Như ta đã biết theo (2.4.4) mọi môđun dẹt có quan hệ hữu hạn là xạ ảnh. Như vậy, mọi môđun dẹt hữu hạn sinh có là xạ ảnh không? Câu trả lời là không vì qua ví dụ sau ta sẽ thấy được điều đó.
2.5.1. Ví dụ
Cho R là vành chính quy von Neumann không nửa đơn. Do RR không là môđun nửa đơn, nên tồn tại iđêan phải U mà không là hạng tử trực tiếp của RR. Theo (2.2.3)
( / )R
P= R U là dẹt (và cyclic). Nhưng P không là xạ ảnh, vì nếu không thì 0→ → → →U R P 0 sẽ chẻ trong MR, nên R≅ ⊕U P (mâu thuẫn).
2.5.2. Định lí: Nếu vành R thỏa mãn một trong các điều kiện sau: (1) Rlà vành Nơte phải;
(2) Rlà vành địa phương;
(3) R là miền thỏa mãn điều kiện hạng, đó là : bất kì tập (n+1) phần tử trong
( )n R
R là phụ thuộc tuyến tính;
thì mọi môđun dẹt hữu hạn sinh PR là xạ ảnh.
Chứng minh:(1) đúng vì theo (2.4.3) và (2.4.4).
(2) Giả sử R là vành địa phương, gọi m là iđêan tối đại của R. Chọn a1,...,an∈P thỏa
1,..., n
a a là cơ sở của P/Pm như là không gian vectơ trên vành chia R/m. Do đó P =
Pm+∑a Ri , và theo bổ đề Nakayama thì P=∑a Ri , gọi F là R-môđun (phải) tự do với cơ sở e1,...,en và gọi :ϕ F →P là toàn cấu xác định bởi ϕ( )ei =ai. Nếu
:
i i
e r ∈K =Kerϕ
∑ thì ∑a ri i = ∈0 P/Pm và do đó mọi ri∈m. Điều đó cho thấy
chứng tỏ rằng U = mU. Do đó RUlà hữu hạn sinh. Áp dụng bổ đề Nakayama ta có U
= 0. Do đó K = 0 và ta có P≅F . Cuối cùng, ta chứng minh giả thiết (3).
Cố định dãy khớp ngắn 0 K F P 0 ψ ϕ
→ → → → với n ( )
F ≅R n< ∞ . Gọi m là số tự nhiên lớn nhất mà K chứa môđun con ' m
K ≅ R . Do đó / 'K K là môđun xoắn, trong ý nghĩa đó, mỗi phần tử của / 'K K bị triệt tiêu bởi các phần tử khác không của R.
Xét sơ đồ giao hoán: 0 K K/ ' F K/ ' ψ → → ϕ P→0 ϕ σ σ F
Sự tồn tại của σ được cho bởi (2.4.6) (lưu ý rằng P là dẹt và F/ 'K là có biểu diễn hữu hạn). Nhưng σψ =0, do K K/ ' là xoắn và F là torsion-free. Do đó σ cảm sinh
:P F
σ → thỏa σ σϕ= . Mà ϕσϕ ϕσ ϕ= = , nên ϕσ =1P (do ϕ là toàn cấu), vì thế ϕ chẻ. Điều này chứng tỏ P là xạ ảnh. □