Tại thời điểm t, xét thể tích V giới hạn bởi mặt S của môi trường đang chuyển động. Trong toàn thể tích, trường vận tốc là v, chịu tác dụng của lực khối là K, còn trên biên S tại mỗi phần tử chịu tác dụng của vec tơ ứng suất Tn. Phương trình chuyển động của một phần tử trong môi trường, Biểu thức (1.2) đã được trình bày ở Chương
1 có thể được viết như sau:
(2.10)
Trong môi trường có kể đến ảnh hưởng của cản, định luật Hooke được thể hiện như sau [88]:
σ
ij (2.11)
Trong đó: σij và ɛmn là các ten xơ ứng suất và ten xơ biến dạng bé, cijmn là các hằng số đàn hồi và ηijmn là các hệ số cản của môi trường.
Thay Biểu thức (2.11) vào phương trình chuyển động (2.10) và bỏ qua ảnh hưởng của lực khối, ta được:
c
ijmn
Năng lượng của hệ thống được xác định như sau [88]: (2.12)
F (u, t ) =
V
We (u, t ) =ti uidS
St
(2.13)
41
Trong công thức trên, P là thế năng hay năng lượng biến dạng, K là động năng, Wd là năng lượng suy giảm do giảm chấn và We là công của ngoại lực tác dụng lên bề mặt vật thể khi giả thiết bỏ qua lực khối.
Phương trình (2.13) có thể viết dạng khác như sau: δF =
ji,i V
(2.15)
Chia vật thể liên tục thành một số hữu hạn các phần tử có kích thước nhỏ (phần tử hữu hạn), các phần tử hữu hạn liên kết với nhau qua các nút. Chuyển vị của phần tử u theo thời gian được thể hiện qua chuyển vị nút Q qua hàm dạng như sau:
u (x, t ) = N i Trong đó m là tổng số nút trên phần tử Ne. Ta có: (2.16) (2.17)
Thay Biểu thức (2.16) vào Biểu thức (2.15), và với định, ta được:
δQ
Ở đây:
Mijmn = ρNm Nn δijdV
Ve
Cijmn = ij,i Nm ηijmn ji, jNn dV Ve
Kijmn = ij,i Nm c ijmnji, jNn dV V
e
Fim = Nm t i dS
Set
Fe = 0 cho môi trường ổn
Trong đó: M, C, K, F là các ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng và vectơ tải trọng.
42