Các khái niệm sau đây của dãy khớp ngắn thuần túy có liên quan chặt chẽ với khái niệm dẹt và sẽ được phát triển chi tiết trong mục này.
2.8.1. Định nghĩa: Một dãy khớp ngắn : 0 A B C 0 ϕ
ε → → → → trong MR được gọi là thuần túy nếu ε⊗RC' là dãy khớp với bất kỳ R-môđun trái 'C . Trong trường hợp này, ta nói rằng ϕ( )A là môđun con thuần túy của B (hay B là mở rộng thuần túy của
( )A
ϕ ).
2.8.2. Ví dụ
(1) Mọi dãy khớp ngắn chẻ đều là thuần túy.
(2) Mọi tổng trục tiếp của dãy khớp thuần túy là thuần túy.
(3) Tổng quát hơn, giới hạn trực tiếp của bất kỳ hệ thống trực tiếp của dãy khớp ngắn thuần túy là dãy khớp ngắn thuần túy.
(4) Bất kỳ họ R-môđun phải { }Bi i I∈ , i
i IB
∈
⊕ luôn là môđun con thuần túy của i i I
B
∈
∏ . Thật vậy, với bất kỳ R-môđun trái 'C , ta có sơ đồ giao hoán
Với ε được định nghĩa như ở mục (2.6). Điều này có nghĩa rằng α là đơn cấu.
2.8.3. Bổ đề: Cho ε: 0→K → →F M →0 là dãy khớp các R-môđun phải và ' : 0 K' F' M' 0
ε → → → → là dãy khớp các R-môđun trái. Khi đó: (1) Với 'F là dẹt. Nếu M ⊗Rε' khớp thì ε⊗R M' cũng khớp. (2) Với F là dẹt. Nếu ε⊗R M' khớp thì M ⊗Rε' cũng khớp.
Chứng minh: Ta chỉ chứng minh (1), việc chứng minh (2) là tương tự.
(⊕iBi)⊗RC' ⊕i(Bi ⊗RC') ( i R ') i B ⊗ C ∏ ( i) R ' iB ⊗ C ∏ ε α ≅
Theo giả thuyết ở (1) ta có sơ đồ giao hoán
Các dòng và cột là khớp. Ta cần chứng minh α là đơn cấu. Nếu x∈ ⊗K R M ' thỏa
( )x 0
α = . Chọn y∈ ⊗K R F' thỏa β( )y =x, thì δ γ( ( )y )=0 suy ra γ( )y =λ( )z
với z∈ ⊗F R K'. Do ε là đơn cấu, ta có τ( )z =0 và z=σ( )w với w∈ ⊗K R K'. Do γ là đơn cấu nên ϕ( )w = y. Vì thế x=β( )y =β ϕ( ( )w )=0. Do đó α là đơn cấu, hay ε⊗RM ' khớp. □
2.8.4. Định lí: R-môđun phải C là dẹt nếu và chỉ nếu bất kỳ dãy khớp ngắn : 0 A B C 0
ε → → → → trong MR là thuần túy.
Chứng minh: Trước hết, giả sử C là dẹt. Cho 'C là R-môđun trái bất kỳ, cố định dãy khớp ': 0ε → A'→B'→C'→0 trong RM với 'B là tự do. Do C là dẹt nên C⊗Rε' là khớp. Theo 2.8.3(1) ta có ε⊗RC' cũng khớp, nên ε là thuần túy.
Ngược lại, giả sử ε là thuần túy. Cố định dãy ε với B là tự do, và cho ' : 0 A' B' C' 0
ε → → → → là dãy khớp trong RM . Với giả thiết ε ⊗RC'là khớp nên theo 2.8.3(2) C⊗Rε' cũng khớp. Điều này chứng tỏ rằng C là dẹt. □
2.8.5. Hệ quả: Cho : 0ε → → → →A B C 0 là khớp trong MR . (1) Giả sử B là dẹt. εlà thuần túy nếu và chỉ nếu C là dẹt. (2) Giả sử C là dẹt. B là dẹt nếu và chỉ nếu A là dẹt. ' ' ' 0 R R R K K F K M K σ τ ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0 K R F' F R F' M R F' 0 γ → ⊗ → ⊗ → ⊗ → M' M' M' 0 R R R K F M α ⊗ → ⊗ → ⊗ → 0 ↓ ε ↓ ↓ ↓ 0 λ ↓ δ ↓ ↓ 0 ϕ ↓ β ↓ ↓ 0
Chứng minh:
(1)⇐] theo định lí trên thì điều này là hiển nhiên mà không yêu cầu B là dẹt. ]
⇒ Giả sử εlà thuần túy. Theo chứng minh ở trên thì C⊗Rε'là khớp với mọi dãy khớp 'ε trong RM, nên C là dẹt.
(2) Cho M → N là đơn cấu bất kỳ trong RM. Ta có sơ đồ giao hoán 0→ ⊗A R M → ⊗B R M → ⊗C R M →0
0→ ⊗A R N → B⊗R N → ⊗C R N →0
Do tính dẹt của C nên εlà thuần túy (theo 2.8.4) nên hai dòng ở trên là khớp. Mặt khác, tính dẹt của C cho ta γ là đơn cấu. Theo sơ đồ giao hoán ở trên thì β là đơn cấu khi và chỉ khi α là đơn cấu. Điều này có nghĩa là, B là dẹt nếu và chỉ nếu A là dẹt. □
KẾT LUẬN
Vấn đề môđun dẹt và môđun dẹt trung thành là một trong những vấn đề cơ bản của đại số giao hoán và hình học đại số, và đã có những công trình nghiên cứu cũng như đang nghiên cứu của nhiều người về các vấn đề liên quan đến chúng.
Nội dung chính của đề tài đã trình bày một cách hệ thống các khái niệm môđun dẹt và môđun dẹt trung thành, và nêu ra các tiêu chuẩn tương đương để một môđun là môđun dẹt và môđun dẹt trung thành.
Ngoài các kết quả đã được trình bày trong luận văn, thì vẫn còn một vài điều chưa được giải quyết, ví dụ:
+ Còn các lớp vành nào khác để môđun bất kỳ trên lớp vành ấy là dẹt và dẹt trung thành?
+ Mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh, môđun nội xạ với môđun dẹt trung thành? Qua luận văn này Tôi đã học được cần phải làm những công việc gì trong nghiên cứu, và phương pháp nghiên cứu một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau. Tôi đã cố gắng hoàn thành luận văn một cách tốt nhất có thể. Tuy nhiên với sự hạn chế của bản thân nên khó tránh khỏi sai xót, tôi rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo của quý Thầy Cô trong hội đồng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2002), Đại Số Đồng Điều, Nxb Đại học Quốc gia Tp. HCM.
Tiếng Anh
2. Hideyuki Matsumura (1980), Commutative Algebra, The Benjamin/ Cummings Publishing Company, Inc.
3. I. N. Herstein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association Of America .
4. Jacobson (1956), Structure Of Rings, coll. Publ., Vol. 37, Amer. Math. Soc., Providence, R. I.
5. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald (1969), Introduction to commutative Algebra, Addison – Wesley Publishing Company.
6. T. Y. Lam (1995), A Firt Course In Noncomutative Rings, Graduate Texts In Math., Vol. 131, Spinger – Verlag, Berlin – Heidelberg – New York.
7. T. Y. Lam (1999), Lectures On Modules and rings, University Of california At Berkeley.