Cho K là nửa vành lũy đẳng. Với nửa nhóm lũy đẳng K ta có thể xây dựng các a -mở rộng K và b-mở rộng Kb. Bây giờ, ta xem xét điều kiện để trang bị K
(tương ứng Kb) trở thành nửa vành lủy đẳng a -đầy đủ (tương ứng b-đầy đủ). Ta định nghĩa ( ) : , K K K x y x y m ´
Định nghĩa 1.18. Nửa vành K được gọi là a -chính quy (tương ứng b-chính quy) nếu m có mở rộng duy nhất m : K ´K K (tương ứng m : Kb´Kb Kb) xác
định cấu trúc nửa vành lũy đẳng a -đầy đủ (tương ứng b-dầy đủ) trên K (tương ứng trên Kb).
Rõ ràng, từ tính a -chính quy (tương ứng b -chính quy) của K suy ra m là
a -đồng cấu tách (tương ứng b -đồng cấu tách) dựa theo định nghĩa 1.8.
Định nghĩa 1.19. Nếu K là nửa vành a -chính quy (tương ứng b-chính quy) thì nửa vành K (tương ứng Kb) được gọi là a -mở rộng (tương ứng b -mở rộng) của
K và ta kí hiệu m( )x y, = x y.
Mệnh đề 1.12. Nửa vành K có phần tử 0 là a -chính quy (tương ứng b-chính quy) khi và chỉ khi các phép vị tự
( ),y : x x y
m × , m( )y, :× x y x (1.21) là các a -đồng cấu (tương ứng b-đồng cấu) của nửa nhóm cộng K với mọi y ÎK
Chứng minh
Nếu K là chính quy thì các phép vị tự trong (1.21) cũng chính quy. Bây giờ, giả sử các phép vị tự (1.21) là a -đồng cấu (tương ứng b-đồng cấu), theo Định nghĩa 1.5 có thể mở rộng các phép vị tự lên K (tương ứng Kb). Do đó tích x y
định nghĩa tốt nếu x hoặc y là phần tử của mở rộng của K . Trong trường hợp tổng quát, đặt x supxa a = , y supyb b = với xa, yb Î K và ( ) ( ) sup sup x y xa y x yb a b = = (1.22)
Dựa vào mệnh đề 1.2 và 1.5 có thể thấy rằng tích (1.22) được định nghĩa tốt. Ta cũng kiểm tra được tích này có tính kết hợp và trang bị cho K (tương ứng Kb) cấu trúc cần thiết.
Mệnh đề được chứng minh.
Nhắc lại rằng, a -mở rộng của nửa vành K không phải là nửa trường (nếu { }0,1
Mệnh đề 1.13. Tựa trường K bất kì thì giao hoán và b-chính quy. Do đó Kb là nửa trường lũy đẳng b-đầy đủ.
Chứng minh
Trước hết, sử dụng Mệnh đề 1.12, ta kiểm tra được tựa trường K b -chính quy. Nếu phần tử y Î K khả nghịch thì theo mệnh đề 1.7, các phép vị tự (1.21) là các ánh xạ b-chính quy (tức là các b-đồng cấu). Theo Mệnh đề 1.2, ta có kết quả tương tự cho phần tử tựa khả nghịch y Î K (phép vị tự tương ứng là tổng hay cận trên đúng của tập các b-đồng cấu). Vì mọi phần tử khác không của K đều tựa khả nghịch nên K là nửa vành lũy đẳng b-chính quy và Kb là nửa vành lũy đẳng b-đầy đủ, ta suy ra
b
K là nửa trường b -đầy đủ.
Dễ kiểm tra rằng mọi nửa trường b-đầy đủ thì đóng nguyên và là tựa trường. Chính vì vậy, các nửa trường b -đầy đủ là những ví dụ quan trọng nhất về các tựa trường, ngoài ra tựa trường K bất kì có thể nhúng vào nửa trường b-đầy đủ Kb.
Nhận xét 1.4. Nếu K là nửa trường b-đầy đủ và K ¹{ }0,1 thì K = K È I{ } (với
supK
I = ) là nửa vành lũy đẳng giao hoán trong đó 0I = 0 và x I = I với mọi 0 ¹ x ÎK. Vậy nên tựa trường b-chính quy thì a -chính quy.
Các ví dụ:
Ví dụ 1.14. Nửa vành {max và {min là các nửa trường b -đầy đủ, nửa vành lũy đẳng
{ là nửa trường và tựa trường.
Ví dụ 1.15. Nửa vành con của {max gồm tất cả các số nguyên và phần tử 0 là nửa trường b-đầy đủ.
Ví dụ 1.16. Nửa vành K = {È ±¥{ } cùng các phép toán Å = max, = min với 0 = -¥, 1= +¥ lập thành một dàn b -đầy đủ.
Ví dụ 1.17. Nửa vành Map(X,{max) là a -đầy đủ nhưng không là dàn b-đầy đủ.
Ví dụ 1.18. Từ mệnh đề 1.9 suy ra dàn vectơ đầy đủ bị chặn trên { là nửa trường lũy đẳng b -đầy đủ. Chẳng hạn, ( ) ( ) { }
0
, ,
p p
L x m = L x m È 0 là nửa trường b -đầy đủ.
Ví dụ 1.19. Dàn vectơ bất kì được xem như nửa trường. Chằng hạn, C X( ) là nửa trường và tựa trường với các phép toán định nghĩa trong Ví dụ 1.7 và Ví dụ 1.12.
Chương 2
NỬA MÔĐUN LŨY ĐẲNG, KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG
2.1. Các khái niệm cơ bản. Không gian lũy đẳng 2.1.1. Các khái niệm cơ bản