Giả sử V và W là các nửa môđun lũy đẳng trên nửa vành lũy đẳng K và ánh xạ :
P V W
Định nghĩa 2.9. Ánh xạ p V: W được gọi là cộng tính nếu ( ) ( ) ( )
p x Åy = p x Å p y ( )2.8
với mọi x y, ÎV . Ánh xạ p V: W được gọi là thuần nhất nếu ( ) ( )
p k x = k p x ( )2.9
với mọi x ÎV , k ÎV . Ánh xạ p V: W là tuyến tính nếu p có tính cộng tính và thuần nhất.
Định nghĩa 2.10. Giả sử V và W là các nửa môđun lũy đẳng a -chính quy (tương
ứng b-chính quy) trên nửa vành lũy đẳng K . Ánh xạ tuyến tính p V: W được gọi là a -tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) nếu p là a -đồng cấu (tương ứng
Rõ ràng, khái niệm ánh xạ a -tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) cho ta một mô hình đại số của ánh xạ tuyến tính liên tục và nửa liên tục.
Mệnh đề 2.3. Cho V và W là các nửa môđun a -chính quy (tương ứng b-chính quy) trên nửa vành lũy đẳng b -chính quy K và ánh xạ p V: W là a - tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính). Khi đó, p được mở rộng duy nhất thành ánh xạ
:
p V W
(tương ứng p V: b Wb) là a -tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) trên Kb.
Chứng minh
Ta chứng minh bằng các tính toán trực tiếp. Từ định nghĩa của a -đồng cấu
(tương ứng b -đồng cấu) các nửa nhóm lũy đẳng thì mở rộng p xác định duy nhất và cộng tính. Nếu k Î Kb thì k = ÅQ với Q Ì K . Rõ ràng,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p k x = p ÅQ x = Åp Q x = ÅQ p x = k p x = k p x
nếu x ÎV . Nếu x ÎV thì x = ÅX với X ÌV, lập luận một cách tương tự ta được p k( x)= k p x( ).
Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 2.11. Phiếm hàm trên nửa môđun V trên nửa vánh lũy đẳng K là một ánh xạ V K hay V K. Phiếm hàm được gọi là tuyến tính nếu ánh xạ này tuyến tính. Một phiếm hàm tuyến tính được gọi là a -tuyến tính(tương ứng b-tuyến tính) nếu phiếm hàm này là a -đồng cấu (tương ứng b -đồng cấu).
Ta giả thiết rằng phiếm hàm a -tuyến tính (tương ứng b -tuyến tính) nhận giá trị trong K (tương ứng Kb) nếu mở rộng này có cấu trúc tự nhiên của nửa môđun trên
Nhận xét 2.2. Theo mệnh đề 1.4, phiếm hàm b-tuyến tính f trên V là a -tuyến tính khi và chỉ khi Up(f X( ))= Up(f V( )) với mọi tập con không bị chặn trên
X ÌV . Theo định nghĩa, f có mở rộng f V: b Kb. Nếu V có phần tử
supV
I = thì f xác định trên V và a -tuyến tính. Ngược lại, f có thể mở rộng lên
b { }
V =V È I . Mà I = supX với mọi tập không bị chặn trên X ÌV nên ( )
supf X không phụ thuộc cách chọn X . Do vậy, ta có thể đặt
( ) sup ( ) ( )
f I = f X = Åf X
.
Chẳng hạn, xét B X( ,{) gồm tất cả các hàm xác định tập X bất kì có nhiều hơn một phần tử. B X( ,{) là b-không gian lũy đẳng trên nửa trường {(max,+). Phiếm hàm tuyến tính da :j j( )a là b -tuyến tính nhưng không a -tuyến tính. Tuy nhiên phiếm hàm b-tuyến tính trên B X( ,{) luôn có một mở rộng a -tuyến tính xác định trên B X( ),{ .