Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi đơn trị: Một hàm f : D → R
xác định trên tập lồi D được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ D và λ ∈ [0,1] ta luôn có
f(λx+ (1−λ)y) ≤λf(x) + (1−λ)f(y).
Trong phần này chúng tôi luôn giả thiết D là tập con lồi của không gian tuyến tính X và Y là không gian tuyến tính với nón C. Ta nhắc lại khái niệm hàm véctơ lồi theo nón.
Định nghĩa 1.3.13. Giả sử f : D → Y là hàm véctơ. Ta nói rằng: (i) f là C- lồi trong D nếu với mọi x, y ∈ D và α ∈ [0,1], ta luôn có
f(αx+ (1−α)y) ∈ αf(x) + (1−α)f(y)−C.
(ii) f là C- giống như tựa lồi (quasiconvex-like) trong D nếu với x1, x2 ∈ D và α ∈ [0,1] thì luôn tồn tại chỉ số i ∈ {1,2} sao cho
f(αx1 + (1−α)x2) ∈ f(xi)−C.
Các khái niệm dưới đây là mở rộng các khái niệm trên cho ánh xạ véctơ đa trị.
Định nghĩa 1.3.14. Cho F :D →2Y là ánh xạ đa trị. Ta nói rằng: (i) F là C- lồi trên trong D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, t ∈ [0,1], thì
tF(x1) + (1−t)F(x2) ⊆ F(tx1 + (1−t)x2) +C. (ii) F là C- lồi dưới trong D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, t ∈ [0,1],
F(tx1 + (1−t)x2) ⊆tF(x1) + (1−t)F(x2)−C.
Định nghĩa 1.3.15. Cho F :D →2Y là ánh xạ đa trị. Ta nói rằng: (i) F là C- giống như tựa lồi trên trong D nếu với mọi x1, x2 ∈ D và α ∈ [0,1], thì tồn tại j ∈ {1,2} sao cho
F(xj) ⊆ F(αx1 + (1−α)x2) +C.
(ii) F là C- giống như tựa lồi dưới trong D nếu với mọi x1, x2 ∈ D và α ∈ [0,1], tồn tại j ∈ {1,2} sao cho
F(αx1 + (1−α)x2) ⊆F(xj)−C.
Nhận xét 1.3.16. Các khái niệm C-lồi và C- giống như tựa lồi của ánh xạ đa trị là hoàn toàn khác nhau. Ví dụ sau đây của Ferro [26] minh họa cho điều đó.
Ví dụ 1.3.17. Xét các ánh xạ F, G : R → R2 xác định bởi F(x) = (x13;x) và G(x) = (x; 1−x).
Với nón C = R2+, ta dễ dàng kiểm tra được F là ánh xạ C- giống như tựa lồi nhưng không là C- lồi và ánh xạ G là C- lồi nhưng không là C- giống như tựa lồi.
Định nghĩa 1.3.18. Cho F : D ×D −→ 2Y là ánh xạ đa trị. Ta nói rằng:
(i) F là C- lồi trên theo đường chéo (diagonally upper C-convex) đối với biến thứ nhất nếu với mọi tập hữu hạn {x1, x2, . . . , xn} ⊆ D và x = n P i=1 αixi, αi ≥ 0, n P i=1 αi = 1, ta luôn có n X i=1 αiF(xi, x) ⊆ F(x, x) +C.
(ii) F là C- lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ nhất nếu với mọi tập hữu hạn {x1, x2, . . . , xn} ⊆ D và x = n P i=1 αixi, αi ≥ 0, n P i=1 αi = 1, ta luôn có F(x, x) ⊆ n X i=1 αiF(xi, x)−C.
Định nghĩa 1.3.19. Cho F : D ×D −→ 2Y là ánh xạ đa trị. Ta nói rằng:
(i) F là C- giống như tựa lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ nhất nếu với mọi tập hữu hạn {x1, x2, ..., xn} ⊆ D và x =
n P i=1 αixi, αi ≥ 0, n P i=1
αi = 1, luôn tồn tại j ∈ {1, . . . , n} sao cho F(xj, x) ⊆ F(x, x) +C.
(ii) F là C- giống như tựa lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ nhất nếu với mọi tập hữu hạn {x1, x2, ..., xn} ⊆ D và x =
n P i=1 αixi, αi ≥ 0, n P i=1
αi = 1, luôn tồn tại j ∈ {1, . . . , n} sao cho F(x, x) ⊆ F(xj, x)−C.