2, 2) Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D → 2 D bở
3.4.1. Bài toán tựa cân bằng loại
Hệ quả 3.4.1. Giả sử D, K, C, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.3.3 và F(y, x, x)∩C 6= ∅ với mọi (x, y) ∈ D ×K. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ Chứng minh. Bởi chứng minh Định lý 3.3.3, tồn tại x¯ ∈ P1(¯x) và
max z∈F(y,¯x,x¯) hξ, zi ≤ max z∈F(y,x,x¯) hξ, zi với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x),¯ trong đó ξ ∈ C0+ cố định. Từ F(y,x,¯ x)¯ ∩C 6= ∅, max z∈F(y,x,¯x¯) hξ, zi ≥ 0. Suy ra max z∈F(y,x,x¯) hξ, zi ≥ 0 với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ (3.10) Ta chỉ ra
F(y, x,x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ Giả sử tồn tại x∗ ∈ P2(¯x) và y∗ ∈ Q(x,x)¯ sao cho
F(y∗, x∗,x)¯ ⊆ −C\{0}. Bao hàm thức này kéo theo
max
z∈F(y∗,x∗,x¯)
hξ, zi < 0. Điều này mâu thuẫn với (3.10).
Do vậy x¯∈ P1(¯x) và
F(y, x,x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 3.4.2. Giả sử D, K, C, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.3.5 và F(y, x, x)∩C 6= ∅ với mọi (x, y) ∈ D ×K. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯
Chứng minh. Sử dụng Định lý 3.3.5 và chứng minh tương tự như Hệ quả 3.4.1.
Hệ quả 3.4.3. Giả sử D, K, C, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.3.8 và F(y, x, x) ⊆C với mọi (x, y) ∈ D×K. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x)¯ ∩(−C\{0}) = ∅ với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ Chứng minh. Theo chứng minh của Định lý 3.3.8, tồn tại x¯ ∈ P1(¯x) và
min
z∈F(y,¯x,x¯)hξ, zi ≤ min
z∈F(y,x,x¯)hξ, zi với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x),¯ trong đó ξ ∈ C0+. Vì F(y,x,¯ x)¯ ⊆ C, nên
min z∈F(y,x,¯x¯)hξ, zi ≥ 0. Từ đó suy ra min z∈F(y,x,x¯) hξ, zi ≥ 0 với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ (3.11) Ta chỉ ra rằng
F(y, x,x)¯ ∩ (−C\{0}) = ∅ với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ Giả sử ngược lại, tồn tại x∗ ∈ P2(¯x) và y∗ ∈ Q(x∗,x)¯ sao cho
F(y∗, x∗,x)¯ ∩(−C\{0}) 6= ∅.
Khi đó tồn tại ¯a ∈ Y sao cho ¯a ∈ F(y∗, x∗,x)¯ ∩(−C\{0}). Do đó
min
z∈F(y∗,x∗,x¯)
hξ, zi ≤ hξ,¯ai < 0. Điều này mâu thuẫn với (3.11).
Từ đó suy ra x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x)¯ ∩ (−C\{0}) = ∅ với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 3.4.4. Giả sử D, K, C, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.3.9 và F(y, x, x) ⊆C với mọi (x, y) ∈ D×K. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x)¯ ∩(−C\{0}) = ∅ với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x).¯ Chứng minh. Sử dụng Định lý 3.3.9 và chứng minh tương tự như Hệ quả 3.4.3.
Nhận xét 3.4.5. Hệ quả 3.4.1 và Hệ quả 3.4.2 thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto trên loại II với giả thiết C0+ 6= ∅ và trong các hệ quả đó chúng tôi không sử dụng giả thiết về tính giả đơn điệu theo nón của ánh xạ đa trị trong Hệ quả 2.2.8. Hệ quả 3.4.3 và Hệ quả 3.4.4 cho ta điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto dưới loại II, sự tồn tại nghiệm của bài toán này cho đến nay chưa được xét đến.