Trong mục này, tôi đưa ra một giới thiệu về môđun dẹt trung thành. Những môđun rất hữu ích trong lí thuyết vành và hình học đại số.
2.7.1. Định lí: Với môđun phải P bất kì trên vành R, các phát biểu sau là tương đương: (1) Dãy M' M M ''
ϕ ψ
→ → trong RM là khớp nếu và chỉ nếu
' ''
R R R
P⊗ M → ⊗P M → ⊗P M là khớp.
(2) P là dẹt, và với R-môđun trái M bất kì, P⊗R M =0 thì M =0. (3) P là dẹt, và đồng cấu 'M M ''
ϕ
→ trong RM là đồng cấu không nếu đồng cấu cảm sinh P⊗R M'→ ⊗P RM '' là đồng cấu không.
Nếu PR thỏa một trong ba điều kiện trên thì ta nói PRlà môđun dẹt trung thành.
Chứng minh:
(1)⇒(2) Theo điều kiện (1) thì ta có P là dẹt. Với R-môđun trái M thỏa P⊗RM =0 ta có dãy P⊗R0→ ⊗P R M → ⊗P R0 là khớp nên theo (1) dãy 0→M →0 cũng khớp. Do đó M =0.
(2)⇒(3) Đặt M =ϕ[ ]M' , và giả sử 1P⊗ϕ:P⊗R M '→ ⊗P R M'' là kông, nên các đồng cấu trong dãy P⊗R M'→ ⊗P R M → ⊗P R M'' là không, trong đó ánh xạ thứ nhất là toàn ánh, ánh xạ thứ hai là đơn ánh (do PR là dẹt). Do đó, P⊗R Mphải là (0), theo (2) M =0, vì vậy ϕ=0.
(3)⇒(1) Chiều ⇒] là hiển nhiên vì PRlà dẹt. Ta chứng minh chiều ngược lại. Giả sử P⊗RM '→ ⊗P R M → ⊗P R M'' là khớp nên theo (3) thì M ' . M'' ψ ϕ → là không. Đặt I =Im , Kerϕ K = ϕ, ta có I ⊆K. Do 0→ K →M →M '' là khớp nên 1 1 0 P R K P R M P R M'' ϕ ψ ⊗ ⊗ → ⊗ → ⊗ → ⊗ cũng khớp và do đó P⊗R K =Ker 1( ⊗ψ)=Im 1( ⊗ϕ)= ⊗P R I ⊆ ⊗P R M . Ánh xạ tự nhiên π:K →K I/ cảm sinh ( / ) ( ) (/ ) 0 R R R R P⊗ K → ⊗P K I = P⊗ K P⊗ I = Theo (3), π =0, nên K =I , do đó 'M →M →M'' là khớp. □ Kết quả tiếp theo cho ta cách kiểm tra môđun dẹt là môđun dẹt trung thành với việc sử dụng iđêan trái tối đại của R.
2.7.2. Mệnh đề: Môđun PR là dẹt trung thành nếu và chỉ nếu Pm≠Pvới m là iđêan trái tối đại của R.
Chứng minh: Giả sử P là dẹt trung thành, và cho mlà iđêan trái tối đại của R. Do đó
R/m≠0 trong RM, ta có 0≠ ⊗P R(R/m )≅P P/ m, nên Pm≠P.
Ngược lại, giả sử Pm≠ P với cho m là iđêan trái tối đại của R, và cho M là R-môđun trái khác không. Cố định phần tử khác không x∈M , thì .R x≅R U/ với mọi iđêan trái U ⊆ R. Do Uđược chứa trong mọi iđêan trái tối đại, PU ≠P. Do tính dẹt của PR, nên P⊗RM chứa P⊗R R x. ≅ ⊗P R(R U/ )≅P PU/ ≠0, nên P⊗R M ≠0. Theo (2.7.1) P là dẹt trung thành. □
2.7.3. Ví dụ
(1) Cho R là vành giao hoán, với mọi iđêan nguyên tố p⊂R, thì vành địa phương Rp
là R-dẹt. Theo (2.1.3) :P = ⊕pRp cũng là R-dẹt với p chạy khắp các iđêan nguyên tố của R. Ta có P là dẹt trung thành. Thật vậy, nếu M là R-môđun bất kì mà P⊗RM =0 thì 0=(⊕pRp)⊗RM ≅ ⊕p(Rp⊗RM )≅ ⊕pMp
Mỗi thành phần địa phương Mp = 0. Khi đó M = 0. Nên PR là dẹt trung thành (theo 2.7.1).
(2) Với R=, thì là dẹt, nhưng không là dẹt trung thành, do / 2 ≠0 mà
( / 2 ) 0
⊗ =
. Nói chung, một -môđun P là dẹt trung thành nếu và chỉ nếu P là torsionfree và Pp≠P với mọi số nguyên tố p (bằng việc sử dụng (2.7.1) với (2.2.20)). (3) Với vành R là vành bất kì, thọi mọi R-môđun tự do FR là dẹt trung thành, và mọi vành đa thức R X[ ] là dẹt trung thành như là R-môđun phải.
(4) Với vành R là vành bất kì, nếu PR là dẹt và '
R
P là dẹt trung thành ta có P⊕P' là dẹt trung thành. Thật vậy, với R-môđun trái M, ta có:
(P⊕P')⊗M ≅(P⊗M) (⊕ P'⊗M). Giả sử (P⊕P')⊗M =0 tac có 0 0 ' 0 P M M P M ⊗ = ⇒ = ⊗ =
(5) Cho PR ≠( )0 là môđun dẹt hữu hạn sinh trên vành địa phương (R, m). Theo bổ đề Nakayama ta có Pm≠P, do m là iđêan trái tối đại trong R nên theo (2.7.2) PR là dẹt trung thành.
(6) Cho ϕ:R→S là đồng cấu vành, theo đó ta có thể xem S như là R-môđun trái. Nếu PR là dẹt trung thành trên R thì P⊗R S là dẹt trung thành trên S. Thât vậy, theo (2.1.2) P⊗R Slà S-dẹt, và mọi S-môđun trái A≠0, thì (P⊗RS)⊗S A≅ ⊗P R A≠0.
2.7.4. Mệnh đề: Nếu PRlà môđun dẹt trung thành thì nó vừa là môđun trung thành vừa là môđun dẹt.
Chứng minh: Giả sử Pr0 =0, ∀ ∈r0 R. Xét đồng cấu R-môđun trái :ϕ R→ R được xác định bởi ϕ( )r =r r.0 cảm sinh đồng cấu 1⊗ϕ:P⊗R R→ ⊗P R R là không, do
(1⊗ϕ)(p⊗r)= ⊗p r r.0 =( )pr r0⊗ =1 0, ,∀ ∈p P r∈R. Nên theo (2.7.1) ϕ =0. Do đó r0 =ϕ( )1 =0. Điều này cho thấy PR là môđun trung thành. □ Điều ngược lại có thể là không đúng, ví dụ môđun trên vành như trong (2.7.3)(2) chứng tỏ rằng môđun trung thành và dẹt, nhưng không là dẹt trung thành.
Cho ϕ:R→S là đồng cấu vành, khi đó S có thể được xem như là R-môđun phải thông qua ϕ. Điều này là quan trọng để hiểu được trường hợp khi SR là R-môđun dẹt trung thành. Kết quả sau đưa ra một số đặc điểm cho điều kiện này.
2.7.5. Định lí: Cho ϕ:R→S như trên, các phát biểu sau là tương đương: (1) SR là môđun dẹt trung thành.
(2) SRlà dẹt, và với mọi iđêan trái U ⊆ R, thì 1( )
SU U
ϕ− =
(3) SRlà dẹt, và mọi iđêan trái tối đại m⊂ R, tồn tại iđêan trái tối đại m'⊂S thỏa m=ϕ−1 (m').
(4) ϕ là đơn ánh, và R-môđun phải ( / ( ))
R
S ϕ R là dẹt. Trong trường hợp , R S là vành giao hoán, ta có thêm
(5) SR là dẹt, và mọi iđêan nguyên tố p⊂ R, tồn tại iđêan nguyên tố p'⊂S thỏa p=ϕ−1(p').
Chứng minh:
(1)⇒(2) Ta cần chỉ ra rằng : /ϕ R U →S SU/ là đơn ánh. Do SR là dẹt trung thành, ta chỉ chứng tỏ rằng 1⊗ϕ:S⊗R(R U/ )→ ⊗S R(S SU/ ) là đơn ánh. Như thường lệ, ta có thể đồng nhất S⊗R(R U/ ) với /S SU. Ánh xạ S SU/ → ⊗S R(S SU/ ) là đơn cấu chẻ vì ta có thể xác định nghich đảo trái bằng cách chuyển s⊗(s'+SU) thành
s '
(2)⇒(3) Do (2), ta có Sm≠S, nên Sm được chứa trong iđêan trái tối đại m' của S. Dễ dàng có m=ϕ−1 (m').
(3)⇒(1) Cho m là iđêan trái tối đại của R. Chọn m' như trong (3). Ta có
Sm⊂m'⇒Sm≠S. Theo (2.7.2) thì SR là dẹt trung thành.
(1)⇒(4) Do SR là dẹt trung thành theo (2.7.4) ϕ là đơn cấu. Ta đồng nhất R với
( )R
ϕ . Sử dụng (1)⇒(2), ta có R∩SU =U với mọi iđêan trái U ⊆ R. Áp dụng (2.1.13) cho dãy khớp 0→ → →R S S R/ →0 trong MR, nên (S R/ )R là dẹt.
(4)⇒(2) Trong dãy khớp 0→ → →R S S R/ →0 có RR, /(S R)R là dẹt nên SR là dẹt (do 2.1.12). Ý thứ hai trong (2) dễ dàng có được từ (2.1.13).
Cuối cùng, giả sử , R S là các vành giao hoán.
(5)⇒(3) Cho mlà iđêan trái tối đại trong R. Theo (5), m=ϕ−1(p') với p' là iđêan tối đại trong S. Với bất kì iđêan tối đại m' của S chứa p', ta có ϕ−1
(m')= m.
(2)⇒(5) Cho p là iđêan nguyên tố bất kì của R. Theo (2) ta có p=ϕ−1(Sp). Gọi E là tập con nhân R\p, thì ϕ( )E là tập con nhân trong S rời Sp. Nếu p' là iđêan tối đại chứa
Sp thì ta dễ dàng có ϕ−1(p')=p. □
2.7.6. Định nghĩa: Nếu đồng cấu :ϕ R→S thỏa mãn điều kiện trong (2.7.5), ta sẽ nói rằng ϕ là dẹt trung thành phải, hay S là sự mở rộng dẹt trung thành (phải) của R (từ mở rộng ở đây là hợp lý vì ϕ là đơn cấu).
2.7.7. Ví dụ
(1) Mọi mở rộng đa thức R⊆R X[ ] là mở rộng dẹt trung thành.
(2) Cho R là vành coherent giao hoán. Vành S = ∏mRm (với chạy m trên tất cả các iđêan tối đại của R) là mở rộng dẹt trung thành của R đối với ánh xạ tự nhiên
:R S
trung thành. Thật vậy, với bất kì iđêan tối đai m'⊂R: (∏mRm)m'⊆∏m (Rmm')⊂
∏mRm.
2.7.8. Bổ đề: Cho ϕ:R→S là dẹt trung thành. R-môđun trái M là hữu hạn sinh (có biểu diễn hữu hạn) nếu và chỉ nếu S-môđun trái S⊗R M là hữu hạn sinh (có biểu diễn hữu hạn).
Chứng minh:
]
⇐ Giả sử S⊗R M là hữu hạn sinh, ta có thể chọn hữu hạn phần tử sinh
{1⊗mi:1≤ ≤i n}. Đặt 0 i i
M =∑Rm ⊆M ta có S⊗R M0 → ⊗S R M →0 là khớp. Do
R
S là dẹt trung thành nên M0 →M →0 là khớp, tức là M0 =M. Tiếp theo giả sử
R
S⊗ M có biểu diễn hữu hạn, ta có RM là hữu hạn sinh. Xét dãy khớp 0→K → Rn →M →0 trong RM, do S là dẹt trung thành nên ta có
( )
0→ ⊗S R K → ⊗S R Rn ≅Sn → ⊗S R M →0 cũng khớp. Do S⊗R M có biểu diễn hữu hạn, theo (2.4.2)(b) thì S⊗R Klà hữu hạn sinh, và do đó RK hữu hạ sinh. Điều đó cho thấy RMcó biểu diễn hữu hạn. □
2.7.9. Mệnh đề: Cho ϕ:R→S là dẹt trung thành (phải), giả sử rằng ϕ( )R ⊆Z S( )
(tâm của S).
(1) Cho f N: →M là đồng cấu trong RM , khi M có biểu diễn hữu hạn. Ta có
f là toàn cấu chẻ nếu và chỉ nếu 1⊗ f S: ⊗R N → ⊗S R M là toàn cấu chẻ. (2) R-môđun trái M là xạ ảnh hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu S-môđun trái
R
S⊗ M là xạ ảnh hữu hạn sinh.
(3) R-môđun trái M là dẹt (dẹt trung thành) nếu và chỉ nếu S-môđun trái
R
S⊗ M là dẹt (dẹt trung thành).
Chứng minh: Do ϕ là đơn cấu, giả thiết ϕ( )R ⊆Z S( ) có nghĩa R là giao hoán (và S
là R-đại số). Đặc biệt, với R-môđun M, N, nhóm aben HomR(M N, ), M ⊗R N có cấu trúc R-môđun tự nhiên. Điều này sẽ được sử dụng một cách tự nhiên dưới đây.
(1) Ta có: f làtoàn cấu chẻ ( , ) ( , ) f R R Hom M N Hom M M ∗ ⇔ → là toàn cấu ( , ) ( , ) R R R R S Hom M N S Hom M M ⇔ ⊗ → ⊗ là toàn cấu ( , ) ( , ) S R R S R R Hom S M S N Hom S M S M ⇔ ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ là toàn cấu 1 f ⇔ ⊗ là toàn cấu chẻ.
(2) Nếu S⊗R M là xạ ảnh hữu han sinh thì nó có biểu diễn hữu hạn. Nên theo (2.7.8)
RM có biểu diễn hữu hạn. Theo (1), thì mọi toàn cấu N →M chẻ trong RM , nên
RMlà xạ ảnh hữu hạn sinh.
(3) Chiều ⇒] được suy ra rừ (2.1.2) và (2.7.3)(6), ta chứng minh chiều ngược lại. Nếu S⊗R M là dẹt. Cho A→ B là đơn cấu trong MR thì A⊗R S → ⊗B R S là đơn cấu trong MS . Do RS là dẹt trên R ta có:
(A R S) (S S R M) (B R S) (S S R M) α ⊗ ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ ⊗ ≅ ≅ S R(A R M) S R(B R M) β ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗
α là đơn cấu, với việ sử dụng đẳng cấu trình bày ở trên thì β cũng là đơn cấu. Do SR
là dẹt trung thành, nên A⊗R M → ⊗B R M là đơn cấu, ta có MR là dẹt.
Cuối cùng, giả sử S⊗RM là dẹt trung thành. Với bất kì AR ≠0, ta cóA⊗R S ≠( )0 , và do đó (A⊗R S) (⊗S S⊗R M)≠0. Bởi đẳng cấu bên trái của sơ đồ ở trên, ta có
( ) 0
R R
S⊗ A⊗ M ≠ , nên A⊗R M ≠0. Ta biết RM là dẹt, điều đó chứng tỏ RM là dẹt
trung thành. □