Cho V là nửa môđun trên nửa vành lũy đẳng K. Nửa môđun conW của nửa môđun của V là nửa nhóm con W của V đóng với phép nhân với các hệ tử trong K. Lưu ý rằng bản thân W cũng là một nửa môđun trên K .
Định nghĩa 3.2. Cho V là a -không gian lũy đẳng (tương ứng b -không gian lũy đẳng) trên tựa trường K . Nửa môđun con W của V được gọi là a -không gian con (tương ứng b-không gian con) của V nếu phép nhúng i W: V có mở rộng a -
tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) duy nhất W V (tương ứng Wb Vb) tới mở rộng của các nửa môđun xác định trên Kb.
Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa
Mệnh đề 3.2. Cho V là a -không gian lũy đẳng (tương ứng b-không gian lũy đẳng) trên tựa trường K và W là a -không gian con (tương ứng b -không gian con) của V . Khi đó W và W (tương ứng Wb) là các a -không gian lũy đẳng (tương ứng b -không gian lũy đẳng).
Định lí 3.3. Cho V là b-không gian lũy đẳng trên tựa trường K và W là b-không gian con của V . Mọi phiếm hàm a -tuyến tính trên W đều có mở rộng a -tuyến tính lên V .
Định lí 3.4. Cho V là b-không gian lũy đẳng. Nếu x y, ÎV và x ¹ y thì tồn tại phiếm hàm a -tuyến tính f trên V sao cho f x( )¹ f y( ).
Chứng minh
Nếu x > y thì y x*( )>1 và y y*( )£ 1 do đó f = y* là phiếm hàm cần tìm. Trong trường hợp trái lại ta có x < IV . Khi đó ta không có x y*( )£1 nhưng
( )
x x* £1 suy ra f = x* là phiếm hàm thỏa mãn định lí. Định lí được chứng minh.
Nhận xét 3.1. Từ định nghĩa của không gian dạng (V K, ) ta có mỗi b -không gian con là một không gian dạng (V K, ) trên chính nó.
Nhận xét 3.2. Nửa môđun con C X( ) của USC X( ) không phải là b-không gian con vì phép nhúng tương ứng không phải là b-đồng cấu. Tuy nhiên C X( ) vẫn là
b -không gian lũy đẳng (cũng là a -không gian lũy đẳng) trên {(max,+) và các phiếm hàm a -tuyến tính trên C X( ) có các mở rộng a -tuyến tính tới USC X( ). Ta có thể mở rộng định lí 3.3 cho trường hợp này.