Để mô hình hóa quá trình lan truyền sóng siêu âm, vật liệu bê tông trong mô hình được xem như vật liệu rắn đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng. Phương trình lan truyền sóng này được thiết lập dựa trên việc kết hợp giữa phương trình chuyển động và định luật Hooke. Việc triển khai và chứng minh các biểu thức được trình bày chi tiết trong Phụ lục 1.
Phương trình mô tả sự lan truyền sóng âm ba chiều trong vật rắn đàn hồi có thể được viết như biểu thức sau:
(λ+μ)
Khai triển biểu thức này, ta có được phương truyền lan truyền sóng âm trong môi trường đàn hồi đẳng hướng ba chiều với hệ tọa độ Oxyz (bỏ qua ảnh hưởng của lực khối).
38 ( x ( y ( z x y
Trường hợp bài toán hai chiều, phương trình chuyển động (1.1) trở thành (bỏ qua ảnh hưởng của lực khối):
σ Các thành phần ten-xơ ứng suất : σ xx σ yy σ xy
Hay có thể viết lại như sau :
Phương trình mô tả sự lan truyền sóng âm (2.1) trở thành:
39 u 2 t 2 u 2 t 2 (2.6) Đ â y c h í n h l à p h ư ơ n g t r ì n h m
Quan hệ ứng suất và biến dạng như sau: ( σ i j ) =
Với D là ma trận ứng suất biến dạng. Trường hợp biến dạng phẳng : D = Trường hợp ứng suất phẳng: D( εij ) ) (
D = (2.9) 2 . 2 . M
hữu hạn
Để mô phỏng quá trình lan truyền sóng âm, phương pháp PTHH được sử dụng để giải phương trình mô tả lan truyền sóng âm trong môi trường như đã thiết lập ở trên. Chi tiết về cơ sở lý thuyết của phương pháp PTHH được trình bày trong Phụ lục 2.
40
2.2.1. Xác định các ma trận đặc trưng của phương pháp phần tử hữu hạn
Tại thời điểm t, xét thể tích V giới hạn bởi mặt S của môi trường đang chuyển động. Trong toàn thể tích, trường vận tốc là v, chịu tác dụng của lực khối là K, còn trên biên S tại mỗi phần tử chịu tác dụng của vec tơ ứng suất Tn. Phương trình chuyển động của một phần tử trong môi trường, Biểu thức (1.2) đã được trình bày ở Chương
1 có thể được viết như sau:
(2.10)
Trong môi trường có kể đến ảnh hưởng của cản, định luật Hooke được thể hiện như sau [88]:
σ
ij (2.11)
Trong đó: σij và ɛmn là các ten xơ ứng suất và ten xơ biến dạng bé, cijmn là các hằng số đàn hồi và ηijmn là các hệ số cản của môi trường.
Thay Biểu thức (2.11) vào phương trình chuyển động (2.10) và bỏ qua ảnh hưởng của lực khối, ta được:
c
ijmn
Năng lượng của hệ thống được xác định như sau [88]: (2.12)
F (u, t ) =
V
We (u, t ) =ti uidS (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
St
(2.13)
41
Trong công thức trên, P là thế năng hay năng lượng biến dạng, K là động năng, Wd là năng lượng suy giảm do giảm chấn và We là công của ngoại lực tác dụng lên bề mặt vật thể khi giả thiết bỏ qua lực khối.
Phương trình (2.13) có thể viết dạng khác như sau: δF =
ji,i V
(2.15)
Chia vật thể liên tục thành một số hữu hạn các phần tử có kích thước nhỏ (phần tử hữu hạn), các phần tử hữu hạn liên kết với nhau qua các nút. Chuyển vị của phần tử u theo thời gian được thể hiện qua chuyển vị nút Q qua hàm dạng như sau:
u (x, t ) = N i Trong đó m là tổng số nút trên phần tử Ne. Ta có: (2.16) (2.17)
Thay Biểu thức (2.16) vào Biểu thức (2.15), và với định, ta được:
δQ
Ở đây:
Mijmn = ρNm Nn δijdV
Ve
Cijmn = ij,i Nm ηijmn ji, jNn dV Ve
Kijmn = ij,i Nm c ijmnji, jNn dV V
e
Fim = Nm t i dS
Set
Fe = 0 cho môi trường ổn
Trong đó: M, C, K, F là các ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng và vectơ tải trọng.
42
2.2.1.1. Ma trận độ cứng và khối lượng
Ma trận độ cứng tổng thể K và ma trận khối lượng tổng thể M của toàn bộ kết cấu được ghép nối từ các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của các phần tử:
K =
M = T
Trong đó: Te là ma trận chuyển đổi các chuyển vị nút từ hệ tọa độ địa phương oxyz gắn liền với phần tử e sang hệ tọa độ tổng thể OXYZ, Be là ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị nút, De là ma trận ứng suất biến dạng (ma trận các hằng số đàn hồi). Đối với bài toán mô phỏng hai chiều, Luận án sử dụng các phần tử tam giác 3 nút và phần tử này phù hợp với bài toán biến dạng phẳng. Hàm dạng, ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của phần tử tam giác 3 nút được xác định như sau [18]:
Hàm dạng:
N1
Ma trận độ cứng của phần tử e được xác định như sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
K
(2.23)
(2.24)
Trong đó: te là bề dày phần tử, Ae là diện tích phần tử.
Ma trận khối lượng Me của phần tử tam giác được viết như sau:
Me
2.2.1.2. Ma trận cản
43
Trong đó: , β là các hệ số cản khối lượng và cản độ cứng Rayleigh. Các hệ số này phụ thuộc sự suy giảm năng lượng sóng khi lan truyền trong bê tông, do vậy, việc xác định các hệ số này được thực hiện thông qua thực nghiệm. Đối với bài toán mô phỏng lan truyền sóng trong Luận án, các hệ số này sẽ được xác định dựa trên phương pháp thực nghiệm đề xuất trong Chương 3.
2.2.2. Giải phương trình bằng phương pháp tích phân số Newmark
Cơ sở lý thuyết của phương pháp tích phân số Newmark được trình bày chi tiết trong Phụ lục 2.
Khai triển các chuỗi Taylor của chuyển vị và các đạo hàm theo thời gian của nó [88]:
Q
t + Δt
Q t + Δt = Q t
Trong đó βN và γN được chọn từ kinh nghiệm.
Tại t+Δt, phương trình chuyển động (2.20) trở thành: 1 β N Δt 1 + β N Δt (2.29)
Phương pháp này là ổn định có điều kiện đối với γN và βN được chọn phù hợp. Để các lời giải phương trình (2.29) là ổn định đối với Δt bất kỳ, cần có [88]:
γN
1 2, β
N
(2.30)
Đây là điều kiện ổn định không có điều kiện đối với sơ đồ tích phân Newmark. Nếu các điều kiện trên không thỏa mãn, sự ổn định có điều kiện tồn tại với Δt Δtcr , trong đó:
44
Trên cơ sở bài toán về tính ổn định trên đây, có thể xác định điều kiện ổn định cho bài toán truyền sóng trong môi trường đàn hồi như sau [65]:
• Bước thời gian Δt phải nhỏ hơn bước thời gian tới hạn Δtcr (đối với hệ không cản, Δtcr phụ thuộc vào tần số cao nhất trong phần tử nhỏ nhất).
tt (2.32)
• Khi giả sử các biến dạng của phần tử là nhỏ, thường chọn bước thời gian tới hạn là thời gian quá độ của sóng dọc đi qua phần tử nhỏ nhất trong mô hình.
tt
(2.33) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong đó: ΔL là kích thước phần tử nhỏ nhất, cL là vận tốc sóng của sóng dọc. Với phần tử tam giác đều bậc nhất, giá trị ΔL được mô tả trên Hình 2.1. Bước không gian thường được sử dụng sao cho phải có ít nhất 8 nút trên bước sóng ngắn nhất được sử dụng và thỏa mãn biểu thức sau:
Δx
ΔL
ΔL
(2.34)
(a) (b) (c)
Hình 2.1. Giá trị ΔL cho các trường hợp: a) phần tử hình chữ nhật, b) phần tử hình tam giác, c) phần tử tam giác bậc 2.
MQ (2.35)
Các giá trị tại thời điểm i+1 được tính toán từ giá trị đã biết ở thời điểm i. Vận tốc và chuyển vị tại thời điểm i+1 được xác định bằng phương trình [88]:
45 Q = Q i+1 = Qi +Qi Δt+(1-γN )ΔtQi +γN ΔtQ Q i+1
Với Δt là bước thời gian; γ là các tham số với phương pháp gia tốc trung bình; γ N =1/2, β N =1/6 là các tham số với phương pháp gia tốc tuyến tính. Trong Luận án, phương pháp gia tốc trung bình được sử dụng trong tính toán.
Thay phương trình (2.36) vào phương trình (2.35), ta nhận được giá trị gia tốc
Q
i +1 tại bước thời gian i+1 theo phương trình sau:
M
eff Q
i +1
= F
eff
Với Meff là khối lượng hiệu dụng; Feff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian, được tính từ biểu thức:
M
eff
F = F
eff i +1
(2.38)
Thay giá trị Qi +1 vào (2.36), ta nhận được giá trị chuyển vị tại bước thời gian i+1.
2.2.3. Thuật toán giải phương trình chuyển động
Q và vận tốc Qi +1
Thuật toán để giải phương trình chuyển động bằng phương pháp số Newmark, nhằm mô phỏng sự lan truyền sóng trong bê tông, được trình bày trên Hình 2.2.
Đối với điểm phát sóng, ta áp đặt một kích thích dạng chuyển vị tại điểm phát sóng. Chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại điểm phát sóng được xác định như sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
số Poisson (ν).
• Nguồn phát sóng: Giả thiết tạo ra chuyển vị theo phương x (hoặc phương y) là một sóng hình sin tại điểm phát sóng (xp,yp), theo biểu thức: q=q1sin(ωt).
46
Trong đó q là chuyển vị theo phương x (hoặc y), q1 là biên độ sóng, ω=2πf, f là tần số phát sóng.
Khai báo các thông số đầu vào: Đặc tính vật liệu, nguồn phát sóng, tham số Newmark.
Vẽ mô hình, rời rạc hóa kết cấu, xác định bước thời gian Δt
Tính toán ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M và ma trận cản C trong phương trình
Áp đặt điều kiện ban đầu: chuyển vị
Xác định tại thời điểm k: chuyển vị
Cập nhật chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại điểm phát sóng:
Dùng phương pháp Newmark để xác định tại thời điểm k+1: chuyển vị
Lưu kết quả và vẽ trường chuyển vị
SAI k=nt
ĐÚNG
Lưu kết quả và kết thúc
k=k+1
48
2.3. Kết quả mô phỏng số lan truyền sóng siêu âm trong các mẫu bê tông
Chương trình mô phỏng được xây dựng trên phần mềm Matlab dựa trên thuật toán đã đề xuất ở trên. Việc mô phỏng lan truyền sóng được thực hiện qua 4 mẫu khảo sát bao gồm: mẫu không có khuyết tật, mẫu có khuyết tật (vết nứt, lỗ trống) và mẫu có cốt thép.
2.3.1. Mẫu khảo sát
Các kết cấu công trình trong thực tế thường sử dụng hai vật liệu bê tông và cốt thép kết hợp với nhau, và cũng thường xuất hiện các vết nứt hoặc lỗ trống bên trong kết cấu bê tông. Vì vậy, bốn loại mẫu khảo sát khác nhau bao gồm mẫu chuẩn, mẫu có khuyết tật (vết nứt, lỗ trống) và mẫu có cốt thép được nghiên cứu trong Luận án này. Các mẫu khảo sát được thể hiện như ở Hình 2.3.
• Mẫu 1: Khối bê tông hình lập phương có kích thước 15x15x15cm3, các bề mặt của mẫu xem là các biên tự do.
• Mẫu 2: Khối bê tông hình lập phương có kích thước 15x15x15cm3, có một lỗ trống ở giữa đường kính 3cm. Các bề mặt của mẫu xem là các biên tự do, đường biên giữa mẫu và lỗ trống cũng được xem là biên tự do.
• Mẫu 3: Khối bê tông hình lập phương có kích thước 15x15x15cm3, có một thanh thép đường kính 3cm ở giữa mẫu. Biên liên kết giữa bê tông và thanh thép được xem là biên liên tục.
• Mẫu 4: Khối bê tông hình lập phương có kích thước 15x15x15cm3, vết nứt mở có bề rộng 2mm và dài 10cm. Biên giữa vết nứt và mẫu là biên tự do. Trong bài toán mô phỏng, đặc tính vật liệu bê tông được lấy cho đối tượng bê
tông sử dụng vật liệu phế phẩm là tro bay và bột đá. Các giá trị đặc tính của bê tông được đo đạc từ thực nghiệm (Chương 3) như sau: khối lượng riêng ρ=2320,3kg/m3, mô-đun đàn hồi Eb=3,51.104MPa, hệ số Poisson ν=0,2, các hệ số cản Rayleigh: =18962,25rad/s và β=1,65.10-7s/rad. Cốt thép có khối lượng riêng ρ=7800kg/m3, mô-đun đàn hồi E=2.105MPa, hệ số Poisson ν=0,3.
Bước không gian và bước thời gian được lấy thỏa mãn các Biểu thức (2.34) và (2.33): Bước không gian Δx=5mm và bước thời gian Δt=Δx/c (với c là vận tốc lan truyền sóng, c=4355m/s). Số bước thời gian thực hiện mô phỏng là 150 bước.
Hình 2.3. Hình dạng các mẫu khảo sát
Tại điểm phát sóng (xp=7,5cm; yp=0), kích thích một hàm chuyển vị hình sin theo thời gian. Giả thiết là chỉ kích thích chuyển vị theo phương y, khi đó các biểu thức chuyển vị tại điểm phát sóng theo thời gian bằng: q yp = q1 sin(ωt) . Trong đó q1 là biên độ sóng (q1=0,1mm), ω=2πf, nguồn phát sóng siêu âm có tần số trung tâm là f=54kHz.
50 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tín hiệu (chuyển vị) được thu nhận tại 3 điểm khác nhau nằm tại các tọa độ: Điểm 1: x=7,5cm; y=5cm; điểm 2: x=7,5cm; y=10cm; điểm 3: x =7,5cm; y=15cm (Hình 2.3).
2.3.2. Hình ảnh lan truyền sóng siêu âm trong các mẫu
Kết quả mô phỏng cho thấy sự lan truyền sóng siêu âm trong các mẫu bê tông theo không gian và thời gian, và sự khác nhau rõ rệt ở các trường hợp mô phỏng (Hình 2.4). Với các mẫu 2 (lỗ trống) và mẫu 4 (vết nứt), lỗ trống và vết nứt ngăn cản đáng kể sự truyền sóng âm từ phía trên xuống phía dưới. Do đó, giá trị chuyển vị tại khu vực bị che khuất bởi lỗ trống và vết nứt nhỏ hơn nhiều so với trường hợp không có lỗ trống, vết nứt. Hình ảnh lan truyền sóng của mẫu 1 và mẫu 3 cũng khác nhau, vì mẫu 1 chỉ có bê tông, trong khi mẫu 3 có cốt thép ở giữa.
a) Mẫu 1 b) Mẫu 2
c) Mẫu 3 d) Mẫu 4
2.3.3. Phân tích chuyển vị tại các điểm nhận sóng
Đối với khối bê tông (mẫu 1), khảo sát giá trị chuyển vị tại điểm 1, điểm 2 và điểm 3, kết quả được thể hiện ở Hình 2.5. Kết quả cho thấy sóng đến điểm 1 trước, sau đó lần lượt đến điểm 2 và điểm 3. Điều này hoàn toàn phù hợp, bởi vì các điểm 1 và 2 gần nguồn phát sóng hơn điểm 3.
Để thấy rõ sự khác nhau khi sóng siêu âm lan truyền trong các mẫu khác nhau, nghiên cứu tiến hành khảo sát giá trị chuyển vị tại điểm 2 và điểm 3 của cả bốn trường hợp mẫu. Các điểm 2 và điểm 3 là các điểm nằm khuất sau lỗ trống (mẫu 2), cốt thép (mẫu 3) và vết nứt (mẫu 4) (Hình 2.6).
Thời gian (μs)
Hình 2.5. Giá trị chuyển vị tại điểm 1, 2 và 3 của mẫu 1
Kết quả từ Hình 2.6 cho thấy như sau:
• Ở mẫu 1 (bê tông) và mẫu 3 (bê tông và cốt thép ở giữa), sóng siêu âm đến điểm khảo sát 2 và điểm 3 trước và có giá trị lớn hơn so với mẫu 2 (lỗ trống) và mẫu 4 (vết nứt).
• Trường hợp mẫu 4 (vết nứt) sóng siêu âm sẽ đến điểm khảo sát 2 và điểm 3 chậm nhất và giá trị chuyển vị cũng là nhỏ nhất.
Các kết quả khảo sát trên là hoàn toàn phù hợp vì lỗ trống (mẫu 2) và vết nứt (mẫu 4) ngăn cản đáng kể sự lan truyền của sóng siêu âm đến điểm nhận sóng. Ngoài ra, từ các giá trị chuyển vị tại các điểm nhận sóng, có thể phân biệt được các mẫu nguyên vẹn, có vết nứt và lỗ trống bên trong bằng kỹ thuật siêu âm.
52
Thời gian (μs)
Thời gian (μs)
Hình 2.6. Giá trị chuyển vị tại điểm 2 và điểm 3 của 4 mẫu khảo sát
2.3.4. Đánh giá kết quả mô phỏng thông qua thực nghiệm
Chương trình mô phỏng Matlab được đánh giá thông qua thực nghiệm bằng cách so sánh tỉ lệ suy giảm biên độ sóng siêu âm khi qua mẫu 1 tại điểm 3 (Hình 2.3) từ kết quả mô phỏng và đo đạc thực nghiệm.
Trong phép đo thu nhận tín hiệu sóng tại điểm 3 thuộc mẫu 1, thiết bị phát sóng là máy siêu âm Tico của hãng Proceq, Thụy Sỹ (Hình 2.7a), tần số phát xung là 54kHz. Để thu nhận tín hiệu dạng sóng của sóng siêu âm, cảm biến thu siêu âm Tico, thiết bị thu nhận tín hiệu số SYSAM-SP5 của hãng Eurosmart, Cộng hòa Pháp (Hình
2.7b) được sử dụng. Thiết bị được kết nối với máy tính thông qua phần mềm Latis- Pro (Hình 2.8).
a) Máy siêu âm Tico b) SYSAM-SP5
Hình 2.7. Thiết bị để thu nhận tín hiệu sóng
Hình 2.8. Kết nối thiết bị để thu nhận tín hiệu sóng
Kết quả chuyển vị uy tại điểm phát sóng được thể hiện như Hình 2.9a và chuyển vị tại điểm 3 thuộc mẫu 1 từ chương trình mô phỏng Matlab được thể hiện