem như là sự mở rộng các tính chất tương ứng của hàm gamma Euler. Mục 2.6 được dành để định nghĩa các hàm zeta và beta tương ứng với f. Cuối cùng chúng tôi sẽ đưa ra một phản ví dụ cho giả thuyết 2.4.1.
