Trước khi ta đưa ra những ứng dụng xa hơn của (2.3.1) và (2.3.2), ta cần giới thiệu hai định nghĩa sau:
2.4.1. Định nghĩa:
(a) Môđun PR được gọi là có quan hệ hữu hạn (finitely related) nếu tồn tại dãy khớp 0→K → → →F P 0 trong MR, với F là tự do (có hạng tùy ý), và K là hữu hạn sinh. (b) ) Môđun PR được gọi là có biểu diễn hữu hạn (finitely presented) nếu tồn tại dãy khớp 0→K → → →F P 0 trong MR, với F là tự do có hạng hữu hạn, và K là hữu hạn sinh. (hoặc tương đương, tồn tại dãy khớp Rm →Rn → →P 0, ,∀m n∈ ).
2.4.2. Mệnh đề
(a) Môđun PRlà có biểu diễn hữu hạn nếu và chỉ nếu nó vừa là hữu hạn sinh vừa là có quan hệ hữu hạn.
(b) Cho PR là môđun có biểu diễn hữu hạn, và :β Q→P là toàn cấu. Nếu Q là hữu hạn sinh thì Kerβ cũng là hữu hạn sinh.
(c) Môđun PR có quan hệ hữu hạn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của môđun tự do (có hạng tùy ý) và môđun có biểu diễn hữu hạn.
Chứng minh:
(a). Chiều ⇒] là hiển nhiên, ta chứng minh chiều ⇐].
Giả sử P vừa hữu hạn sinh vừa có quan hệ hữu hạn, theo định nghĩa, ta có các dãy khớp 0→ → k → →0
L R P và 0→K → → →F P 0, với k∈, F là tự do và K là hữu hạn sinh. Do k
R và F là xạ ảnh nên theo bổ đề Schanuel ta có R-đẳng cấu
k
L⊕ ≅ ⊕F K R , ta có K ⊕Rk là hữu hạn sinh nên L là hữu hạn sinh. Vậy P có biểu diễn hữu hạn.
(b). Cố định toàn cấu : k
R Q
α → , với k< ∞, ta có toàn cấu hợp thành βα:Rk →P
cảm sinh toàn cấu Ker( )βα →Ker( )β .
Do P có biểu diễn hữu hạn nên P là hữu hạn sinh nên Ker( )βα hữu hạn sinh và do đó
( )
(c). Chiều ⇐] là hiển nhiên, ta chứng minh chiều ⇒].
Giả sử P có quan hệ hữu hạn, xét dãy khớp 0→K → → →F P 0, với F là tự do và K
là hữu hạn sinh, ta có thể phân tích F như sau : F =F1⊕F2 , với F1 là tự do và F2 là tự do hữu hạn sinh chứa K. Nhưng P≅F K/ ≅F1⊕(F2/ K) với F1 là tự do và F2/K
có biểu diễn hữu hạn. □
2.4.3. Mệnh đề: Vành Rlà vành Nơte nếu và chỉ nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là có biểu diễn hữu hạn.
Chứng minh: Đầu tiên, giả sử R là vành Nơte. Cho P là R-môđun phải hữu hạn sinh, và cố định toàn cấu f R: k →P k( ∈). Ta biết k
R là môđun Nơte, nên Kerf cũng là Nơte và do đó là hữu hạn sinh. Điều này cho ta P là có biểu diễn hữu hạn.
Ngược lại, giả sử mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là có biểu diễn hữu hạn. Cho
U ⊆ R là iđêan phải bất kì, xét dãy khớp 0→ → →U R R U/ →0 trong MR. Do /
R U là cyclic và do đó có biểu diễn hữu hạn. Áp dụng (2.4.2)(b) thì UR là hữu hạn sinh. Điều đó cho thấy vành Rlà Nơte. □
2.4.4. Định lí: Cho PR là môđun có quan hệ hữu hạn trên vành R bất kì. P là dẹt nếu và chỉ nếu P là xạ ảnh.
Chứng minh: Chiều ⇐] là hiển nhiên, ta chứng minh chiều ⇒].
Giả sử P là dẹt. Cố định dãy khớp 0→ K → → →F P 0, với F là tự do và K là hữu hạn sinh bởi các phần tử c1,...,cn. Theo (2.3.1), tồn tại θ∈HomR(F K, ) với
( )ci ci, i
θ = ∀ . Do đó θ là đồng cấu đồng nhất trên K và dãy khớp 0→K → → →F P 0 là chẻ. Vậy PR là môđun xạ ảnh. □
2.4.5. Định lí:Môđun PR là dẹt khi và chỉ khi với bất kì R-đồng cấu :λ M →P với M
là R-môđun có biểu diễn hữu hạn, thì tồn tại các R-đồng cấu M Rm P (m )
µ υ
→ → < ∞
thỏa λ µ υ= . (tức là bất kì sự phân tích của λ đều thông qua môđun hữu hạn sinh).
Chứng minh: ⇒] giả sử P là dẹt, và λ đã cho với M là R-môđun có biểu diễn hữu hạn, nên M có thể được sinh ra bởi hữu hạn phần tử x1,...,xn. Xét một số hữu hạn các
hệ thức ( ) 1 0 1 n j jl j x r l p = = ≤ ≤ ∑ với aj =λ( )xj ∈P, ta có j jl 0 j a r = ∑ . Do P là dẹt, ta có thể tìm được bi∈P 1( ≤ ≤i m) và sij∈R 1( ≤ ≤i m,1≤ ≤j n) như trong (2.3.2)(3). Gọi e1,..em là cơ sở của m
R và xác định : m
R P
µ → bởi µ( )ei =bi, và v M: →Rm
bởi ( )j i ij i
v x =∑e s , định nghĩa này là tốt, do:
0 j jl i ij jl i ij jl j j i i j v x r e s r e v s r = = = ∑ ∑∑ ∑ ∑ . Bây giờ ( )j i ij i ij j ( )j , i i v x e s b s a x j µ =µ = = =λ ∀ ∑ ∑ , nên µv=λ trên M.
Chiều ngược được chứng minh tương tự. □
2.4.6. Hệ quả:Môđun PR là dẹt khi và chỉ khi với bất kì R-toàn cấu :ϕ Q→P và bất kì R-môđun M có biểu diễn hữu hạn, mọi đồng cấu :λ M →P có thể được mở rộng đến :ψ M →Q.
Chứng minh: Trước hết, giả sử P là dẹt, và cho trước , ϕ λ như ở trên. Do (2.4.5) ta có phân tích của λ là
v m
M R P
µ
→ → , với mọi m< ∞. Do Rm là tự do, nên µ có thể mở rộng đến : m
R Q
δ → . Lấy ψ δ= v M: →Q ta có ϕψ =( )ϕδ v=µv=λ .
Ngược lại, xét :λ M →P với M là R-môđun có biểu diễn hữu hạn bất kì. Cố định toàn cấu :ϕ F →M với F là môđun tự do. Theo giả thiết λcó thể được mở rộng đến
:
v M →F. Do M là hữu hạn sinh, nên v M( ) chứa trong môđun con tự do hữu hạn sinh F0 của F. Lấy µ ϕ= |F0 , ta thu được sự phân tích của λ thông qua F0 :
0
v
M F P
µ
→ → . Nên theo (2.4.5), ta có P là dẹt. □
2.4.7. Định lí (Lazard, Govorov): Môđun PR là dẹt nếu và chỉ nếu PR là giới hạn trực tiếp của các môđun tự do hữu hạn sinh.
Chứng minh: Theo (2.1.4) và (2.1.5) mọi giới hạn trực tiếp của môđun xạ ảnh là dẹt. Do đó ta chỉ chứng minh chiều ⇒].
Cho F là môđun tự do với cơ sở {e(p,n):(p n, )∈ ×P } và cho ϕ:F →P được xác định bởi ϕ( )e(p n, ) = p.
Ta sẽ xác định tập trực tiếp I như sau: phần tử α∈I là cặp α =(L Kα, α), với Lα là tập con hữu hạn của P×, và Kαlà môđun con hữu hạn sinh của Kerϕ nằm trong
Fα là môđun con tự do của F với cơ sở {e(p,n):(p n, )∈Lα}. Với , α β∈I, ta định nghĩa α β≤ nếu Lα ⊆Lβ và Kα ⊆ Kβ. Đặt Pα =Fα /Kα là môđun có biểu diễn hữu hạn.
Với α β≤ , ta có ánh xạ tự nhiên Pα →Pβ , nên ta có hệ thống trực tiếp {Pα :α∈I}. Ánh xạ tự nhiên Pα → Pcảm sinh limPα P
→ → , dễ nhận thấy từ đẳng cấu.
Điểm chính của chứng minh là chứng tỏ rằng, nếu P là dẹt thì tập I0 ={β∈I P: β là tự do (hữu hạn sinh) }là cofinal trong I, cho nên P là giới hạn trực tiếp của các môđun tự do hữu hạn sinh {Pβ :β∈I0}.
Chứng minh I0 là cofinal trong I. Gọi α∈I, do (2.4.5) nên Pα → P có phân tích
v m
P R P
µ
α→ → (với m< ∞ ).
Ta xác định “chỉ số” mới β =(L Kβ, β)∈I như sau: Cho {e1,...,em} là cơ sở của m
R và đặt pi =µ( )ei ∈P. Ta lấy Lβ :=Lα ∪{(p n1, 1) (,..., p nm, m)}⊆ ×P , với n1,..., nm được chọn riêng biệt và thỏa (p ni, i)∉Lα. Xác định : m
Fβ R
ψ → với ψ (p ni, i)=ei và
(p n, ) v e( (p n, ) Kα)
ψ = + với (p n, )∈Lα. Rỏ ràng, µψ ϕ= |Fβ, nên Kerψ ⊆Kerϕ. Do ψ là toàn cấu nên chẻ. Do đó, Kerψ là hữu hạn sinh va điều đó dự đoán để xác định Kβ =Kerψ Fα Pα v ψ Fβ Pβ P Rm
Từ việc xác định ψ , ta có Kα ⊆Kβ nên α β≤ . Cuối cùng, β∈I0, do
| m
Pβ =Fβ Kβ ≅R .
□