Bài toán tựa cân bằng
2.1.4. Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ Giả sử L(X, Y)là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ
Giả sử L(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y và f ∈ L(X, Y). Giả sử φ : D −→ Y là ánh xạ đơn trị và S : D×K −→ 2D, T :D ×K −→2K, G : D ×K −→ 2L(X,Y) là các ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng. Xét các bài toán bất đẳng thức tựa biến phân sau:
1. Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ Pareto: Tìm(¯x,y)¯ ∈ D×K sao cho x¯∈ S(¯x,y),¯ y¯∈ T(¯x,y)¯ và
2. Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu: Tìm (¯x,y)¯ ∈ D×K sao cho x¯∈ S(¯x,y),¯ y¯∈ T(¯x,y)¯ và
G(¯x,y)(x¯ −x) +¯ φ(x)−φ(¯x) 6⊆ −intC với mọi x ∈ S(¯x,y).¯
Định nghĩa 2.1.19. Giả sử F : D → 2L(X,Y) là ánh xạ đa trị. Ta nói rằng:
(i) F là C- giả đơn điệu đối với φ nếu với mọi x, z ∈ D
F(x)(x−z) +φ(z)−φ(x) 6⊆ −intC =⇒ F(z)(z−x) +φ(x)−φ(z) ⊆ −C. (ii) F là C- giả đơn điệu mạnh đối với φ nếu với mọi x, z ∈ D
F(x)(x−z)+φ(z)−φ(x) 6⊆ −C\{0} =⇒F(z)(z−x)+φ(x)−φ(z) ⊆ −C. Hệ quả 2.1.20. Giả sử D, K, S, T được cho như trong Định lý 2.1.8. Hơn nữa, giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) φ là C- lồi dưới;
(ii) Với mỗi y ∈ K, ánh xạ G(., y) : D → 2L(X,Y) là C- giả đơn điệu mạnh đối với φ;
(iii) Với mỗi (y, z) ∈ K×D, ánh xạ x 7−→ G(x, y)(z−x)+φ(z)−φ(x) là C-hemi liên tục trên;
(iv) Tập {(x, y, z) ∈ D×K×D : G(x, y)(z−x) +φ(z)−φ(x) ⊆ −C}
là đóng trong D×K ×D.
Khi đó bài toán bất đẳng thức tựa biến phân Pareto có nghiệm.
Chứng minh. Chứng minh của hệ quả này suy ra từ Định lý 2.1.8 bằng cách chọn F(y, x, z) = G(x, y)(z−x) +φ(z)−φ(x).
Hệ quả 2.1.21. Giả sử D, K, S, T cho như trong Định lý 2.1.12. Hơn nữa, giả sử rằng:
(i) φ là C- lồi dưới;
(ii) Với mỗi y ∈ K, ánh xạ G(., y) : D → 2L(X,Y) là C- giả đơn điệu đối với φ;
(iii) Với mỗi (y, z) ∈ K×D, ánh xạ x 7−→ G(x, y)(z−x)+φ(z)−φ(x) là C- hemi liên tục dưới;
(iv) Tập {(x, y, z) ∈ D×K×D : G(x, y)(z−x) +φ(z)−φ(x) ⊆ −C}
là đóng trong D×K ×D.
Khi đó bài toán bất đẳng thức tựa biến phân yếu có nghiệm.
Chứng minh. Chứng minh của hệ quả này suy ra từ Định lý 2.1.12 bằng cách chọn F(y, x, z) = G(x, y)(z−x) +φ(z)−φ(x).