Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tập nửa đại số
3.2Phát biểu các kết quả
Với một đa thức ϕ(x) = P
aαxα ∈R[x1, . . . , xn], ta gọi giá của ϕlà tập hợp supp(ϕ) :={α∈Zn
+ : aα 6= 0} .
Cho f = (f1, . . . , fm) :Rn−→Rm là một ánh xạ đa thức. Ta ký hiệu Γ(f) = conv∪m
i=1supp(fi) là bao lồi của tập hợp m∪
i=1supp(fi), và gọi Γ(f) là đa diện Newton của f. Tương tự tập hợpΓ∞(f) :=conv∪m
i=1supp(fi)∪ {0}được gọi là đa diện Newton củaf tại vô cùng.
Ví dụ 3.2.1. Cho f :R3 −→R2 xác định bởif(x, y, z) = (x2+y2, x2y2z4). Khi đó đa diện Newton của ánh xạ f là Γ(f) và đa diện Newton của ánh xạ f tại vô cùng là Γ∞(f)được xác định như Hình 3.1.
Ví dụ 3.2.2. Cho g : R3 −→ R3 xác định bởi g(x, y, z) = (1, x2 +y2, z4). Khi đó Γ(g) và Γ∞(g) được xác định như Hình3.2.
Hình 3.2: (a) - đa diện Newton củag (b) - đa diện Newton của g tại vô cùng
Định nghĩa 3.2.1 ([Zie95]). Cho P ⊂Rn là một đa diện lồi bị chặn.
(i) Một bất đẳng thức tuyến tính cx≤c0, trong đóx, c,∈Rn, c0 ∈R, được gọi là nghiệm đúng đối với P nếu nó được thỏa mãn với mọi điểm x∈P.
(ii) Một mặt của P là một tập hợp có dạng
F =P ∩ {x∈Rn :cx=c0},
trong đó cx≤c0 là một bất đẳng thức nghiệm đúng đối với P.
(iii) Số chiều của một mặt là số chiều của bao affine của nó, nghĩa là dimF := dim(aff(F)).
Nhận xét 3.2.1. Từ định nghĩa 3.2.1 ta cóOx≤0, do đó P cũng là một mặt của chính nó. Mặt F của P thỏa mãn F (P được gọi là một mặt thực sự của P.
Giả sửfi(x) =P ai αxα và ∆ là một mặt củaΓ(f). Ta đặt fi∆(x) = X α∈∆ aiαxα .
Định nghĩa 3.2.2. Ta nói ánh xạ f thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin nếu với mọi mặt ∆⊂Γ(f), ta có
max|fi∆(x)| 6= 0, i= 1, . . . , m,
trong (R\ {0})n.
Ký hiệu coneΓ(f) là nón sinh bởiΓ(f), tức là
coneΓ(f) = y ∈Rn :y=λx với λ≥0 và x∈Γ(f) ,
và ∆+(d) là đường chéo của góc tọa độ dương của Rn xác định bởi ∆+(d) ={(d1, . . . , dn)∈Rn+:d1 =. . .=dn}.
Gọi D∞Γ(f) là điểm xa nhất, tính từ gốc tọa độ, trong các giao điểm của Γ(f) với đường chéo ∆+(d), và Λ∞ là mặt có số chiều nhỏ nhất của Γ(f) cắt ∆+(d) tại điểm D∞Γ(f).
Ký hiệu k :=dimΛ∞, D∞Γ(f) := (d∞, . . . , d∞), θ:= 1 d∞
và vn := (1, . . . ,1)∈Rn.
Định lý 3.2.1. Cho f = (f1, . . . , fm) :Rn −→Rm là một ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Khi đó ta có
(i) Gf(r) < ∞, với mọi r > 0, nếu và chỉ nếu vectơ vn thuộc phần trong của coneΓ(f).
(ii) Nếu Gf(r)<∞ thì ta có
|Gf(r)| rθ(lnr)n−k−1, khi r → ∞ . Tiếp theo, ta xây dựng khái niệm đa diện Newton đầy đủcủa f. Với α, β ∈Rn, ta viết α4β nếu αj ≤βj, với mọi j = 1, . . . , n. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định nghĩa 3.2.3. Ta gọi đa diện Newton đầy đủ của f là đa diện eΓ(f)nhận được từ đa diện Γ(f) bằng cách thêm tất cả các α ∈ Rn
+ sao cho với mỗi α đó, tồn tại β ∈Γ(f) thỏa mãn α4β.
Nhận xét 3.2.2.
(i) Dễ kiểm tra eΓ(f) là bao lồi nhỏ nhất trong Rn
+ chứa Γ(f) và cắt tất cả các trục tọa độ bởi các mặt tương ứng vuông góc với các trục đó.
(ii) Γ(e f)chứa gốc tọa độ và cắt đường chéo của góc tọa độ dương trong Rn.
Gọi D∞eΓ(f) là điểm xa nhất, tính từ gốc tọa độ, trong các giao điểm của đường chéo ∆+(d) và Γ(e f), ký hiệu D∞Γ(e f) = (de∞, . . . ,de∞) và θ0 = 1
e
d∞
. Gọi Λe∞ là mặt có số chiều nhỏ nhất của eΓ(f)cắt ∆+(d)tại điểmD∞Γ(e f)và ký hiệu k0 :=dimΛe∞. Đặt
o
Rn:={(x1, . . . , xn)∈Rn :xj 6= 0, j= 1, . . . , n}.
Định lý 3.2.2. Cho f = (f1, . . . , fm) :Rn −→Rm là một ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Khi đó ta có
(i) Card Zf(r)<∞ với mọi số thực dương r nếu và chỉ nếu coneΓ(f)∩ Ron6=∅.
(ii) Hơn nữa, nếu Card Zf(r)<∞ thì ta có
Card Zf(r) rθ0(lnr)n−k0−1 khi r→ ∞ . Nhận xét 3.2.3.
(i) Từ định lý3.2.1 và3.2.2ta suy ra với điều kiện Mikhailov-Gindikin, các đẳng thức θ =θ0, k =k0 đúng khi và chỉ khi Λ =Λe, nghĩa làΛ là một mặt chung của Γ(f)và Γ(e f).
(ii) Nếu m= 1 thì phát biểu (ii) của Định lý3.2.1 là kết quả trong [Sin04], nó là trường hợp tại vô cùng của kết quả trong [Vas77].
(iii) Nếu f là một ánh xạ đơn thức
f : Rn −→ Rm,
x 7−→ (xα1, . . . , xαm),
trong đó α1, . . . , αm ∈ Nn, thì các số mũ trong các công thức tiệm cận của |Gf(r)| và Card Zf(r) đã được Đinh Dũng tính toán trong [Dun84]. Lưu ý rằng Đinh Dũng phát biểu kết quả của ông ta theo các bài toán qui hoạch tuyến tính và không sử dụng các đa diện Newton.
Cho Γ là một đa diện lồi bị chặn trong Rn+, có các đỉnh thuộc (N∪ {0})n. Ta định nghĩa
MΓ :=nf :Rn −→Rm : m∪
i=1supp(fi)⊂Γo, NΓ :={f :Rn−→Rm : Γ(f) = Γ} ,
DΓ :=f :Rn →Rm : Γ(f) = Γ, và f thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin , Theo thứ tự từ điển trên tập hợp các đơn thức, ta có thể đồng nhấtMΓ với một không gian hữu hạn chiều trên R. Khi đó NΓ và DΓ là các tập hợp con của không gian này.
Định lý 3.2.3. Với các giả thiết trên, DΓ là tập mở trong NΓ.