Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto
3.2.1. Bài toán tựa cân bằng loạ
Hệ quả 3.2.1. Giả sử D, K, C, S, T và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1.1 và F(y, x, x)∩C 6= ∅ với mọi (x, y) ∈ D×K. Khi đó tồn tại (¯x,y)¯ ∈ D ×K sao cho x¯∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và
F(¯y,x, x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ S(¯x).
Chứng minh. Theo chứng minh Định lý 3.1.1, tồn tại x¯ ∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và max z∈F(¯y,x,x¯ ) hξ, zi ≥ max z∈F(¯y,x,¯x¯) hξ, zi với mọi x ∈ S(¯x), trong đó ξ ∈ C0+ cố định. Vì F(¯y,x,¯ x)¯ ∩C 6= ∅ nên max z∈F(¯y,x,¯x¯)hξ, zi ≥ 0. Từ đó suy ra max z∈F(¯y,x,x¯ ) hξ, zi ≥ 0 với mọi x ∈ S(¯x). (3.6)
Ta chứng minh
F(¯y,x, x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ S(¯x). Giả sử tồn tại x∗ ∈ S(¯x) sao cho
F(¯y,x, x¯ ∗) ⊆ −C\{0}. Khi đó ta có
max
z∈F(¯y,x,x¯ ∗)hξ, zi < 0. Điều này mâu thuẫn với (3.6).
Do vậy x¯∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và
F(¯y,x, x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ S(¯x). Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 3.2.2. Giả sử D, K, C, S, T và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1.2 và F(y, x, x)∩C 6= ∅ với mọi (x, y) ∈ D×K. Khi đó tồn tại (¯x,y)¯ ∈ D ×K sao cho x¯∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và
F(¯y,x, x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ S(¯x). Chứng minh. Chứng minh tương tự như Hệ quả 3.2.1.
Hệ quả 3.2.3. Giả sử D, K, C, S, T và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1.8 và F(y, x, x) ⊆ C với mọi (x, y) ∈ D ×K. Khi đó tồn tại (¯x,y)¯ ∈ D ×K sao cho x¯ ∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và
F(¯y,x, x)¯ ∩ (−C\{0}) =∅ với mọi x ∈ S(¯x).
Chứng minh. Theo chứng minh Định lý 3.1.8, tồn tại x¯ ∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và min z∈F(¯y,x,¯x¯) hξ, zi ≤ min z∈F(¯y,x,x¯ ) hξ, zi với mọi x ∈ S(¯x), trong đó ξ ∈ C0+ cố định. Từ F(¯y,x,¯ x)¯ ⊆ C, min z∈F(¯y,x,¯x¯)hξ, zi ≥ 0. Do đó ta có min z∈F(¯y,x,x¯ )hξ, zi ≥ 0 với mọi x ∈ S(¯x). (3.7)
Ta chỉ ra
F(¯y,x, x)¯ ∩ (−C\{0}) =∅ với mọi x ∈ S(¯x). Giả sử ngược lại, tồn tại x∗ ∈ S(¯x) sao cho
F(¯y,x, x¯ ∗)∩(−C\{0}) 6= ∅. Khi đó tồn tại một phần tử ¯a ∈ Y sao cho
¯
a ∈ F(¯y,x, x¯ ∗)∩(−C\{0}). Từ đó suy ra
min
z∈F(¯y,x,x¯ ∗)hξ, zi ≤ hξ,¯ai < 0. Điều này mâu thuẫn với (3.7).
Do vậy x¯∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và
F(¯y,x, x)¯ ∩ (−C\{0}) =∅ với mọi x ∈ S(¯x). Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 3.2.4. Giả sử D, K, C, S, T và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1.9 và F(y, x, x) ⊆ C với mọi (x, y) ∈ D ×K. Khi đó tồn tại (¯x,y)¯ ∈ D ×K sao cho x¯ ∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và
F(¯y,x, x)¯ ∩ (−C\{0}) =∅ với mọi x ∈ S(¯x).
Chứng minh. Sử dụng Định lý 3.1.9 và chứng minh tương tự như Hệ quả 3.2.3.
Ví dụ 3.2.5. Giả sử X = Z = R, Y = R2, D = K = [0,1], C = (−∞,0]×(−∞,0], S(x) = T(x) = [0,1] và F(y, x, x0) = [0, xy]×[0, x0], với mọi (y, x, x0) ∈ K ×D ×D. Ta dễ dàng kiểm tra được các giả thiết (i), (ii), (iii), (iv), (v) trong Hệ quả 3.2.1 thỏa mãn và F(y, x, x)∩C 6= ∅. Bằng cách trực tiếp kiểm tra, ta thấy [0,1]×[0,1] là tập nghiệm của bài toán (U P QEP): Tìm (¯x,y)¯ ∈ D ×K sao cho x¯∈ S(¯x),y¯∈ T(¯x) và
F(¯y,x, x)¯ 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ S(¯x).
Nhận xét 3.2.6. (i) Giả thiết F(y, x, x)∩C 6= ∅với mọi (x, y) ∈ D×K, trong Hệ quả 3.2.1 không thể bỏ đi được.
Ví dụ 3.2.7. Giả sử X = Z = R, Y = R2, D = K = [0,1], C = (−∞,0]×(−∞,0], S(x) = T(x) = [0,1] và F(y, x, x0) = [0, xy]×[x0,1], với mọi (y, x, x0) ∈ K ×D ×D. Khi đó các giả thiết (i), (ii), (iii), (iv), (v) trong Hệ quả 3.2.1 được thỏa mãn, nhưng F(y, x, x)∩C = ∅ với mọi x > 0 và bài toán (U P QEP) không có nghiệm.
(ii) Hệ quả 3.2.1 và Hệ quả 3.2.2 thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto trên loại I với giả thiết C0+ 6= ∅ và trong các hệ quả đó chúng tôi không sử dụng giả thiết về tính giả đơn điệu theo nón của ánh xạ đa trị trong Định lý 2.1.8. Hệ quả 3.2.3 và Hệ quả 3.2.4 cho ta điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto dưới loại I, sự tồn tại nghiệm của bài toán này cho đến nay chưa được xét đến.