Nửa môđun và không gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ

Các ví dụ về nửa môđun và không gian lũy đẳng quan trọng nhất của Giải tích lũy đẳng là các nửa môđun con của các dàn vectơ tôpô hay đối ngẫu của các nửa môđun con này theo nghĩa chúng có các phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn các điều kiên khác như phiếm hàm a -tuyến tính chẳng hạn.

Nhắc lại rằng, một không gian vectơ V trên trường số thực { được sắp thứ tự

nếu V được trang bị với thứ tự bộ phận £ sao cho tất cả các phép tịnh tiến

x  x +y và phép vị tự x lx bảo toàn thứ tự với l > 0 và x y, ÎV . Cùng các phép toán x Ú =y x Å =y sup{x y, } và x Ù =y inf{x y, }, V được gọi là một

dàn vectơ (trong trường hợp này, nhóm cộng của V là dàn có thứ tự). Một dàn vectơ tôpô là không gian vectơ tôpô Hausdorff V sao cho V là dàn vectơ, các phép toán

,

chuẩn tắc với tôpô trên V . Đặc biệt, dàn định chuẩn (tương ứng dàn Banach) là không gian định chuẩn (tương ứng không gian Banach) có cấu trúc của dàn vectơ sao cho các phép toán Ú = Å và Ù liên tục.

Cho V là dàn vectơ tôpô trên {, K là nửa nhóm con của nhóm cộng trong V

với tổng thông thường và M là tập con của V bất biến qua các phép tịnh tiến

x  x +k trong đó k Î K. Giả sử thêm rằng K và M là các nửa nhóm con lũy đẳng trong V với phép toán Ú = Å, các phép nhúng K V và M V là các b -

đồng cấu.

Rõ ràng, V là nửa trường với các phép toán lũy đẳng Å = Ú = sup,  = + và K là nửa trường con của V . Ở đây, tích K´M  M được định nghĩa bởi (k x, ) k x = +k x.

Mệnh đề 2.4

1. Các nửa trường V và K là đóng nguyên (do đó là các tựa trường) với các phép toán lũy đẳng Å = sup và  = +, trường hợp này 1 = 0.

2. M là b -không gian lũy đẳng trên tựa trường K , tích K ´M  M được định nghĩa bởi (k x, )  k x = +k x.. Đặc biệt dàn V là b -không gian lũy đẳng và M là b-không gian con lũy đẳng của V (cho dùM không cần phải là không gian con của V theo nghĩa thông thường).

3. Tích K´M  M là hạn chế của tích trong nửa trường b-đầy đủ Vb tới

K´M .

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh khẳng định đầu tiên. Các khẳng định còn lại có thể kiểm tra trực tiếp nhờ tính toán.

Bây giờ, ta chứng minh nửa trường K đóng nguyên. Với x Î K thì x có phần tử nghịch đảo x-1 = -x . Cho x b, Î K và xn = nx £b với n = 1,2, 3,... .Ta có

1 . x b n £ do đó x 1.b 1.b n n æ ö÷ ç

Åççè ÷÷÷ø= . Do tính liên tục của tích thông thường và tổng lũy đẳng nên 1 1 lim . lim . n n x x x b x b n n ¥ ¥ æ ö÷ æ æ öö÷÷ ç ç ç Å = Å = Å çç ÷÷÷= çç Åçç ÷÷÷÷÷÷= = è ø è è øø 1 0 0 1,

suy ra x Å =1 1 hay x £1. Từ đó K đóng nguyên. Chứng minh tương tự ta được

V đóng nguyên.

Mệnh đề được chứng minh.

Định nghĩa 2.12. Ta gọi b -không gian lũy đẳng M trong mệnh đề 2.4 là một không gian dạng (V K, ).

Các ví dụ

Ví dụ 2.1. Giả sử K là nửa trường b-đầy đủ có phần tử không và K ¹ { }0,1 . Nửa nhóm Map(X K,) là nửa môđun lũy đẳng trên K (với phép nhân hàm với phần tử của K ) nhưng không là môđun chuẩn tắc nếu X ³2.

Các nửa môđun lũy đẳng USC X( ,{max) và LSC X( ,{max) không chuẩn tắc nếu

2

X ³ nhưng đều là các nửa môđun a -đầy đủ.

Ví dụ 2.2. Các nửa nhóm USC X( ), LSC X( ), Lp( )X và Conv(X,{) là các a -

không gian lũy đẳng trên nửa trường (và tựa trường) K = {(max,+) với phép nhân các hàm với các phần tử của K . Mở rộng chuẩn tắc của các nửa nhóm lũy đẳng này là các a -không gian lũy đẳng a -đầy đủ trên nửa trường b-đầy đủ {max và các nửa môđun a -đầy đủ trên nửa vành {max.

Ví dụ 2.3. Nửa vành {max là a -không gian lũy đẳng trên nửa trường {max. Tương tự, Map(X,{) là a -không gian lũy đẳng trên {max. Một cách rất tự nhiên, ta nói

( )



Map X,{ là không gian n chiều nếu X có n phần tử.

Ví dụ 2.4. Các không gian dạng (V K, )

2.4.1. C X( ) là không gian dạng (V K, ) với K là nhóm con của { và ( )

M =V =C X .

2.4.2. Với V =C X( ), K là nhóm con của  và M là nhóm con các hàm có giá trị nguyên thì M là không gian dạng (V K, ).

2.4.3. M là không gian dạng (V K, ) với 2

Chương 3

CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 3.1. Định lí cơ bản về phiếm hàm

Giả sử V là b -không gian lũy đẳng trên tựa trường K .

Định nghĩa 3.1. Cho x ÎV. Kí hiệu x* là phiếm hàm định bởi

 ( ) { } : inf y k x x V K y x y k K y k x * * £  = Ù Î £ =    ( )3.1

Ta gọi x* là x -phiếm hàm trên V .

Nếu trong V tồn tại phần tử lớn nhất thì ta kí hiệu phần tử này là IV. Nhắc lại rằng I =V supV = infÆ. Tương tự, I =K supK . Lưu ý rằng IV* ( )y º 0K với mọi

y VÎ (ngoại trừ trường hợp y = IV ); 0V* ( )y = IK với y ¹ 0V và 0V* ( )0V = 0K.

Định lí 3.1. Cho V là b-không gian lũy đẳng trên tựa trường K. Với mọi x ÎV ta có x -phiếm hàm x* : y  x y*( ) là phiếm hàm a -tuyến tính trên V .

Chứng minh

Thay K và V bởi các b -mở rộng tương ứng và sử dụng Định nghĩa 2.8 và Mệnh đề 2.1 ta có thể giả sử V là b-đầy đủ và K là nửa trường b -đầy đủ. Thế thì

 { }V

V =V È I và K = K È I{ }K . Với x = IV ta có thể kiểm tra phát biểu của định lí một cách trực tiếp. Ta cần xét trường hợp x < IV . Theo Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.8 thì V chuẩn tắc nên y £x y*( )*x nếu

( ) { }

Gọi Y là tập con bất kì của nửa môđun V . Từ định nghĩa của ánh xạ ( )

y  x y* dễ thấy x* bảo toàn thứ tự. Do đó

( ) sup{ ( ) } ( ) x Y* x y y* Y x* Y Å = Î £ Å . Nếu K y( ) {= k ÎK y £k x}= Æ thì ( ) K x* ÅY = I , Åx Y*( )= sup{x y y*( ) ÎY}= IK

với I =K supK = supK. Vậy nên trong trường hợp này x*(ÅY)= Åx Y*( ). Mặt khác

( )

(Åx Y* )x ³ x y*( )x ³y

với mọi y ÎY nên (Åx Y*( ))x ³ ÅY dẫn đến Åx Y*( )³x*(ÅY). Ta đã chứng minh được Åx Y*( )£ x*(ÅY) nên

( ) ( )

x* ÅY = Åx Y* ( )3.2

hay phiếm hàm y  x y*( ) là a -đồng cấu.

Bây giờ ta sẽ chứng minh phiếm hàm này thuần nhất, nghĩa là ( ) ( )

k x y* = x k* y ( )3.3 với mọi k ÎK và y VÎ . Giả sử p là phần tử khả nghịch của K và y là phần tử bất kì của V . Vì phép nhân với p hay phép vị tự là một tự đồng cấu của K nên

( ) { } { } ( )

pK y = p  k Î K y £k x = k Î K p y £ k x = K p y

Do đó K p( y)= Æ nếu K y( ) = Æ dẫn tới x y*( ) = x*(py)= IK và ( ) ( )

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

px y* = p ÙK y = Ù p K y = ÙK py = x* p y

Từ đó tính thuần nhất ( )3.3 được chứng minh với mọi phần tử khả nghịch

p = Îk K . Trường hợp k = 0 thì 0x y*( ) = =0 x*( )0 = x*(0y). Vậy phiếm hàm x* thuần nhất.

Định lí được chứng minh.

Mệnh đề 3.1. Cho V là nửa môđun chuẩn tắc trên nửa vành b-đầy đủ K (chẳng hạn

V là b-không gian b -đầy đủ). Gọi f là phiếm hàm a -tuyến tính trên V sao cho

f có giá trị 1 và f( )IV > 1 với I =V supV . Khi đó tồn tại duy nhất x -phiếm hàm ( )

y  x y* sao cho x y*( )³ f y( ) với mọi y VÎ và x y*( ) = f y( ) nếu f y( ) khả nghịch trong K trong đó x = Å{y ÎV f y( )£1} Chứng minh Đặt x = Å{y ÎV f y( )£ 1} thì rõ ràng f x( )= 1. Do f ( )IV <1 ta có V x ¹ I . Nếu y VÎ và f y( ) khả nghịch thì ( ) ( ) 1 ( ) (( ( )) 1 ) f y - f y f f y - y = = 1   . D0 đó ( ( )) 1 x ³ f y - y nên f y( )x ³y dẫn đến x y*( )£ f y( ). Mặt khác, vì ( ) x y* x ³y nên x y*( )= x y*( ) f x( )³ f y( ). Từ đó x y*( ) = f y( ) nếu ( ) f y khả nghịch. Mệnh đề được chứng minh.

Bổ đề 3.1. Cho K là nửa trường b -đầy đủ khác đại số Bool { }0 1, thì { }

(K \ ) inf(K \{ })

= Ù =

Chứng minh

Đặt m = Ù(K \{ }0 ). Từ giả thiết suy ra tồn tại phần tử khả nghịch k ¹1. Ta có thể giả sử k <1 (trong trường hợp ngược lại ta thay k bởi ( ) 1

k -

Å

1 ). Theo

cách đặt m ta có m £ <k 1. Nếu m ¹ 0 thì các phần tử m và m m khả nghịch và m m < m 1< m trái với định nghĩa của m. Điều này chứng tỏ m = 0. Bổ đề được chứng minh.

Định lí 3.2. Cho V là b-không gian lũy đẳng trên tựa trường K. Với mọi phiếm hàm a -tuyến tính f ¹ q (phiếm hàm không) xác định trên V , tồn tại duy nhất



b

x ÎV sao cho f có dạng f = x*. Nếu K ¹ { }0 1, thì x = Å{y ÎV f y( )£1}. Trong trường hợp ngược lại x = Å{y ÎV f y( ) = 0}.

Chứng minh

Thay K và V bởi các b -mở rộng tương ứng và sử dụng Định nghĩa 2.8 và Mệnh đề 2.1 ta có thể giả sử V là b-đầy đủ và K là nửa trường b-đầy đủ. Giả sử

f là phiếm hàm a -tuyến tính khác q xác định trên V và f V:   K là mở rộng của f lên V.

Trước tiên, giả sử rằng K = { }0 1, . Đặt x = Å{y ÎV f y( ) = 0}. Thế thì ( )

f y = 0 nếu y £x và f y( )=1 nếu ngược lại. Do vậy f = x*. Khi x = IV ta có

( )V f I = 0  do f ¹ q. Vậy x ÎV =Vb. Xét trường hợp K ¹ { }0 1, . Áp dụng Bổ đề 3.1 ta có 0 = Ù(K \{ }0 ). Đặt ( ) { }

x = Å y ÎV f y £ 1 . Nếu x = IV thì f( )IV £1 với f ¹ q (do tính thuần nhất nên miền giá trị của f chứa tất cả các phần tử khả nghịch của K , kể cả các phần tử k >1). Chứng tỏ x ÎV =Vb và f x( )= 1.

Trong chứng minh của Mệnh đề 3.1, ta đã chỉ ra rằng x* ³ f và ( ) ( )

x y* = f y nếu f y( )ÎK \{ }0 . Do đó để chứng minh x* = f ta cần chỉ ra ( )

x y* = 0 khi f y( )= 0. Thật vậy, nếu f y( )= 0 thì f k( y)= <0 1 với

k ¹ 0. Nhưng điều này dẫn tới k y £x nếu k ¹ 0. Do đó k x ³y nếu k ¹ 0. Suy ra x y*( )£ Ù(K \{ }0 )= £0 x y*( ). Ta có điều phải chứng minh.

Định lí được chứng minh.

3.2. Định lí Hahn – Banach

Cho V là nửa môđun trên nửa vành lũy đẳng K. Nửa môđun conW của nửa môđun của V là nửa nhóm con W của V đóng với phép nhân với các hệ tử trong K. Lưu ý rằng bản thân W cũng là một nửa môđun trên K .

Định nghĩa 3.2. Cho V là a -không gian lũy đẳng (tương ứng b -không gian lũy đẳng) trên tựa trường K . Nửa môđun con W của V được gọi là a -không gian con (tương ứng b-không gian con) của V nếu phép nhúng i W: V có mở rộng a -

tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) duy nhất W V (tương ứng Wb Vb) tới mở rộng của các nửa môđun xác định trên Kb.

Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa

Mệnh đề 3.2. Cho V là a -không gian lũy đẳng (tương ứng b-không gian lũy đẳng) trên tựa trường K và W là a -không gian con (tương ứng b -không gian con) của V . Khi đó W và W (tương ứng Wb) là các a -không gian lũy đẳng (tương ứng b -không gian lũy đẳng).

Định lí 3.3. Cho V là b-không gian lũy đẳng trên tựa trường K và W là b-không gian con của V . Mọi phiếm hàm a -tuyến tính trên W đều có mở rộng a -tuyến tính lên V .

Định lí 3.4. Cho V là b-không gian lũy đẳng. Nếu x y, ÎV và x ¹ y thì tồn tại phiếm hàm a -tuyến tính f trên V sao cho f x( )¹ f y( ).

Chứng minh

Nếu x > y thì y x*( )>1 và y y*( )£ 1 do đó f = y* là phiếm hàm cần tìm. Trong trường hợp trái lại ta có x < IV . Khi đó ta không có x y*( )£1 nhưng

( )

x x* £1 suy ra f = x* là phiếm hàm thỏa mãn định lí. Định lí được chứng minh.

Nhận xét 3.1. Từ định nghĩa của không gian dạng (V K, ) ta có mỗi b -không gian con là một không gian dạng (V K, ) trên chính nó.

Nhận xét 3.2. Nửa môđun con C X( ) của USC X( ) không phải là b-không gian con vì phép nhúng tương ứng không phải là b-đồng cấu. Tuy nhiên C X( ) vẫn là

b -không gian lũy đẳng (cũng là a -không gian lũy đẳng) trên {(max,+) và các phiếm hàm a -tuyến tính trên C X( ) có các mở rộng a -tuyến tính tới USC X( ). Ta có thể mở rộng định lí 3.3 cho trường hợp này.

3.3. Định lí Banach – Steinhaus và định lí đồ thị đóng

Các phát biểu dưới đây có thể suy ra từ các định nghĩa. Các kết quả này tương tự như định lí Banach – Steinhaus và định lí đồ thị đóng trong Giải tích hàm thông thường. Trong mục này, ta luôn giả thiết rằng mọi a -không gian đều a -đầy đủ. Các kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp các không gian không đầy đủ nhờ quá trình làm đầy.

Mệnh đề 3.3. Giả sử P = { }pa là họ các ánh xạ a -tuyến tính từ a -không gian

V vào a -không gian W và ánh xạ p V: W là tổng của các pa, nghĩa là ( ) sup{ ( ) }

Chứng minh Ta có ( ) { ( ) } { ( ) } ( ) { } ( ) sup sup sup p k x p k x p P k p x p P k p x p P k p x a a a a a a = Î = Î = Î =     

với mọi x ÎV nên p thuần nhất. Nếu X ÌV thì

( ) { ( ) } { ( ) } ( ) { } { { ( ) } } ( ) { } ( ) sup sup

sup , sup sup

sup p X p X p P p X p P p x x X p P p x x X p P p x x X p X a a a a a a a a Å = Å Î = Å Î = Î Î = Î Î = Î = Å Từ đó p là ánh xạ a -tuyến tính. Mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả. Tổng của một họ các phiếm hàm a -tuyến tính là phiếm hàm a -tuyến tính.

Mệnh đề 3.4. Cho V và W là các a -không gian. Ánh xạ tuyến tính p V: W là

a -tuyến tính khi và chỉ khi đồ thị T của p đóng trong V W´ với tổng các tập con bất kì.

Chứng minh

Từ giả thiết suy ra phép nhúng i T: V W´ là a -tuyến tính. Chú ý rằng

p là hợp của ba ánh xạ a -tuyến tính: phép đẳng cấu x  (x p x, ( ))ÎT , phép nhúng i và phép chiếu V W´ W nên có điều phải chứng minh.

Mệnh đề được chứng minh.

3.4. Tích vô hướng, định lí Riesz - Fischer

Bây giờ, ta xét một lớp các không gian lũy đẳng mà trên đó có thể xác định cấu trúc tự nhiên của tích vô hướng.

Định nghĩa 3.3. Một b-không gian lũy đẳng A trên tựa trường K được gọi là b -

tính chất kết hợp). Nếu tích A A´  A là a -đồng cấu tách (tương ứng b-đồng cấu tách) thì b -nửa đại số A được gọi là a -chính quy (tương ứng b-chính quy).

Lí thuyết dàn vectơ là nguồn ví dụ quan trọng về các b-nửa đại số lũy đẳng.

Mệnh đề 3.5. Cho A là b-nửa đại số, với mọi phần tử khả nghịch x ÎA và với mọi

y Î A ta luôn có

( ) ( 1)

A

x y* = 1* y x- (3.4) Chứng minh