Tích trực tiếp của các môđun dẹt

Các chủ đề tiếp theo tôi muốn đưa ra là tích trực tiếp của các môđun. Nói chung, nếu

( )

P i∈I là các R-môđun dẹt, thì P=∏iPi không phải là dẹt. Nhưng định lí Chase đã xác định được những vành R mà i

P=∏ Pluôn là dẹt, đó là các vành Coherent trái được định nghĩa ở mục này.

Cho B ii( ∈I) là R-môđun phải và A là R-môđun trái. Ta có đồng cấu nhóm tự nhiên

( ) ( )

: i R i

iB A i B A

ε ∏ ⊗ →∏ ⊗ được xác định trên các phần tử sinh của miền xác định bởi (ε(b⊗a))i = ⊗bi a với b=( )bi i I∈ ∈∏iB ai, ∈A.

Trong trường hợp đặc biệt, mỗi Bi =RR, ta có thể đồng nhất Bi ⊗R A với A như thường lệ, và có được ánh xạ : I I R R A A δ ⊗ → được xác định bởi b⊗a( )b ai i I∈ , với b∈∏iR.

Nói chung ε không là đẳng cấu. Ví dụ, R=, lấy Bi = /i (i∈) và A=, ta có ( i R ) ( )0

i B ⊗ A =

∏ do B là xoắn và Alà chia được. Tuy nhiên, ta có phép nhúng từ

 vào i

∏ nên cũng có phép nhúng từ  vào (∏iBi)⊗ (do  là -dẹt). Do đó ánh xạ ε có miền xác định khác 0 và miền giá trị là 0, nên εkhông là đơn ánh. Mặt khác, nếu ta chọn Bi = (i∈) và A= thì ánh xạ :( )

i i

ε ∏  ⊗→∏ 

không là toàn ánh, do bất kì ( ) (qi i I∈ qi∈)∈Imε, do đó mọi qi phải nằm trong 1

n

đối với mẫu số chung n.

Cho R-môđun trái A, hai mệnh đề tiếp theo xác định chính xác những gì cần thiết để đảm bảo rằng ε là toàn ánh hoặc song ánh.

2.6.1. Mệnh đề: Với bất kì R-môđun trái A, các điều kiện sau là tương đương : (1) ε là toàn ánh với mọi họ R-môđun phải { }Bi .

(2) δ là toàn ánh với mọi tập chỉ số I. (3) A là R-môđun hữu hạn sinh.

Chứng minh:

(3)⇒(1) Chú ý rằng ε là đẳng cấu trong trường hợp đặc biệt n

A=R . Cho A là hữu hạn sinh, cố định toàn cấu n

R → A, so sánh các ánh xạ εcho Rn và cho

A trong hình thức của sơ đồ giao hoán, ta dễ dàng nhận thấy εlà toàn ánh cho A. (1)⇒(2)Hiển nhiên vì δlà trường hợp đặc biệt của ε .

(2)⇒(3)Ta giả sử (2) với I = A, cụ thể là : A A R

R A A

δ ⊗ → là toàn ánh. Trong thực tế, ta chỉ cần giả sử rằng t∈Imδ với t là phần tử đặc biệt trong A

( ) a t =a ∀ ∈a A . Ta đặt 1 n j j j t δ b a =   =  ⊗ 

∑  với bj∈RA, aj∈A. Ta có, với mỗi a∈A

thì a ( ( j j)) ( )j a j j a j a= =t ∑ δ b ⊗a =∑ b a nên 1 . n j j A R a = =∑ . □

2.6.2. Mệnh đề: Với bất kì R-môđun trái A, các phát biểu sau là tương tương. (1) ε là song ánh với mọi họ R-môđun phải { }Bi .

(2) δ là song ánh với mọi tập chỉ số I. (3) A là R-môđun có biểu diễn hữu hạn.

Chứng minh:

(3)⇒(1) Cố định dãy đồng cấu m → n → →0

R R A trong RM. Kết luận (1) dễ dàng có được từ sơ đồ giao hoán có liên quan đến các ánh xạ ε với Rm,Rm,A. Chú ý rằng,

εlà đẳng cấu với A=Rm,Rn và hàm tử tenxơ là khớp phải. (1)⇒(2)là hiển nhiên

(2)⇒(3) Theo (2.6.1) A là hữu hạn sinh. Cố định dãy khớp ngắn 0→K → → →F A 0 trong RM, với F là tự do hữu hạn sinh. Với bất kì tập chỉ số I, xét sơ đồ giao hoán sau:

RI ⊗R K → RI ⊗R F →RI ⊗R A→0 δK δF δA

0 KI FI AI 0

Có các dòng là khớp. Theo giả thuyết δA là song ánh, và do (2.6.1) δF là toàn ánh. Từ sơ đồ dễ nhận thấy δK là toàn ánh, theo (2.6.1) K là hữu hạn sinh, nên A có biểu diễn

hữu hạn. □

Để chuẩn bị cho định lí Chase, ta sẽ giới thiệu về vành Coherent trái.

2.6.3. Định nghĩa: Vành R được gọi là coherent trái nếu mỗi iđêan trái hữu hạn sinh của R là có biểu diễn hữu hạn (như là R-môđun trái). Vành coherent phải được định

nghĩa tương tự, và như thông lệ, ta nói R là coherent nếu nó vừa coherent trái và vừa coherent phải.

2.6.4. Ví dụ

(a) Nếu R là vành Nơte trái thì nó là coherent trái.

(b) Nếu R là vành nửa di truyền trái thì nó là coherent trái. Thật vậy, Nếu U là iđêan trái hữu hạn sinh thì RU là xạ ảnh và do đó là có biểu diễn hữu hạn (mỗi R-môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh là có biểu diễn hữu hạn). Đặc biệt, mọi vành giá trị đều là coherent, và mọi vành chính quy von Neumann là coherent.

( )

0 ann(a) R R a. 0 ( )r ra

→ → → → = .

Do đó, .R alà có biểu diễn hữu hạn nếu và chỉ nếu ann a( ) là hữu hạn sinh như là iđêan trái. Đặc biệt, nếu R là coherent trái thì ann al( ) là iđêan trái hữu hạn sinh với mọi a∈R.

2.6.5. Định lí (Chase): Với R là vành bất kì, các phát biểu sau là tương đương : (1) Mọi tích trực tiếp của R-môđun dẹt là dẹt.

(2) Với mọi tập chỉ số I, thì ( )I R R là dẹt. (3) Vành R là coherent trái. Chứng minh: (1)⇒(2) là hiển nhiên vì RR là dẹt.

(2)⇒(3) Cho Alà iđêan trái hữu hạn sinh của R. Ta cần chứng tỏ A có biểu diễn hữu hạn. Theo (2.6.2) ta cần chứng minh ánh xạ : I I

R A A

δ ⊗ → ở phần trên là song ánh. Bất kì tập chỉ số I. Theo (2.6.1), ta có δ là toàn ánh, nên cần chứng minh δlà đơn ánh. Xét sự phân tích δ như sau : I I I

R ⊗ A→R A→ A . Do ( )I R

R là dẹt, ánh xạ thứ nhất là đơn ánh theo (2.1.11), do đó δ là đơn ánh.

(3)⇒(1) Cho {B ii : ∈I} là R-môđun phải dẹt. Để chứng minh ∏iBi cũng là dẹt, theo (2.1.11) ta cần chứng minh toàn ánh tự nhiên α:(∏iBi)⊗RU →(∏iB Ui) là

đơn ánh với bất kì iđêan trái hữu hạn sinh U ⊆R. Xét sơ đồ giao hoán sau : ( iBi) RU ( iB Ui) α ⊗ ∏ → ∏ ε i(Bi RU) i(BUi ) β ⊗ ∏ →∏

Do R là coherent nên RU có biểu diễn hữu hạn, nên ε là song ánh theo (2.6.2). Theo (2.1.11) β là song ánh. Từ sơ đồ giao hoán ở trên ta có α là đơn ánh. □

2.6.6. Hệ quả: Cho R là vành Nơte trái hoặc là vành nửa di truyền trái, mọi tích trực tiếp của R-môđun dẹt là dẹt.

2.6.7. Định nghĩa:R-môđun phải Bđược gọi là không xoắn (torsionless) nếu B có thể nhúng được vào tích trực tiếp ( )I

R .

2.6.8. Chú ý

(a) Dễ thấy, BR là không xoắn nếu và chỉ nếu mọi 0≠ ∈b B, tồn tại

( , )

f ∈B∗ =Hom B R thỏa f b( )≠0. Do đó B không xoắn khi và chỉ khi ánh xạ tự nhiên i B: →B∗∗ là đơn ánh với B∗∗ =HomR(B R∗, ) .

(b) Mọi môđun con của môđun (phải) tự do là không xoắn. Do đó mọi môđun phải xạ ảnh là không xoắn.

(c) Mọi môđun con của môđun không xoắn là không xoắn, và mọi tích trực tiếp (hay tổng trực tiếp) của các môdun không xoắn là không xoắn.

(d) Cho R là miền bất kì, mọi môđun torsionless BR là torsion-free.

(e) Cho R là miền giao hoán (miền nguyên), và B là R-môđun phải hữu hạn sinh. Nếu

B là torsion-free thì B có thể nhúng vào m

R , nên B là torsionless. Nhưng nói chung, môđun torsion-free không là torsionless. Ví dụ: với R=, B= là torsion-free, nhưng không là torsionless.

2.6.9. Bổ đề: Cho R là vành bất kì, các phát biểu sau là tương đương. (1) Mọi iđêan phải của R là dẹt.

(2) Mọi iđêan trái của R là dẹt.

(3) Môđun con của R-môđun phải dẹt là dẹt. (4) Môđun con của R-môđun trái dẹt là dẹt.

Chứng minh:

(1)⇔(2) Theo (2.1.11) dễ thấy được điều đó.

Ta hoàn thành chứng minh bổ đề bằng việc chứng minh (1)⇒(3) (vì điều này sẽ đưa đến (1)⇔ (3)) và việc chứng minh (2)⇔(4) là tương tự.

Giả sử mọi iđêan phải của R là dẹt. Bước 1: Mọi môđun con ( )n R

M ⊆ R là dẹt. Ta chứng minh điều này theo quy nạp. Trường hợp n=1 thì M ⊆( )R Rlà dẹt do (1).

Cho π là phép chiếu n

R →R được cho bởi “tọa độ đầu tiên”, ta đồng nhất Kerπ với

R − , ta có được dãy khớp 1 ( )

0→M ∩Rn− →M →π M →0, theo (1) thì π( )M là dẹt và theo giả thiết quy nạp thì n 1

M ∩R − là dẹt nên theo (2.1.12) M là dẹt.

Bước 2: Bất kì môđun con M của R-môđun tự do FR là dẹt. Theo (2.1.6) ta cần chứng minh mọi môđun con hữu hạn sinh M0⊆M là dẹt. Có môđun con tự do hữu hạn sinh

F ⊆F thỏa M0 ⊆F0, theo bước (1) M0 là dẹt.

Bước 3: Bất kì môđun con N của môđun dẹt PR là dẹt. Cố định dãy khớp

0 K F P 0

→ → → → với F là tự do. Theo bước 2, 1( )

M =ϕ− N là dẹt, và theo (2.1.13) thì K∩FU =KU với bất kì iđêan trái U ⊆R. Ta cũng có

K∩MU ⊆ ∩K FU ⊆KU nên K ∩MU =KU , và do 0→K →M →N →O khớp, nên theo (2.1.13) N là dẹt. □

2.6.10. Định lí (Chase): Cho vành R bất kì, các phát biểu sau là tương đương. (a) R là vành nửa di truyền trái.

Chứng minh:

(a)⇒(c) Theo (2.6.4), R là vành nửa di truyền trái nên là coherent trái. Và theo (2.1.7), thì mọi iđêan trái U ⊆Rlà dẹt.

(c)⇒(b) Cho tập I bất kì, ( )I R

R là dẹt vì R là coherent trái theo (2.6.5), nên theo (3) mọi môđun con của ( )I

R là dẹt. Điều đó chứng tỏ mọi R-môđun phải không xoắn là dẹt.

(b)⇒(a) Từ (b) ta có ( )I R

R là dẹt nên theo (2.6.5) R là coherent trái. Lấy B⊆ R là iđêan trái hữu hạn sinh, thì B có biểu diễn hữu hạn và dẹt (do B là không xoắn). Theo (2.4.4) RB là xạ ảnh. Nên R là vành nửa di truyền trái. □

Môđun có biểu diễn hữu hạn

Môđun dẹt hữu hạn sinh